文档内容
2024 年内蒙古通辽市初中毕业生学业考试试卷
数学
注意事项：
1．本试卷共8页，26道小题，满分为120分，考试时间为120分钟．
2．根据网上阅卷需要，本试卷中的所有试迻均要求在答题卡上作答，答在本试卷上的答案无
效．
一、选择题（本题包括 12道小题，每小题3分，共36分，第小题只有一个正确答案．请在
答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1. 某地区某日最高气温是零上 ，记作 ，最低气温是零下 ，应该记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，根据温度零上记为正，则气温
零下就记为负解题即可．
【详解】解：某日最高气温是零上 ，记作 ，最低气温是零下 ，则记为 ．
故选：A．
2. 如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查俯视图的确定，理解俯视图的定义，具备良好的空间想象能力是解题关键．俯视图即为从上面看到的图形，由此判断即可．
【详解】解：根据俯视图的定义，该几何体的俯视图是
故选：D．
3. 在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位： ）如下：
170 175 169 171 172 170 173
这组数据的中位数是（ ）
A. 175 B. 172 C. 171 D. 170
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为169、170、170、171、172、173、175，
所以这组数据的中位数为171．
故选：C．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，算术平方根的含义，二次根式的加减运算，根据以上
运算的运算法则逐一计算即可
【详解】解： ，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；故选B
5. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点
关于对称轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标．掌握关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是
解题关键．根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出答案．
【详解】解：∵图形的对称轴是 轴，
∴在平面直角坐标系 中，点 关于y轴对称的点的坐标为 ，
故选：C．
6. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 （其中 ， ， ， ，
为常数）的图象分别为直线 ， ．下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与 轴的交点位
置再判断即可．
【详解】解：由一次函数 ： 的图象可得：
， ，
由一次函数 ： 的图象可得：
， ，
∴ ， ， ， ，
正确的结论是A，符合题意，
故选A．
7. 不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并
摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，
其中两次都摸出白球的有4种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：
红 白1 白2
红 （红，红） （白1，红） （白2，红）
白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1）
白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2）
一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种，
所以两次都摸出白球的概率是 ．
故选：C8. 将三角尺 按如图位置摆放，顶点A落在直线 上，顶点B落在直线 上，若 ， ，
则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算．
由平行线的性质可求出 ，又由三角板中 ，根据角的和差即可求出 ．
【详解】解：如图，∵
∴ ，
∵在三角板 中， ，
∴ ．
故选：B
9. 如图， 的对角线 ， 交于点 ，以下条件不能证明 是菱形的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定．根据菱形的判定，勾股定
理的逆定理，等腰三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，即 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，无法得到 是菱形，故本选项符合题意；
故选：D
10. 如图，小程的爸爸用一段 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 ）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其它材料制成），则 长为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关
系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为 ，可以得出平行于墙的一边的长为 ．根
据矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为 ，
则平行于墙的一边的长为 ，
由题意得 ，
解得： ， ，
当 时，平行于墙的一边的长为 ；
当 时，平行于墙的一边的长为 ，不符合题意；
∴该矩形场地 长为 米，
故选C．
11. 如图，圆形拱门最下端 在地面上， 为 的中点， 为拱门最高点，线段 经过拱门所在圆
的圆心，若 ， ，则拱门所在圆的半径为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接 ，先证明 ，
，再进一步的利用勾股定理计算即可；
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 为 的中点， 为拱门最高点，线段 经过拱门所在圆的圆心， ，
∴ ， ，
设拱门所在圆的半径为 ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴拱门所在圆的半径为 ；
故选B
12. 如图，平面直角坐标系中，原点 为正六边形 的中心， 轴，点 在双曲线为常数， 上，将正六边形 向上平移 个单位长度，点 恰好落在双曲线上，则
的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等
等，过点E作 轴于H，连接 ，可证明 是等边三角形，则 ，
，进而得到 ，设 ，则 ，则
， ，即可得到点 在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到
，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点E作 轴于H，连接 ，∵原点 为正六边形 的中心，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∵将正六边形 向上平移 个单位长度，点 恰好落在双曲线上，
∴点 在双曲线上，
又∵点E也在双曲线上，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
故选：A．
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横
线上）
13. 因式分解 ______．
【答案】
【解析】【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握因式分解的方法．
14. 如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度 的合格尺寸（ 的取值范围)_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据机
器零件的设计图纸给定的数值，可求出 的取值范围．
【详解】解：由题意得，
．
故答案为：
15. 分式方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后求解并检验即可求解．
【详解】解：
解得：
经检验 是原方程的解，
故答案为： ．16. 如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为 ，母线长
为 的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是_________ （结果用含 的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，再利用扇形的面
积公式计算即可．
【详解】解：∵底面半径为 ，
∴圆锥底面圆的周长为 ，
即扇形纸片的弧长为 ，
∵母线长为 ，
∴圆锥的侧面积 ．
故答案 ：为
17. 关于抛物线 （ 是常数），下列结论正确的是_________（填写所有正确结论
的序号）．
①当 时，抛物线 的对称轴是 轴；
②若此抛物线与 轴只有一个公共点，则 ；
③若点 ， 在抛物线上，则 ；
④无论 为何值，抛物线的顶点到直线 的距离都等于 ．
【答案】①④##④①【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把 代入解析式，即可判断；②利用一元二次方
程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线 ，再由二次函
数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线 上，即可判断．
【详解】解：当 时， ，此时抛物线的对称轴是 轴，故①正确；
∵此抛物线与 轴只有一个公共点，
∴方程 的有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ，故②错误；
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，
∵点 ， 在抛物线上，且 ，
∴ ，故③错误；
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∴抛物线的顶点坐标在直线 上，
如图，过点A作 直线 于点B，则点 ， ， ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，即抛物线的顶点到直线 的距离都等于 ，故④正确．
故答案为：①④
三、解答题（本题包括 9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上
写出解答各题的文字说明、证明过程或计算步骤）
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算绝对值，零指数幂，代入特殊角的三角
函数值，再合并即可；
【详解】解：
．
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入计
算即可；
【详解】解：，
当 时，
原式 ；
20. 在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从 C点测得杨树底端B点的仰角
是 ， 长6米，在距离C点4米处的 点测得杨树顶端A点的仰角为 ，求杨树 的高度（精
确到 米， ， ， 在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据： ．
【答案】 米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，勾股定理，等腰直角三角形性质定理，熟练
掌握勾股定理是解题的关键．分别在 表示出 ， ，在得出 ，在 中，根据等
腰三角形的性质得 ，即可得出答案．
【详解】解：过点B作 于点E，
在 中， ， 米，∴ 米， 米，
米，
米
在 中， ，
米，
米，
，
米．
答：杨树 的高度约 米．
21. 为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．
七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机扎取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样
本．
【收集数据】
调查研究小组收集到50名学生的测试成绩：
6 6 6 9 7 7 8 8 8 7
0 1 2 4 3 3 5 5 7 2
6 6 7 6 7 6 6 7 7 7
3 4 0 6 4 5 7 5 6 1
9 9 8 9 7 8 8 8 9 8
4 3 4 1 6 2 3 3 2 4
8 8 8 9 9 8 7 8 8 7
0 0 2 2 1 6 7 6 8 2
7 7 9 9 8 9 7 7 8 7
0 1 3 0 1 0 4 8 1 5
【整理描述数据】
通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图：
组 频
成绩分组
别 数16
16
（1）频数分布表中 ________， ________，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中 ________， 所对应的扇形的圆心角度数是________．
【应用数据】
（3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数．
【答案】（1） ； ，补全图形见解析；（2） ； ；（3） 人
【解析】
【分析】本题考查的是从统计图表中获取信息，利用样本估计总体；
（1）根据整理数据的结果可得 的值，再补全频数分布直方图即可；
（2）由D的人数除以总人数可得 的值，由 乘以D的百分比可得圆心角的大小；
（3）由总人数乘以D的百分比即可得到答案；
【详解】解：（1）整理数据可得： 有：60、61、62、63、64、66、65、67；
∴ ；
的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、
∴ ；
补全图形如下：；
（2）由 ，
∴ ；
所对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）若成绩不低于90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有
（人）；
22. 如图， 中， ，点 为 边上一点，以点 为圆心， 为半径作圆与 相切于
点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据题意可得 ，根据余角的性质可得 ，根据圆周
角定理可得 ，等量代换即可得证；（2）在 中，勾股定理求得 ,证明 ，设 半的径为r，则
， ，在 中， ，解方程即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ 为切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：在 中， ，
∵ ，
在 和 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的半径为r，则 ， ，在 中， ，
解得 ，
∴ 半径的长为3
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知
识是解题的关键．
23. 某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋
器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需
395元．
（1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元；
（2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最
节省费用的购买方案．
【答案】（1）煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；
（2）购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．
【解析】
【分析】（1）设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元，根据购头2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购
买1台煎蛋器和3台三明治机需395元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设煎蛋器采购a台，则三明治机采购 台，根据三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，列
出不等式，可得 的范围，设总的购买费用为 元，再结合一次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元．
由题意得： ，
解得： ，
答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台；
【小问2详解】
解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购 台，由题意得： ，
解得： ，
∵a只能取正整数，
∴a的最大值为33，
设总的购买费用为 元，
∴
，
∵ ，
∴当 时，费用最低，
此时 的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台；
答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系
与不等关系是解本题的关键.
24. 【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装
了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”． ， ．求证： ．
【模型应用】
（2）如图2， 中， 的平分线 交 于点 ．请你从以下两个条件：
① ；② 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的
证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3， 为 的直径， ， 的平分线 交 于点 ，交 于点 ，连
接 ．求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）
见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形
斜边上的中线性质，三角形的外角性质等：
（1）利用 证明 ，即可；
（2）选择②为条件，①为结论：在 取点N，使 ，连接 ，证明 ，可
得 ， ，再由 ，可得 ，从而得到 ，
即可；选择①为条件，②为结论：在 取点N，使 ，连接 ，证明 ，
可得 ， ，再由 ，可得 ，从而得到 ，
即可；
（3）连接 ，取 的中点F，连接 ，根据圆周角定理可得 ，从而得到
，再由 为 的直径，可得 ，从而得到 ，然后根据 ，可得 ，可证明 ，从而得到 ，即可．
【详解】解：（1）在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：选择②为条件，①为结论
如图，在 取点N，使 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；选择①为条件，②为结论
如图，在 取点N，使 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）如图，连接 ，取 的中点F，连接 ，∵ 平的分线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，抛物线
为常数）经过点 且交 轴于 两点．（1）求抛物线表示的函数解析式；
（2）若点 为抛物线的顶点，连接 ， ， ．求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积
（1）分别把 ， 代入函数 中，可求得点 ， ，将点D坐标代入函数
，求出k的值，即可解答；
（2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为 ，因此 轴， ，过点D作
于点E，则 ，根据三角形的面积公式可求出 ；把 代入函数
中，求得 ，因此 ，再根据
即可解答．
【小问1详解】
解：把 代入函数 中，得 ，
解得 ，
∴ ，把 代入函数 中，得 ，
∴ ，
∵抛物线 为常数）经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线表示的函数解析式为 ；
【小问2详解】
解：∵抛物线的函数解析式为 ，
∴顶点P的坐标为 ，
∵ ，
∴ 轴， ，
过点D作 于点E，则 ，
∴ ；
把 代入函数 中，得 ，
解得 ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴ ．
26. 数学活动课上，某小组将一个含 的三角尺 利一个正方形纸板 如图1摆放，若 ，
．将三角尺 绕点 逆时针方向旋转 角，观察图形的变化，完成探究活动．
【初步探究】
如图2，连接 ， 并延长，延长线相交于点 交 于点 ．
问题1 和 的数量关系是________，位置关系是_________．
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接 ，点 是 的中点，连接 ， ．求证 ．
【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角 从 变化到 时，点 经过路线的长度．
【答案】（1） ； ；（2）证明见解析；（3）
【解析】【分析】（1）如图，由四边形 是正方形， 是等腰直角三角形， ，证明
，再进一步可得结论；
（2）如图，由 ， ，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论；
（3）如图， 证明 在以 为圆心， 为半径的 上，过 作 于 ，当
时，证明 ，可得 ， ，证明四边形
是正方形，可得当旋转角 从 变化到 时， 在 上运动，再进一步解答即可；
【详解】解： ； ；理由如下：
如图，∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；（2）如图，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ；
（3）如图，∵ ， ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的 上，
过 作 于 ，当 时，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而 ， ，
∴四边形 是正方形，
∴当旋转角 从 变化到 时， 在 上运动，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴点 经过路线的长度为 .
【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性
质，圆周角的应用，勾股定理的逆定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键.
