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2024 大庆数学
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合要求．
1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 和 B. 2024和
C. 和2024 D. 和
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、 和 互为相反数，故A选项符合题意；
B、2024和 互为倒数，故B选项不符合题意；
C、 和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；
D、 和 不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：A．
2. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为 ，其中 ，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可．
【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为 ，
故选：C．3. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念，中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．中心对称图形的关键是确定对称中心，绕对称中心旋转 能与自身重合，掌握以上知识
是解题的关键．
4. 下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A B.
.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图
不同的几何体．
【详解】解：A、圆台的主视图和左视图都是梯形，本选项不符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，左视图是圆，本选项符合题意；
C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意；D、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意．
故选：B．
5. “铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅
游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两
个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”四个景点分别用
A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“铁人王进喜纪念馆”的结果数有 种，
∴这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为 ，
故选：D．
6. 下列说法正确的是( )
A. 若 ，则
的
B. 一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服 价格不变C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定，多边形的外角与内角和问
题，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 若 ，且 ，则 ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 设原价为 元，则提价 %后的售价为： 元；
后又降价 的售价为： 元．
一件衣服降价 后又提价 ，
这件衣服的价格相当于原价的 ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，相等的边不一定对应，故该选项不正确，
不符合题意；
D.设这个多边形的边数为 ，
∴由题意得： ，
，
，
即这个多边形的边数是6；故该选项正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：
小庆把纸带①沿 折叠，量得 ；小铁把纸带②沿 折叠，发现 与 重合，
与 重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）A. 纸带①、②的边线都平行
B. 纸带①、②的边线都不平行
C. 纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D. 纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
【答案】D
【解析】
【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得 ，利用三角形内角和定理求得
，再根据折叠的性质可得 ，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，
由折叠的性质得， ， ，由平角的定义从而可得
， ，再根据平行线的判定即可判断．
【详解】解：对于纸带①，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得， ，
∴ ，
∴ 与 不平行，
对于纸带②，由折叠的性质得， ， ，
又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定
和折叠的性质是解题的关键．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数 与 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即
可求解．
【详解】解：∵
当 时，一次函数经过第一、二、三象限，
当 时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中 ，则当 时，函数 图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，
故选：C．
9. 小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从 ， ， ， ， ， 这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（ ）
A. 小庆选出四个数字的方差等于 B. 小铁选出四个数字的方差等于
C. 小娜选出四个数字的平均数等于 D. 小萌选出四个数字的极差等于
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方差，平均数，极差的定义，掌握相关的知识是解题的关键．根据方差，平均数，极
差的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、假设选出的数据没有 ，则选出的数据为 ， ， ， 时，方差最大，此时
，方差为 ；当数据为 ，
， ， 时， ，
，故该选项符合题意；
B、当该同学选出的四个数字为 ， ， ， 时， ，
，故该选项不符合题意；
C、当该同学选出的四个数字为 ， ， ， 时， ，故该选项不符合题意；
D、当选出的数据为 ， ， ， 或 ， ， ， 时，极差也是 ，故该选项不符合题意；
故选：A．
10. 如图，在矩形 中， ， ，点M是 边的中点，点N是 边上任意一点，将
线段 绕点M顺时针旋转 ，点N旋转到点 ，则 周长的最小值为（ ）A. 15 B. C. D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点 的轨迹是解题的关键．由旋转的性
质结合 证明 ，推出 ，得到点 在平行于 ，且与 的距离
为5的直线上运动，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，此时 周
长取得最小值，由勾股定理可求解．
【详解】解：过点 作 ，交 于 ，过点 作 垂足为 ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 和 都是矩形，
∴ ，
由旋转的性质得 ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴点 在平行于 ，且与 的距离为5的直线上运动，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，此时 周长取得最小值，最小
值为 ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在
答题卡相应位置上．
11. 计算： =___．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根．
【详解】∵（－2）3=－8，
∴ ，
故答案为：-2
12. 已知 ，则 的值是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据 ，通过平方变形可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式．
13. 如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体积为 ，圆柱形盒子的容积为 ，则
______．（球体体积公式： ，其中r为球体半径）
【答案】
【解析】
【分析】题考查了圆柱的体积和球的体积，根据圆柱的体积和球的体积公式计算即可得出答案．
【详解】解：设球的半径为 ，则圆柱的高为 ，
依题意， ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 请写出一个过点 且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 _____．【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的增减性，待定系数法求函数解析式．写出一个一次项系数为负数且经过点
的一次函数即可．
【详解】解：设满足题意得的一次函数的关系式为 ，
代入 得： ，
，
∴满足题意的一次函数的解析式为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
15. 不等式组 的整数解有______个．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小
大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为： ，
∴整数解有 ， ， ， 共4个，
故答案为： ．
16. 如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形 ；分别以点 ， ， 为圆心，以 的长为半径作 ， ， ．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．
若该“莱洛三角形”的周长为 ，则它的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果
周长为 ，则其中的一段弧长就是 ，所以根据弧长公式可得 ，即正三角形的边长为
．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案．
【详解】解： 曲边三角形的周长为 ， 为等边三角形，
曲边三角形的面积为：故答案为： ．
17. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由
两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作
正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉
斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为______．
【答案】48
【解析】
【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别
计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：图①中，∵ ，
根据勾股定理得， ，
∴图①中所有正方形面积和为： ，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
⋯∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ，
故答案为：48．
18. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为
“倍值点”．例如：“倍值函数” ，其“倍值点”为 ．下列说法不正确的序号为
______．
①函数 是“倍值函数”；
②函数 的图象上的“倍值点”是 和 ；
③若关于x的函数 的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是 ；
④若关于x的函数 的图象上存在唯一的“倍值点”，且当 时，
n的最小值为k，则k的值为 ．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函
数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可．
【详解】解：①函数 中，令 ，则 ，无解，故函数 不是“倍值函
数”，故①说法错误；
②函数 中，令 ，则 ，
解得 或 ，经检验 或 都是原方程的解，
故函数 的图象上的“倍值点”是 和 ，故②说法正确；
③在 中，
令 ，则 ，
整理得 ，
∵关于x的函数 的图象上有两个“倍值点”，
∴ 且 ，
解得 且 ，故③说法错误；
④在 中，
令 ，则 ，
整理得 ，
∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”，
∴ ，
整理得 ，
∴对称轴为 ，此时n的最小值为 ，根据题意分类讨论，
，解得 ；
，无解；
，解得 或 （舍去），
综上，k的值为0或 ，故④说法错误；
故答案为：①③④．
三、解答题：本题10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字
说明、计算过程、证明过程．
19. 求值： ．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了实数运算．直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分
别化简即可得出答案．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用
除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：
，
当 时，原式 ．
21. 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰
时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时
电价高 元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，
并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
【答案】该市谷时电价 元/度
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为 元/度，则峰时电价 元/度，根据题意
列出分式方程，解方程并检验，即可求解．
【详解】解：设该市谷时电价为 元/度，则峰时电价 元/度，根据题意得，
，
解得： ，经检验 是原方程的解，
答：该市谷时电价 元/度．
22. 如图， 是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路 上由北向南行驶，在 处测得桥头 在南偏东 方向上，继续行驶 米后到达 处，测得桥头 在南偏东 方向上，桥头 在南偏东
方向上，求大桥 的长度．（结果精确到 米，参考数据： ）
【答案】 米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，分别过点 作 的垂线，垂足分别为 ，根据题意得
出 ，解 求得 ， ，进而求得 ，根据
，即可求解．
【详解】解：如图所示，分别过点 作 的垂线，垂足分别为 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
依题意， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
在 中， ，
；
在
中， ，
∴ ．
答：大桥 的长度约为 米．
23. 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．
为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：
“ ”记为1分，“ ”记为2分，“ ”记为3分，“ ”记为4分，“
”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生
成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均 中位 众
数 数 数
第1小
3.9 4 a
组
第2小
b 3.5 5
组
第3小 3.25 c 3组
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2） ______， ______， ______；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成
绩不低于90分？
【答案】（1）①18；②
（2）5； ；3
（3）估计该校约有 名学生竞赛成绩不低于90分．
【解析】
【分析】（1）①用 乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4
分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图；
（2）根据众数、平均数和中位数的定义即可求解；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为
，
故答案为：18；
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为 （人），
补全第1小组得分条形统计图如下，
；
【小问2详解】解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则 ，
第2小组的平均分为
（分），
则 ，
第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分），
则 ，
故答案为：5； ；3；
【小问3详解】
解： （人），
答：估计该校约有 名学生竞赛成绩不低于90分．
【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图和折线统计图，中位数、众数和平均数，样本估计总体．
条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24. 如图，平行四边形 中， 、 分别是 ， 的平分线，且E、F分别在边 ，
上．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2） ．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得到 ， ，结合角平分线的条件得到，由 得到 ， ，根据平行线的判定得到
，根据平行四边形的判定即可得到 是平行四边形；
（2）求得 是等边三角形，得到 ， ，证明 ，
求得 ，作 于点 ，在 中，求得 ，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 分别是 、 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等
边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
25. “尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种
农副产品，在试销售的 天中，第 天 且 为整数)的售价为 (元 千克)．当 时，
；当 时， ．销量 (千克)与 的函数关系式为 ，已知该产品第
天的售价为 元 千克，第 天的售价为 元 千克，设第 天的销售额为 (元)．
（1） ， _____；（2）写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式；
（3）求在试销售的 天中，共有多少天销售额超过 元？
【答案】（1） ，
（2）
（3）在试销售的 天中，共有 天销售额超过 元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数 的综合应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解；
（3）根据题意，根据 ，列出方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，将 ， 代入 ，
∴
解得：
∴
故答案为： ， ．
【小问2详解】
解：依题意，
当 时，
当 时，∴
【小问3详解】
解：依题意，当 时，
当 时，
解得：
为正整数，
∴第 天至第 天，销售额超过 元
（天）
答：在试销售的 天中，共有 天销售额超过 元
26. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形
是平行四边形，点C在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为 ， ，则 中点坐标为
．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点D是 边的中点，且在反比例函数 图象上，求平行四边形 的面积；（3）如图3，将直线 向上平移6个单位得到直线 ，直线 与函数 图象交于 ，
两点，点P为 的中点，过点 作 于点N．请直接写出P点坐标和 的值．
【答案】（1）
（2）9 （3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）设 ，根据平行四边形的性质可得 ，利用中点坐标公式可得 ，再把点
D代入反比例函数解析式求得 ，即可求解；
（3）由一次函数平移规律可得直线 ： ，联立方程组得 ，设 、
，即 ，利用中点坐标公式求得点P的横坐标为4，即可得 ，再利用勾股定
理求得 ，求得直线与x、y轴的交点 、 ，利用勾股定理求得 ，可得
，过点O作 ，由平行线定理可得 ，利用锐角三角函数求得 ，
即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点B的纵坐标为3．∴ ，
把 代入 得， ，
∴反比例函数 的表达式为 ；
【小问2详解】
解：设 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点D是 边的中点，
∴ ，即 ，
∵点D在反比例函数 图象上，
把 代入得， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵将直线 向上平移6个单位得到直线 ： ，∵直线 与函数 图象交于 ， 两点，
∴联立方程组得， ，
即 ，
设 、 ，
∴ ，
∵点P为 的中点，
∴点P的横坐标为 ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
解得 ，
∴直线 与x、y轴交于点 、 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
过点O作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、一次函数的平移规律、一次函数与反比例函数的交
点问题、锐角三角函数、平行线定理、一次函数与坐标轴的交点问题、勾股定理、一元二次方程的根与系
数的关系、用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
27. 如图， 为 的内接三角形， 为 的直径，将 沿直线 翻折到 ，点
在 上．连接 ，交 于点 ，延长 ， ，两线相交于点 ，过点 作 的切线交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ， ．求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠可得 ，根据切线的定义可得 ，即可得证；
（2）根据题意证明 ，进而证明 ，根据相似三角形的性质，即可得证；
（3）根据 ，设 ，则 ，得出 ，根据折叠的性质可
得 出 ， 则 ， 进 而 求 得 ， 根 据
，进而根据正切的定义，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵将 沿直线 翻折到 ，
∴ ，
∵ 为 的直径， 是切线，
∴ ，∴ ；
【小问2详解】
解：∵ 是切线，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵由折叠可得 ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
【小问3详解】
解：∵ ，设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵由折叠可得 ，
∴ ，
∵在 中， ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
28. 如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点． 点坐标为 ，与 轴交
于点 ，点 为抛物线顶点，点 为 中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
（3）已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线 ， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说
明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）①见解析；② 的面积为定值
【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，
则 是等腰直角三角形，根据 ，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根据题意得出 ，得出直线 的解析式为 ，联立 得出
，在直线 上；②设 ， ，设 的解析式 ，联立抛物线解
析式，可得 ，根据题意，设直线 解析式为 ，直线 的解
析式为 ，求得 到 轴的距离是定值，即可求解．
【小问1详解】
解：将 ， 代入 得，
解得：
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解：对于 ，令 ，
解得：
∴
∴∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
如图所示，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则
∴ ，
∴
解得： （舍去）或
∴
【小问3详解】
①点 与点 重合，则 ，
∵点 为 中点， ，∴ ,
设直线 的解析式为 ，代入 ,
∴
解得：
∴
联立
解得： 或
∴ ，在直线 上
即 ， ， 三点共线；
②设 ，
∵ ， ， 三点共线；
∴设 的解析式 ，
联立
消去 得，
∴
∵ ，
设直线 解析式为 ，直线 的解析式为联立
解得：
∴
∵ ，
∴ ，
∴
而 不为定值，
∴ 在直线 上运动，
∴ 到 轴的距离为定值 ，
∵直线 ， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，， 中必存在面积为定值的三角形， 到 的距离是变化的，
∴ 的面积为 是定值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元
二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
