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难点冲刺 01 二次函数的六种实际问题
解二次函数的实际应用问题的一般步骤：
审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关
系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；
列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
答：写出答案.
题型一 拱桥问题
【例1】如图所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水位在l时，水面宽4m，拱顶（拱桥洞的最高
点）离水面2m．则当水面宽为3m时，水位上升了（ ）A．0.675m B．0.875m C．0.975m D．1.125m
【例2】如图，一阵拱桥的跨度 长为 ，拱桥顶部距离水面的高度为 ，现在以点 为坐标原点，
所在直线为 轴建立平面直角坐标系．
(1)抛物线顶点 的坐标是______，并求抛物线的表达式．
(2)在（1）条件下，直接写出拱桥倒影所在抛物线的函数表达式______．
(3)一艘游船宽6米，载客后水面以上高为3.2米，请问能否从桥下通过?
【变式1-1】如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距
离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m．若把拱桥的截面图放在如图所示的平面直
角坐标系中，抛物线的解析式为 ．
【变式1-2】如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，
宽 为12米．以点O为原点， 所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽1米的值班室），其中的一条行车道能否行驶
宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明；
(3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带” ，使点A，D在抛物线上，点B，C在
上，求出所需的三根“光带” ， ， 的长度之和的最大值．
【变式1-3】一座拱桥的轮廓是抛物线（如图所示），拱高 ，跨度 ，相邻两支柱间的距离均为 ．
求支柱 的长度．
建立坐标系：
我们可以以点 为原点建立平面直角坐标系，则 三点的坐标分别为_________，_________，
_________．根据图象可以设抛物线的解析式为_________，将 两点中的任意一点的坐标代入解析式即
可确定函数解析式，进而求出支柱 的长度．你还有其他建立直角坐标系的方法吗？试一试，然后对比
一下哪种更简单．
题型二 图形问题
【例3】用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档 ， 也用木料）．其中
，要使窗框 的面积最大，则 的长为（ ）A．8米 B．9米 C．10米 D． 米
【例4】装潢公司要给边长为6米的正方形墙面 进行装潢，设计图案如图所示（四周是四个全等的
矩形，用材料甲进行装潢；中心区是正方形 ，用材料乙进行装潢），两种装潢材料的成本如下表：
材料 甲 乙
价格（元/米2） 50 40
设矩形的较短边 的长为x米，装潢材料的总费用为y元．
(1) 的长为________米（用含x的代数式表示）；
(2)求y关于x的函数解析式；
(3)当中心区的边长不小于2米时，求装潢材料的总费用的最大值及此时中心区的边长．
【变式2-1】如图，利用一个直角墙角修建一个 的四边形储料场 ，其中 ．若新
建墙 与 总长为 ，则该储料场 的最大面积是（ ）A． B． C． D．
【变式2-2】某学校根据地形情况，要对景观带中一个长 ，宽 的长方形水池 进行
加长改造（如图①，改造后的水池 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m
的矩形水池 （如图②，以下简称水池2）.如果设水池 的边AD加长长度DM为 ，
加长后水池1的总面积为 ，设水池2的边 的长为 ，水池2的面积为 .
(1)直接写出 ， 关于x的函数解析式.
(2)当水池1与水池2的面积相等时，求此时x的值.
(3)当 时，设 ，求W的最大值和此时x的值.
【变式2-3】如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地 ，为美化环境，用总长为100
米的篱笆围成三块面积相等的矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．当矩形 的边 为
多长时，矩形区域 的面积最大？其最大面积是多少？题型三 销售利润问题
【例5】为庆祝第五个中国农民丰收节，宣传玉龙县特色农产品，“迎盛会·庆丰收·促振兴”农特产品展销
推荐会在白华生态农贸市场举行．某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的
售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量 （千克）与每千克售价 （元）满足一次函数
关系，部分数据如下表：
售价 （元/千克） 40 50 60
销售量 （千克） 120 100 80
设销售该商品每天的利润为 （元），则 的最大值为（ ）
A．1800 B．1600 C．1400 D．1200
【例6】金秋十月，梁子湖区成功获评“国家生态文明建设示范区”，以生态环境保护与绿色经济共赢的
特色吸引各地游客纷纷前来观光．梁湖超市销售一批成本为20元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐．
经市场调查发现，该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图
象如图所示．
(1)求该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
(2)若超市按售价不低于成本价，且不高于40元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得
的利润W（元）最大？最大利润是多少？
【变式3-1】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 元，经市场预测，销售单价为 元时，可售出 个；面销售单价每涨 元，销售量将减少 个，设每个销售单价为 元．
(1)写出销售量 件 和获得利润 元 与销售单价 元 之间的函数关系；
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 元，且商场要完成不少于 件的销售任务，求商场销售该
品牌玩具获得的最大利润是多少？
【变式3-2】水果商店经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的
百分率相同
(1)求每次下降的百分率
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取
适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现
该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
(3)为了响应脱贫致富攻坚战，商场决定每卖出1千克捐赠m元 给贫困山区学生，设每千克涨价x元
后，若要保证当 时，每天盈利随着x的增加而增大，求m的取值范围．
【变式3-3】某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为
万元/件．设第 个生产周期设备的售价为 万元/件，售价 与 之间的函数解析式是
，其中 是正整数．当 时， ；当 时， ．
(1)求 ， 的值；
(2)设第 个生产周期生产并销售完设备的数量为 件，且y与x满足关系式 ．
当 时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
当 时，若有且只有 个生产周期的利润不小于 万元，求实数 的取值范围．
题型四 方案设计问题
【例7】某商场要经营一种新上市的文具，进价为 元/件．试营销阶段发现：当销售单价为 元时，每
天的销售量为 件；销售单价每上涨 元，每天的销售量就减少 件．(1)写出每天所得的销售利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式；并求当x为多少时， 有最
大值，最大值是多少？
(2)商场的营销部结合上述情况，提出了甲、乙两种营销方案：方案甲：该文具的销售单价高于进价且不超
过 元；方案乙：每天销售量不少于 件，且每件文具的利润至少为 元．请比较哪种方案的最大利润
更高，并说明理由．
【例8】根据以下提供的素材，完成任务．
如何制定商店的销售定价方案
根据以下商店提供的信息，请你设计一个合适的商品定价方案．
素材一：商品成本： 元/件，每天进货 件，并且全部卖出；商品有 两种包装，目前的售价和日
销量如下表：
包装 包装
售价（元/件）
日销售量
（件）
素材二：
为了增加盈利，该商店准备降低 包装商品的售价，同时提高 包装商品的售价．通过市场调研发现，在
一定范围内， 包装商品售价每降低 元可多卖出 件， 包装商品售价每提高 元就少卖出 件．商店发
现若按照当前的总销量销售 两种包装商品，最大总利润为 元．
素材三：
销售一段时间后，商店发现若减少 两种包装商品的总销量， 两种包装商品的销售总利润反而有
所增长．为进一步增加盈利，商店决定将 两种包装商品的总销量减少 件．
【问题解决】
任务一：探究商品销量
设每件 包装商品售价降低 元（ 为整数），用含 的代数式表示降价后 包装商品每日的总销售量为
________件．
任务二：探究商品售价
在每日 两种包装商品的总销量为 件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时 两种包装
商品的售价．
任务三：确定定价方案请设计一种 两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过 元．（直接写出方案即可）
【变式4-1】某商场准备购进A、B两种商品进行销售，已知一件A种商品的进价比一件B种商品的进价多
10元，且用16000元采购A种商品件数是用7500元采购B种商品件数的2倍．
(1)每件A种和B种商品的进价分别为多少元？
(2)该商场欲购进A，B两种商品共250件进行销售，其中A种商品件数不小于20件，且不大于B种商品件
数．
若B种商品的售价定为210元/件，A种商品的售价与A种商品销量之间的关系如下表所示：
A种商品的销量 0 5 10 15 20 ……
A种商品的售价 240 230 220 210 200 ……
商场购进这两种商品能全部售出的前提下，请求出该商场销售这两种商品能获得的最大利润，并求出此时
的进货方案．
【变式4-2】某公司准备推出一种水杯，经过市场调查发现，该水杯前期的日销售情况如下：进价每个20
元，每天销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系：
(1)求销售单价为多少元时，该水杯每天的销售利润最大；
(2)经市场反馈，售价高于25元时，若每个水杯每涨价1元，每天要少卖出10个，商场的营销部在调控价
格方面，提出了A，B两种营销方案：方案A：每个水杯涨价不超过5元；方案B：每个水杯的利润至少为
16元．哪种方案的最大利润较大，并说明理由．
【变式4-3】冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，
非常畅销，小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，
一个雪容融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个，平均每个利润减
少1元；而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖．设冰墩墩的数量比
第一次增加 个，第二次冰墩墩售完后的利润为 元．
(1)用含 的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润 ；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？
题型五 抛物线型轨迹问题
【例9】一位运动员在距篮圈中心（点 ）水平距离 处竖直跳起投篮（ 为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为 时，达到最高点（点 ），此时高度为 ，然后准确落入
篮圈.已知篮圈中心（点 ）到地面的距离为 ，该运动员身高 ，在这次跳投中，球在头顶上方
处出手，球出手时，他跳离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【例10】学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液
（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，
洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分
是矩形 ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径 ，喷嘴位置点B距台面的距离为 ，
且B、D、H三点共线．小王在距离台面 处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为 ，若
小王不去接，则洗手液落在台面的位置距 的水平距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．
同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中
心，并与其一组对边平行，矩形 为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从 处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线 (单位长度为 )的一部分，且当弹珠的高度为 时，对应的两个位置
的水平距离为 ．已知 ， ， ．
(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标．
(2)请判断该同学抛出的弹珠是否能投人箱子．若能，请通过计算说明原因；若不能，在不改其它条件的情
况下，调整 的高度，使得弹珠可以投入箱子，请直接写出 的取值范围．
【变式5-2】某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷
出的水流距喷水枪的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，获得数据如表：
x（米）
y（米）
小明根据学习函数的经验，对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为_________米；
(3)结合函数图象，解决问题：若公园准备在距喷水枪水平距离为 米处加装一个石柱，使该喷水枪喷出
的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_________米．（精确到 米）
【变式5-3】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点
建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
(2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径
扩大到24米（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
题型六 图形运动问题
【例11】如图，正方形 边长为4，E、F、G、H分别是 上的点，且
．设A、E两点间的距离为x，四边形 的面积为y，则y与x的函数图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．【例12】如图，等腰直角三角形 的直角边 与正方形 的边 都在直线 上（点 与点 重
合），且它们都在直线 同侧， ，现等腰直角三角形 以每秒1个单位的速度从左到右沿
直线 运动，当点 运动到与点 重合时运动结束．设运动时间为 ， 与正方形 重叠部分的
面积为 ．
(1)请直接写出 与 之间的函数关系式及自变量的取值范围．
(2)当 时，求 的值．
【变式6-1】如图，在 中 ， 平分 ，过点D作 的平行线交 的延长线于点
C，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)如果 ， （ ）的长（单位：米）是一元二次方程 的两根，求 的长．
(3)若动点M从A出发，沿AC以 的速度匀速直线运动到点C，动点N从B出发，沿 以 的速
度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后， 的
面积为 ．
【变式6-2】如图，在 中， ， ， cm．点 从点 出发，以2cm/s的
速度沿边 向终点 运动．过点 作 交折线 于点 ， 为 中点，以 为边向右侧作正方形 ．设正方形 与 重叠部分图形的面积是y（cm），点 的运动时间为x（s）．
(1)当点 在边 上时，正方形 的边长为 cm（用含 的代数式表示）；
(2)如图当点 不与点 重合时，求点 落在边 上时 的值；
(3)当 时，求 关于 的函数解析式；并求出 为何值时， 为最大值．
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，
其中A点坐标为 ，B点坐标为 ，连接 ， ．动点P从A点出发，在线段 上以每秒
个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段 上以每秒1个单位长度向点A做匀
速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 ，设运动时间为t秒．
(1) ， ；
(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形 的面积最小，最小值为多少？
(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段 的值最小，则试求出点
M的坐标．1．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，铅球运动员掷铅球的高度 与水平距离 之间的
函数关系式是 ，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·江西南昌·九年级统考期末）如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若
， ，以 所在直线为 轴，抛物线的顶点 在 轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半
部分所在抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）行驶中的汽车刹车后行驶的距离y（单位：
米）与行驶的时间x（单位：秒）的函数关系式是 ，那么汽车刹车后到静止所需时间为
秒，刹车后汽车行驶的距离为 米.
4．（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙（足够长），其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长 的栅栏，设每间羊圈垂直于墙的
一边长为 ，三间羊圈的总面积 ，则 关于 的函数解析式是 ， 的取值范围是
，当 时， 最大．
5．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期中）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出
去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底
部 处，山坡上有一点 ，点 与点 的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米， 是高度为3米
的防御墙．若以点 为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙 ；
6．（2022秋·贵州毕节·九年级校考期中）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该
商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系： ．设这种商品每天的销售利
润为w元．
(1)求w与x之间的函数表达式；
(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大?
7．（2022秋·福建三明·九年级校考期中）如图，一小球 （看做一个点）从斜坡 上的 点处抛出，球
的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数 刻画、若小球到达的最高的点坐标为 ，解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)小球落点为 ，求 点的坐标；
(3)在斜坡 上的 点有一棵树（树高看成线段且垂直于 轴）， 点的横坐标为2，树高为4，小球 能
否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(4)若过点 作 轴的垂线，交斜坡于点 ，则线段 的最大值为____．（直接写出答案）
8．（2023秋·山东济宁·九年级校考期末）崇阳县“众望科工贸有限公司”生产的“众望小麻花”色香味美，
老少皆宜，深受消费者青睐，“青嬣超市”从该公司购进“众望小麻花”进行销售，每箱进价30元，超市
将销售价定为每箱40元时，每月可以卖出100箱，销售一段时间后发现，销售价每箱提高5元，每月就会
少卖10箱．
(1)直接写出每月的销售量y（箱）与销售价格x（元/箱）之间的关系式；
(2)“青嬣超市”计划涨价销售，请你帮助超市计算一下，每箱销售价格为多少时，每月的销售利润最大，
最大月销售利润为多少？
(3)疫情期间，相关部门严格督查稳定物价，要求超市的利润不得超过平时的 ，可由于防控交通不便等
原因，“众望科工贸有限公司”的生产成本提高，“青嬣超市”的每箱麻花进价上涨了a元，该期间月销
售量与销售价格仍然满足（1）中的函数关系，结果当月超市获得最大销售利润 元，求a的值．
9．（2023秋·广西南宁·九年级三美学校校考期中）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查
整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第 天） 1 3 6 10
日销售量 18
198 194 180
件） 8
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第 天）
销售价格（元
100
件）
(1)求m关于x的一次函数表达式；
(2)设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润
最大？最大利润是多少？
(3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
10．（2022秋·山西阳泉·九年级校联考期末）如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水
平线为 轴，过跳台终点A作水平线的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线
近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑
出后沿一段抛物线 运动．
(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线 的函数解析式（不要
求写出自变量 的取值范围）；
(2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
11．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）抛物线 的顶点为 ，与 轴交
于点 和 （点 在点 的右侧），与 轴交于点 ，直线 是抛物线的对称轴．
(1)当 时，求顶点P的坐标；
(2)将抛物线向左平移1个单位长，向上平移2个单位长，所得抛物线的顶点 恰好与点C重合，求平移后所得抛物线的解析式；
(3)设E是直线 上的一点，F是直线 上的一点，若四边形 的三边 的最小值为5，
求 的值．
12．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行
回顾反思，效果会更好．某一天他利用了 分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间 (单位：分)
钟与学习收益量 的关系如图 所示，用于回顾反思的时间 (单位：分钟)与学习收益量 的关系如图 所
示(其中 是抛物线的一部分， 为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
(1)求王亮解题的学习收益量 与用于解题的时间 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)求王亮回顾反思的学习收益量 与用于回顾反思的时间 之间的函数关系式；
(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这 分钟的学习收益总量最大？（注：学习收益总量 解
题的学习收益量 回顾反思的学习收益量）
