文档内容
2024 年兰州市初中学业水平考试
数学
注意事项：
1.全卷共120分，考试时间120分钟．
2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上．
3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共 12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个正数的绝对值是它本身是解题的关键．根据绝对值
的意义解答即可．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故选：A．
2. 已知∠A＝80°，则∠A的补角是（ ）
A. 100° B. 80° C. 40° D. 10°
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．
【详解】解：∵∠A＝80°，
∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°．
故选A．
【点睛】主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键．
3. 2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区
生产总值87790000000元．数据87790000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为
，其中， ， 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：数据87790000000用科学记数法表示为 ．
故选：C
4. 计算： （ ）
A. a B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
【详解】解：
故选：D．
5. 一次函数 的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先判断k、b的符号，再判断直线经过的象限，进而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的系数与其图象的关系，属于基础题型，熟练掌握一次函数的图象与其系数的关系是解题的关键．
6. 如图，小明在地图上量得 ，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（
）
A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，由 ，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相
等，两直线平行．
【详解】解： ，
福大街与平安∵大街互相平行，
∴判断的依据是：内错角相等，两直线平行，
故选：B．
7. 如图，小张想估测被池塘隔开的 A，B两处景观之间的距离，他先在 外取一点C，然后步测出
的中点D，E，并步测出 的长约为 ，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得 为 的中位线，根据三角形的中位
线定理，即可得出结果．【详解】解：∵点D，E，分别为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ；
故选：C．
8. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容
道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从
这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，分析可知6个益智玩具中有1个七巧板，根据概率公式
计算即可．
【详解】解： 一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板，
∵
从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是： ，
∴
故选：D．
9. 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数 的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
根的判别式 ，当方程有两个不相等的实数根时， ；当方程有两
个相等的实数根时， ；当方程没有实数根时， ．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，∴ ，
解得： ，
故选： ．
10. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意
是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买
了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据 999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可
买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可．
【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：
；
故选A．
11. 如图，在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得
，再由三角形外角的性质，即可求解．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B
12. 如图1，在菱形 中， ，连接 ，点M从B出发沿 方向以 的速度运
动至D，同时点N从B出发沿 方向以 的速度运动至C，设运动时间为 ， 的面积为
，y与x的函数图象如图2所示，则菱形 的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知 ， ，
结合菱形的性质得 ，过点M作 于点H，则 ，那么
，设菱形 的边长为a，则 ，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时 的面积达到最大值为 ，利用最大值即可求得运动时间 ，即可知菱形边长．
【详解】解：根据题意知， ， ，
∵四边形 为菱形， ，
∴ ，
过点M作 于点H，连接 交 于点O，如图，
则 ，
那么， 的面积为 ，
设菱形 的边长为a，
∴ ，
∴点M和点N同时到达点D和点C，此时 的面积达到最大值为 ，
∴ ，解得 ，（负值舍去），
∴ ．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 因式分解 ______．
【答案】【解析】
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【详解】解： （x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
14. 如图，四边形 为正方形， 为等边三角形， 于点F，若 ，则
______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形
的性质，得到 为含30度角的直角三角形， ，根据含30度角的直角三角形的性质求解
即可．
【详解】解：∵四边形 为正方形， 为等边三角形， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2．
15. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图 1是陈列在展览馆的仿
真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中 ， 的半径分别是1cm和10cm，当 顺时针转动
3周时， 上的点P随之旋转 ，则 ______．【答案】108
【解析】
【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：108
16. 甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是______．（填序号）
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】本题考查了平均数、方差的意义．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据
波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差、平均数的意
义进行判断即可求出答案．
【详解】解：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一
次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误．
故答案为：①②．
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即
可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果．
【详解】解：
由①，得： ；
由②，得： ；
∴不等式组的解集为： ．19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，将除法变乘法，进行约分化简后，再代值计算即
可．
【详解】解：原式
；
当 时，原式 ．
20. 如图，反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，点B是反比例函数图象
上一点， 轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接 ．
（1）求反比例函数 与一次函数 的表达式；
（2）当 时，求 的面积．
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析
式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函
数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式．
（2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作 轴交一次函数 的图象交于点
E，过点A作 与点F，利用两点之间的距离公式分别求出 ， ， 的值，最后根据
即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵反比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴反比例函数为： ，一次函数的解析式为： ．
【小问2详解】
∵ ，
∴ ，
∵ 轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．
∴ ，
∴ ，∴
过点B作 轴交一次函数 的图象交于点E，过点A作 与点F，
∴ ，点E的纵坐标为 ，
∴ ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴点 ，
∴ ，
∴
21. 如图，在 中， ，D是 的中点， ， ， ．（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些
性质是解题的关键．
（1）由等腰三角形三线合一的性质得出 ，有平行线的性质得出 ，结合已知条
件可得出 ，即可证明四边形 是矩形．
（2）由（1）可知四边形 是矩形．由矩形的性质得出 ， ， ，
由已知条件可得出 ，由勾股定理求出 ，最后根据等面积法可得出
，即可求出 ．
【小问1详解】
证明：∵ ， D是BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【小问2详解】
由（1）可知四边形 是矩形．
∴ ， ， ，
∵D是 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴
即 ，
∴ ．
22. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图 1是某型号水火箭的实物图，水火
箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2
建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从
发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 与离发射点O的水平距离 的几组关系数
据如下：
水平距 0 3 4 10 15 20 22 27
离竖直高
度
0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为 时，水火箭距离地面的竖直高度．
【答案】（1）抛物线的表达式
（2）水火箭距离地面的竖直高度 米
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
根据题意可设抛物线的表达式 ，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为 ，代
入求解即可；
由题意知 ，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．
【小问1详解】
解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式 ，
由表格得抛物线的顶点坐标为 ，则 ，解得 ，
则抛物线的表达式 ，
【小问2详解】解：由题意知 ，则 ，
那么，水火箭距离地面的竖直高度 米．
23. 观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条
画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置
记为点B，连接 ；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，
B，C不在同一条直线上）；
③连接 并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在 延长线上的
落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接 ， ，则画出的 是直角．
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图 2， ，请画出以点A为顶
点的直角，记作 ；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明： ，
与 是等腰三角形．
．（依据1______）
．
，（依据2______）
，
．
依据1：______；依据2：______；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方
法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作 ，使得直角边 （或 ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见详解，（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及尺规作图的作垂线，
（1）根据“观察发现”延长 至点D，且 ，连接 即可知以点A为顶点的 为直
角；
（2）根据作图可知利用了等边对等角，以及三角形内角和定理；
（3）根据过定点作已知直线的垂线的方法作图即可．
【详解】解：[操作体验] （1）
[推理论证]（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；
故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；
[拓展探究]（3）24. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，
现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量
化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀： ；良好： ；合
格： ；待提高： ）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．
信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下．
信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．
分组
人数 m 7 2 7
信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．
根据以上信息，回答下列问题：（1）填空： ______；
（2）下列结论正确的是______；（填序号）
①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的 ；
②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；
③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存
在一定差距，需要进一步提升；
（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．
【答案】（1）4 （2）
（3）18 ①③
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图的相关知识，个体占比，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握
这些知识是解题的关键．
（1）用样本总体减去良好成绩的人生，合格成绩的人数，待提高成绩的人数即可得出答案．
（2） 用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断． 用中位数的定义判断即可．
根据坐①标得出点A和点B各自的美育和体育的成绩判断即可． ② ③
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解： ，
故答案为：4．
【小问2详解】
根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知：
①体育成绩低于80分的人数有8人，
体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的 ，故 正确．
∴ ①
一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，
②中∵位数位于 之间，
∴即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故 错误．
在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成②绩为70，体育成绩为70，所以相比
③于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进
一步提升，故 正确，
故有 正确③，
故答①案为③ ．
①③【小问3详解】
根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人．
故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有 人．
25. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰
写实验报告如下．
实
验
探究摆球运动过程中高度的变化
主
题
实
验
摆球，摆线，支架，摄像机等
用
具
如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开
始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）
实
验
如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处， ，
说
明 ， ； 当 摆 球 运 动 至 点 C 时 ， ，
．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实
验
图
示
解决问题：根据以上信息，求 的长．（结果精确到 ）
参考数据： ， ．
【答案】 的长为
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解 ，再求解 ，从而可得答案；
【详解】解：∵ ， ， ；
∴ ，，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ 的长为 ；
26. 如图， 内接于 ， 为 的直径，点D为 上一点， ，延长 至E，使
得 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，易得 ，圆周角定理得到 ，进而得到
，证明 ，推出 ，进而得到 ，
即可得证；
（2）等角的三角函数相等，得到 ，证明 ，得到，进行求解即可．
【小问1详解】
解：连接 ，则： ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
∵ ，∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
由（1）知： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即： ，
解得： （舍去）或 ，
∴
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知
识点，并灵活运用，是解题的关键．
27. 综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在
中，点M，N分别为 ， 上的动点（不含端点），且 ．
【初步尝试】（1）如图1，当 为等边三角形时，小颜发现：将 绕点M逆时针旋转 得到
，连接 ，则 ，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图 2，在 中， ，
， 于点E，交 于点F，将 绕点M逆时针旋转 得到 ，连接 ，．试猜想四边形 的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在 中， ， ，连
接 ， ，请直接写出 的最小值．
【答案】（1）见详解，（2）四边形 为平行四边形，（3）
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 等 边 三 角 的 性 质 可 得 ， 再 由 旋 转 的 性 质 可 得
，从而可得 ，证明 ，即可得证；
（ 2 ） 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 可 得 ， 再 根 据 旋 转 的 性 质 可 得
， ，从而可得 ，由平行
线的判定可得 ，证明 ，可得 ，利用等量代换可得
，再由平行线的判定可得 ，根据平行四边形的判定即可得证；
（3）过点A作 ，使 ，连接 、 ， ，延长 ，过点G作 于
点 O，根据等腰三角形的性质可证 ，证明 ，可得
，从而可得当点G、M、C三点共线时， 的值最小，最小值为 的值，根据平行线
的性质和平角的定义可得 ，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 ，
从而可得 ，再利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 绕点M逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 为平行四边形，理由如下，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 绕点M逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
则四边形 为平行四边形；
（3）解：如图，过点A作 ，使 ，连接 、 ， ，延长 ，过点G作
于点O，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点G、M、C三点共线时， 的值最小，最小值为 的值，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、旋转
的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关定理得出当点G、M、C三点共线时， 的值最小，
最小值为 的值是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在 的延长线上，使得
，如果点 Q 在图形 W 上，则称点 P 是图形 W 的“延长 2 分点”，例如：如图 1，
是线段 外一点， 在 的延长线上，且 ，因为点Q在线
段 上，所以点P是线段 的“延长2分点”．
（1）如图1，已知图形 ：线段 ， ， ，在 中，
______是图形 的“延长2分点”；（2）如图2，已知图形 ：线段 ， ， ，若直线 上存在点P是图形
的“延长2分点”，求b的最小值：
（3）如图3，已知图形 ：以 为圆心，半径为1的 ，若以 ， ， 为
顶点的等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范
围．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可；
（2）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，根据直线 上存在点P是
图形 的“延长2分点”，得到直线 与 有交点，进而得到当 过点
时， 值最小，进行求解即可；
（3）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似 ，得到 与 有交点，求出
与 相切以及 与 相切，两种情况求出 的临近值，即可得出结果．
【小问1详解】
的
解：作线段 以原点为位似中心，位似比为 位似图形 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵点 是图形 的“延长2分点”，
∴点 在线段 上，
∵ 在线段 上，
的
∴ 是图形 “延长2分点”；
故答案为： ；
【小问2详解】
作 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，如图，∵ ， ，
∴ ， ，
∵直线 上存在点P是图形 的“延长2分点”，
∴直线 与 有交点，
∴当 过点 时， 值最小，
把 ，代入 ，得： ，
∴ 的最小值为 ；
【小问3详解】
作 以原点为位似中心，位似比为 的位似 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”，
∴当 与 有交点时，满足题意，
当 与 相切时，如图，则： 或 ，∴ 时，满足题意；
当 与 相切时，且切点为 ，连接 ，则： ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ， ， ，
∴ 轴，∴ ，
∵以 为圆心，半径为1的 ，
∴ 点在直线 上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性
强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
