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难点冲刺 02 二次函数的六个最值问题
技巧一、二次函数在区间上的最值问题
1、定轴定区间
对于二次函数 在 上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在 时，取到最小值，无最大值．
（2）若 ，如图②，当 ， ；当 ， ．
（3）若 ，如图③，当， ；当 ， ．
（4）若 ， ，如图④，当 ， ；当 ， ．
b b b b
x=- x=- x=- x=-
2a 2a 2a 2a
① ② ③ ④
2、轴或动区间对于二次函数 ，在 （m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论
m，n与 的大小．
技巧二、线段最值的解题思路
一般将所求线段在抛物线上的点的坐标设出来，另一个端点的坐标也设出来，若横坐标相同，用两个点的
纵坐标相减即可得出一个二次函数解析式的形式，求出这个函数的最值即可;若是纵坐标相同，采用同样的
方法，也可求出。
技巧三、线段和或周长最值解题方法
将军饮马原理:两点间线段最短:点到直线的垂直距离最短.
策略:对称（翻折)→化同为异:化异为同:化折为直.
P
B
A A A P
l l l
P B P B
B
P
两村一路（异侧）和最小 两村一路（同侧）和最小 两路一村和最小
P M A
P B
A P Q
Q l
N
O
B
Q A A
两村两路和最小 两村一路和最小
技巧四、割补法（铅锤线法)
过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到几何图形的面积
，可得最大面积.题型一 定轴定区间求最值
【例1】二次函数 ，当 时，y的取值范围为 ．
【例2】已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则a的值为 ．
【变式1-1】已知二次函数 （其中x是自变量），当 时，y随x的增大而增大，
且 时，y的最大值为9，则a的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D． 或
【变式1-2】已知二次函数 ．
（1）当 时，二次函数 的最小值为 ．
（2）当 时，二次函数 的最小值为 ，则m的值为 ．
【变式1-3】在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，且点 在点 的
左侧．
（1）点 的坐标为 ；（2）当 时，抛物线 的最小值为 ，则 的值为 .
题型二 动轴定区间求最值
【例3】已知二次函数 ，当自变量 的取值在 的范围中时，函数有最小值 ，则
的最大值是 .
【例4】已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则
的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【变式2-1】已知关于 的二次函数 ，其中 为实数.
（1）当 取任意实数时，该二次函数有最小值为 ；
（2）当 时，该二次函数有最小值10，则 的值为 .
【变式2-2】在平面直角坐标系中，抛物线 ．
(1)若抛物线经过 ， 两点时，求抛物线的解析式；
(2)若点 ， 在抛物线上，且 ，请直接写出结果m的取值范围；
(3)当 时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值．
【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过点 ， ．(1)若 ，求该抛物线的解析式；
(2)若 ， 是（1）中抛物线上的两点，且 ，求线段 中点M的坐标；
(3)当 时，y有最小值3，求t的值．
题型三 定轴动区间求最值
【例5】当 时，二次函数 的最小值为8，则 的值为（ ）
A． 或5 B．5或8 C． 或8 D．0或5
【例6】二次函数 ，当 ，有最小值1，则m的值为 ．
【变式3-1】当 ，函数 的最小值为0，则 的取值范围为 ．
【变式3-2】已知二次函数 （ 为常数， ）．点 在该二次函数的图象上．
(1)求该抛物线与坐标轴的交点；
(2)当 时，该二次函数值 取得的最大值为9，求 的值．
【变式3-3】如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点
的坐标为 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)当 时，抛物线有最小值5，求 的值．
题型四 求线段最值
【例7】如图，在 中， ， cm， cm．点P从点A开始沿AC边向点C以
2cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，
用S表示 的面积，t表示移动的时间 ．
(1)求 秒时， 的面积；
(2)求S关于t的函数关系式，并求 面积的最大值；
(3)当t为何值时，PQ的距离最短，并求这个最短距离．
【例8】如图， 中， ， ， ， 是线段 上一个动点，以 为边
在 外作等边 ．若 是 的中点，则 的最小值为（ ）A．6 B．8 C．9 D．10
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点．在直线y＝ x
上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最
小值是（ ）
A．4.8 B．5 C．5.4 D．6
【变式4-2】如图，抛物线L：y x2 x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB
于点D，求PD的最大值，并求出此时点P的坐标；【变式4-3】如图，抛物线 经过点 、 ，交 轴于点 ． 为抛
物线在第三象限部分上的一点，作 轴于点 ，交线段 于点 ，连接 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段 长度的最大值，并求此时点 的坐标；
（3）若线段 把 分成面积比为 的两部分，求此时点 的坐标．
题型五 求线段和最值
【例9】已知抛物线 交 轴于点 和点 ，交 轴于点 ．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图，点 是抛物线上位于直线 上方的动点，过点 分别作 轴， 轴的平行线，交直线 于
点 ， ，当 取最大值时，求点 的坐标．
【例10】如图（1），二次函数 的图象与 轴、直线 的交点分别为点 、
．
图（1） 图（2） （备用图）
（1） _________， _________， =_________ ；
（2）连接AB，点 是抛物线上一点（异于点A），且 ，求点 的坐标；
（3）如图（2），点 、 是线段 上的动点，且 ．设点 的横坐标为 ．
①过点 、 分别作 轴的垂线，与抛物线相交于点 、 ，连接 ．当 取得最大值时，求的值并判断四边形 的形状；
②连接 、 ，求 为何值时， 取得最小值，并求出这个最小值．
【变式5-1】如图，抛物线 与坐标轴分别交于A，B，C,点D在x轴上，AC=CD，过点D
作DE⊥x轴交抛物线于点E，点P，Q分别是线段CO，CD上的动点，且CP=QD．记△APC的面积为S，
1
△PCQ的面积为S，△QED的面积为S，
2 3
（1）若S+S=4S ，求Q点坐标；
1 3 2
（2）连结AQ，求AP+AQ的最小值；
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线交 轴于
点 、 ，交 轴于点 ，在 轴上有一点 ，连接 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点 为 轴上方抛物线上的一个动点，连接 ， ，设 的面积为 ，点 的横坐标为 ，
求 与 的函数关系式；
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点 ，使得 的值最小，若存在，则求出最小值及点 的坐标；
若不存在，请说明理由．【变式5-3】如图，点 ,以点 为圆心、2为半径的圆与 轴交于点 ．已知抛物线
过点 和点 ，与 轴交于点 ．
(1)求点 的坐标，并画出抛物线的大致图象．
(2)点 在抛物线 上，点 为此抛物线对称轴上一个动点，求 的最小值．
题型六 求面积最值
【例11】如图，动点P在线段 上（不与点A，B重合）， ．分别以 为直径作半圆，
记图中所示的阴影部分面积为y，线段 的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则
阴影面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例12】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 、 两点，其顶点为 ，连
接 ，点 是线段 上一个动点（不与 、 重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点 的坐标；
(2)过点 作 轴于点 ，连接 ．求 面积 的最大值．
【变式6-1】在长方形 中， cm， cm，点P从点A开始沿边 向终点B以1cm/s的速
度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果 、 分别从 、
同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为 秒， 的面积为 （cm2）．
(1)填空： ， （用含 的代数式表示）；
(2)求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)求 的面积的最大值．
【变式6-2】如图，直线 与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线 过B，C两点，
与x轴的另一个交点为A，点D是在直线 上方的抛物线上一动点，连接 ， ， ．(1)求b、c的值；
(2)设四边形 的面积为S，求S的最大值．
【变式6-3】已知函数y=-x2+(m-1) x+m (m为常数)，其顶点为M．
(1)请判断该函数的图像与x轴公共点的个数，并说明理由；
(2)当-2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点M纵坐标的取值范围；
(3)在同一坐标系内两点A(-1，-1)、B(1，0)，△ABM的面积为S，当m为何值时，S的面积最小？并求出这
个最小值．
1．（2022·河北沧州·统考二模）如图，点 坐标为 ，点 坐标为 ， 为 上一个动点，分别以
、 为斜边在 的同侧作两个等腰直角三角形 和 ，连结 ．
（1）线段 的长为 ．
（2）则 长的最小值是 ．
2．（2023春·山东东营·九年级东营市实验中学校考期中）如图，矩形 的两边长 ，
，点M、N分别从A、B同时出发．M在边 上沿 方向以每秒 的速度匀速运动，N在边上沿 方向以每秒 的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．当运动时间
秒时， 的面积最大，最大值为 ．
3．（2023秋·福建厦门·九年级校考期中）已知函数 ，当 时，函数有最大值
，最小值3，则m的取值范围是 ．
4．（2023秋·广东深圳·九年级校考期末）如图，线段 ，点 在线段 上，在 的同侧分别以
、 为边长作正方形 和 ，点 、 分别是 、 的中点，则 的最小值是 ．
5．（2023秋·四川德阳·九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4 ，D为边AB上一动点
（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是 ，△BDE面积的最大值
为 ．6．（2022·新疆和田·二模）如图，在矩形 中， ，点 从点 出发沿 边向点 以1
个单位每秒的速度移动，同时点 从点 出发沿 边向点 以2个单位每秒的速度移动。如果 两点
在分别到达 两点后就停止移动，设运动时间为 秒 ，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时， 的面积等于 ；
（２）设五边形 的面积为 ，写出 与 的函数关系式，当 为何值时 最小？求 的最小值．
7．（2023秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期中）已知关于x的二次函数 ．
(1)若 ， 两点在该二次函数的图象上，直接写出 与 的大小关系；
(2)若将抛物线沿y轴翻折得到新抛物线，当 时，新抛物线对应的函数有最小值3，求m的值．
8．（2022·贵州遵义·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm，点P，点Q分别以
2cm/s和1cm/s的速度从A，B沿AB，BC方向运动．设t秒（t≤5）时，△PBQ的面积为y．
（1）试写出y与t的函数关系式．
（2）当t为何值时，S ＝6cm2？
PBQ
△
（3）在P、Q运动过程中，四边形APQC的面积是否有最小值？如果有，直接写出S ＝ ．
四边形APQC
9．（2022秋·天津河西·九年级校考期末）如图，在 中， ， cm， cm，点P
由点A出发，沿 方向向点B匀速运动，速度为1cm/s，点Q由点B出发，沿 方向向点C匀速运动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B两点出发，一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动
的时间为t（s），
(1) ______cm， ______cm（用含t的代数式表示）
(2)求 的面积S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围
(3)经过几秒， 的面积最大？并求出面积的最大值．
10．（2022秋·四川自贡·九年级统考期末）如图，线段 ，点 是线段 上的一个动点，分别以
和 为边在线段 的同侧构造菱形 和菱形 ，且 ， 是菱形
的对角线交点、 是菱形 的对角线交点，连接 ，则线段 的最小值为 ．
11．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 和点 ，抛物线 经过
两点，并且与 轴交于另一点 .点 为第四象限抛物线上一动点(不与点 重合)，过点 作
轴，垂足为 ，交直线 于点 ，连接 .设点 的横坐标为 .(1)求抛物线的解析式;
(2)当 时，求出此时 的值;
(3)点 在运动的过程中， 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明
理由.
12．（2022·广东汕头·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E，F分别从顶点B，C同时开
始以相同速度沿边BC，CD运动，与 BCF相应的 EGH在运动过程中始终保持 EGH≌△BCF，对应边
EG＝BC，B，E，C，G在一条直线上△. △ △
（1）若BE＝a，求DH的长；
（2）当E点在BC边上的什么位置时， DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值.
△
13．（2022·安徽六安·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知C点坐标为（0，-3），且OA＝OC
＝3OB，抛物线 图象经过A，B，C三点，D点是该抛物线的顶点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)判断△ADC的形状，并求△ADC的面积；
(3)如图2，点P是该抛物线位于第三象限的部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于点E，PE的值是否存
在最大值？如果存在，请求出PE的最大值；如果不存在，请说明理由．
14．（2019·内蒙古赤峰·九年级期中）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，抛物线
经过点 ，与 轴另一交点为 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求 的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请
说明理由．
