第二十六章反比例函数（知识归纳+题型突破）（六大题型，98题）（学生版）-（人教版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第二十六章 反比例函数 （知识归纳+题型突破）1、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．2、能画反比例函数 的图象，根据图象和表达式 探索并理解k >0和k <0时图象的变化情况． 3、能用反比例函数解决简单实际问题． 1.反比例函数的概念： k y= x 一般地， （k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。 （x为自变量，y为因变量，其中x不能为零） 2.反比例函数的等价形式： k y= (k≠0) x y=kx−1 (k≠0) xy=k(k≠0) y是x的反比例函数 ←→ ←→ ←→ ←→ 变量y与x 成反比例，比例系数为k. 3.判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法： xy=k ①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即 >。（通常第二种方法更适 用） 4.反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线 反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的； ②选取的点越多画的图越准确； ③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。 5.反比例函数性质： ①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。 6.反比例函数图象的几何特征:(如图1所示) 1 1 S =|xy|=|k| S = |xy|= |k| 矩形OAPB ΔAOB 2 2 点P(x,y)在双曲线上都有B P P B O A A O 图1 题型一反比例函数的定义及其应用 【例1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数 的图像经过点 ，则a的值为 ． 例2（2023秋·全国·九年级专题练习）下列问题中的两个变量是成反比例的是（ ） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 巩固训练： 1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是 ．则下列说法 不正确的是（ ） A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系； B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大； C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系； D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系． 2．（2023秋·湖南株洲·九年级校联考阶段练习）下列关系式中，是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 3．（2023秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校考阶段练习）下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于 二次函数的是（ ） A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距 离s与小希骑车的时间t C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t D．正方形的周长y与边长x 4．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列函数中：① ，② ，③ ，④ （ 为常 数，且 ）；属于反比例函数的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）下列 关于 的函数中， 是 的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 6．（2023·青海·统考中考真题）生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒 精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（ ） A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响 C．当酒精浓度是 时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系 7．（2023·海南·统考中考真题）若反比例函数 （ ）的图象经过点 ，则k的值是（ ） A．2 B． C． D． 8．（2023秋·全国·九年级专题练习）若函数 是反比例函数，则m的值是（ ） A．2 B． C． D．1 9．（2023秋·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）已知点 在双曲线 上，则下列各点也 在此双曲线上的是（ ） A． B． C． D． 10．（2023春·海南海口·九年级校考期中）若反比例函数 的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 11．（2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）下列各点中，一定在反比例函数 的图象上的点是 （ ）A． B． C． D． 12．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）以下选项中的各点，不在反比例函数 图象上的是 （ ） A． B． C． D． 13．（2023秋·全国·九年级专题练习）一个菱形的面积为 ，它的两条对角线长分别为 ， 则 与 之间的函数关系式为 ． 14．（2023秋·湖南娄底·九年级统考阶段练习）若 是反比例函数，则此函数解析式为 ． 15．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考阶段练习）已知函数 是反比例函 数，则 ． 16．（2023·浙江杭州·校考二模）已知点 在反比例函数 的图象上，则 ． 17．（2023秋·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的 改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足： 与 成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达 式． 18．（2023秋·全国·九年级专题练习）水池内有污水 ，设放净全池污水所需时间为 ，每小时放 水量为 ． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当 时，y的值． 题型二 利用反比例函数的性质求参数 【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知反比例函数 ，当 为何值时： (1)函数的图象在第二、四象限？ (2)在每个象限内， 随 的增大而减小？巩固训练 1．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如果反比例函数 （m是常数）的图象在第一、 三象限，那么m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）反比例函数 的图像经过二四象限，则 的取值 范围为（ ） A． B． C． D． 3．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）在反比例函数 图象上有两点 ， ， ， ，则有（ ） A． B． C． D． 4．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知反比例函数 的图象上有 两点，当 时， ，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2022·福建泉州·统考模拟预测）在反比例函数 的图像在某象限内， 随着 的增大而减小， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（2023秋·安徽合肥·九年级校考期中）已知反比例函数 的图象在第二、四象限，则k的取值范 围是 ． 7．（2023秋·吉林长春·九年级长春外国语学校校考阶段练习）已知反比例函数 的图象位于一、 三象限，则 的取值范围为 ． 8．（2023秋·湖南常德·九年级校考阶段练习）若反比例函数 的图像经过第二、四象限， 则 ．9．（2023秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）在反比例函数 的图象上有两点 、 ，当 时，有 ，则 的取值范围是 ． 10．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）已知 是关于x的反比例函数． (1)若 时，y随x的增大而减小，求m的值； (2)若该反比例函数图象经过第二象限内点 ，求n的值． 11．（2023秋·江苏南京·九年级南京市伯乐中学校考开学考试）若反比例函数 的图象，在每个象 限内y都随x的增大而增大，则k的值可以是 .（写出一个满足条件的即可） 12．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）若反比例函数 的图象如图所示． (1)求常数k的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而______． 13．（2021秋·陕西延安·九年级校考阶段练习）已知 是反比例函数，且该函数图象的两个 分支分布在第二、四象限，求m的值． 14．（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期末）在反比例函数 图象的每一条曲线上，y随x的增大而增 大． (1)函数图象经过哪些象限？ (2)求k的取值范围． 题型三 比例系数k与图形面积 【例4】（2023春·新疆喀什·九年级新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）点A在函数的图象上，点 在函数 的图象上，如图所示， 为坐标原点， 轴，则 的面积为 ． 【例5】36．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，正方形对称中心在原点O，四个顶点分别 位于两个反比例函数 的图象的四个分支上，则实数 的值为（ ） A． B． C． D．4 巩固训练 1．（2022春·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校联考自主招生）如图，在平面直 角坐标系中，菱形 的顶点D在第二象限， 轴， ，且 ， 于E， ．反比例函数 ，与边 交于点F，连接 ．若 ，则k的值为 （ ）A． B． C．7 D． 2．（2022春·福建泉州·八年级校考期末）如图，A、B两点在反比例函数 的图象上，C，D两点在反 比例函数 的图象上， 轴于点E， 轴于点F， ， ， 的长度为 ，则 的值是（ ） A．8 B．11 C．15 D．16 3．（2023秋·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）如图，直线 与反比例函数 ， 的图象交 于点A、B，直线 与反比例函数 ， 的图象交于C，D，其中常数t，k均大于0，点P， Q分别是x轴、y轴上任意点，设 和 的面积分别为 ， ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ， 均为定值；正确的有（ ）A．②④⑥ B．①②③ C．④⑥ D．⑤⑥ 4．（2021春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图， 、 两点在双曲线 上， 、 两点在 双曲线 上，若 轴，且 ，则 的面积为 ． 5．（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图， 为双曲线 上的一点， 轴，垂足为 ， 交双曲线 于 ， 轴，垂足为 ， 交双曲线 于 ，连接 ，则 的面积是 ．6．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以 ， 为边，在x轴上方作正方 形 ， ．反比例函数 的图象分别交边 ， 于点P，Q．作 轴于点M， 轴于点N．若 ，Q为 的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ． 4．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 和 的图象的四个分支上，则 的值= ． 8．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，已知 ， ，将线段 平移至 的位置，其 点在 轴的负半轴上， 点在反比例函数 的图象上，若四边形 的面积是18，则 ．9．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，平行四边形 的顶点B在双曲线 上，顶点C在 双曲线 上， 中点P恰好落在y轴上，已知 ，则 ． 10．（2023秋·安徽合肥·九年级校联考阶段练习）如图，在反比例函数 的图象上有点 ， ， ， ， ，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作 轴、 轴的垂线，图中所构成的阴影部 分的面积从左到右依次为 ， ， ， ，已知 的纵坐标为10． （1） 的值为 ； （2）阴影部分的面积 ， ， ， 的和为 ．11．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，点 ， 分别在函数 图象的两支 上（ 在第一象限），连接 交 轴于点 ．点 ， 在函数 ( ， )图象上， 轴， 轴，连接 ， ． （1）若 ， 的面积为9，则 的值为 ． （2）在（1）的条件下，若四边形 的面积为14，则经过点 的反比例函数解析式为 ． 12．（2023秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）如图， 、 是反比例函数 图 象上两点，连接 、 ，求 的面积． 13．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）如图，已知反比例函数 的图象经过点 ． (1)求k的值． (2)若点B在x轴上，且 ，则 的面积为______．题型四 反比例函数与几何的综合 【例6】（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形 （ ）交反比例函数 的图象于点D，E．点D的坐标为 ．连接 ．若 ，则 的值为 巩固训练 1．（2022秋·安徽安庆·九年级校考期末）如图所示，已知 ， 为反比例函数 图象上的 两点，动点 在 轴正半轴上运动，当线段 与线段 之差达到最大时，点 的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 在 轴的 正半轴上， ．对角线 相交于点 ，反比例函数 的图象经过点 ，分别与 交于点 ．(1)若 ，求 的值； (2)若 ，求反比例函数关系式． 3．（2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ， 的顶点在 轴的正半轴上，点 ，点 在第一象限，且直角边 平行于 轴，反比 例函数 且 的图象经过点 和边 的中点 ，则 的值为 ． 4．（2022春·安徽芜湖·九年级校考自主招生）如图， 是等腰直角三角形，点 在函数 的图象上，斜边 都在 轴上，则点 的坐标是 ． 5．（2022春·安徽芜湖·九年级校考自主招生）如图，点P为函数 的图象上一点，且到两坐标轴距离相等， 半径为2， ， ，点Q是 上的动点，点C是 的中点，则 的最小值 是 ． 6．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中， 的 顶点 在 轴负半轴上， 轴，点 在反比例函数 的图象上， ，若 ， ，则 的值为 ． 7．（2023秋·浙江金华·九年级校联考开学考试）如图，反比例函数 的图象经过菱形 的 顶点 ，点 在 轴上，过点 作 轴的垂线与反比例函数的图象相交于点 ．若 ，则点 的坐 标是 ． 8．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在轴的正半轴上， 以线段 为边向上作正方形 ，顶点A在正比例函数 的图像上，反比例函数 ，且 ，，的图像经过点A，且与边 相交于点E． (1)若 ，求点 的坐标； (2)连接 ， ． ①若 的面积为24，求 的值； ②是否存在某一位置使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，矩形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴 的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B坐标为 ，反比例函数 的图象经过 的 中点D，且与 交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值及点E的坐标； (2)点M为y轴正半轴上一点，若 的面积等于 的面积，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O，D，E，N四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接 写出N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型五 反比例函数与一次函数、二次函数的综合问题 【例7】（2023秋·湖南株洲·九年级校联考阶段练习）正比例函数 和反比例函数 在同一坐标系 内的图象为（ ）A． B． C． D． 【例8】（2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）反比例函数 （ 是常数，且 ）与二次函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【例9】（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线 （常数t＞0）与x轴从左到右的交 点为B，A，过线段OB的中点M作MP⊥x轴，交双曲线 于点P． (1)当t＝1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离； (2)当直线MP与L对称轴之间的距离为1时，求t的值． (3)把L在直线MP右侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最低点的坐标； (4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x，且满足﹣6≤x≤﹣4，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的 0 0取值范围． 巩固训练 1．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）已知反比例函数 ，且 随 的增大而减小，则 一次函数 的大概图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．（2023秋·广东深圳·九年级深圳实验学校中学部校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交 于点 ， 两点，当一次函数大于反比例函数的值时， 的取值范围是 A． B． C． D． 3．（2023秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的 图象大致是（ ） A． B． C． D． 4．（2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．（2023·河北沧州·模拟预测）用绘图软件绘制直线 ，直线与坐标轴的交点分别为 ， ， 其中 不在可视范围内．视窗的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点 始终在视窗中心．若使点 在可视范围之内，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的 （ 为整数），则 的图象是 （ ） A． B．C． D． 6．（2022秋·安徽六安·九年级校考期中）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 和反比例函数 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．（2023春·山东日照·九年级校考期中）在同一直角坐标系中，反比例函数 与二次函数 的大致图像可能是（ ）A． B． C． D． 8．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）函数 与 在同一平面直角坐标系中 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致为（ ）A． B． C． D． 10．（2023春·山东德州·九年级统考开学考试）某同学利用数学绘图软件探究函数 的图象， 在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a， b，c的值应满足（ ） A． B． C． D． 11．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线 与双曲线y=- 有交点 ，且满 足 ，则 的取值范围是( ) A． B． 或2 C． D． 或12．（2023秋·湖南株洲·九年级校联考阶段练习）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的 图象交于A， 两点，且与 轴交于点 ，点A的坐标为 ． (1)求 及 的值； (2)结合图象直接写出不等式组 的解集． 13．（2021春·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别相交于 两点，与双曲线 在第一象限相交于点 轴于点 ，且 ，点 的坐标为 ． (1)直接写出一次函数与双曲线的解析式； (2)若点 为双曲线上一点，过 作 轴的垂线交一次函数的图象于 ，线段 的长度为1，求点 的横 坐标； (3)直接写出不等式 的解集． 14．（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交 于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函数 在第三象限内的图象交于点 ．(1)求反比例函数的表达式； (2)当 时，求 的取值范围； y (3)当点 在 轴上，ABP的面积为6时，直接写出点P的坐标． 15．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AB：yx4与反 k 比例函数y 的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为6n，2n和m，6． x (1)求反比例函数的解析式； k (2)直接写出不等式x4 的解集； x k (3)点P为反比例函数y x 图象上任意一点，若S 2S ，求点P的坐标． POC AOC 16．（2023春·浙江金华·八年级校考期中）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函 k y (x0) 数 与正比例函数yx相交于整点A，与一次函数yxt相交于整点B、C，正比例函数yx x 与一次函数 yxt 相交于点D，线段BC与线段AD上的整点个数之比记作m．(1)当k 4时，求D点的坐标和m值． AD 2 (2)当线段BC上的整点个数为7， 时，求t的值． AD 2 (3)当 时，请直接写出t与m之间的关系式． k 17．（2022·河北保定·校考一模）如图，点Pm,1 是抛物线l： yax122a0 和双曲线 y x x0 的一个交点，且位于直线x1的右侧：抛物线l与x轴交于点B，C，（B在C的左侧）与y轴交于点F． (1)当m2时，求a和k的值； (2)若点B在x轴的负半轴上，试确定k的取值范围； (3)ABC的面积为4，且OB:OC1:3，求k的值； (4)直接写出k的值，使O，F两点间的距离为1． 题型六 反比例函数的实际应用 【例10】（2023秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）心理学家研究发现，一般情况下，一节课45分钟中， 学生的注意力随教师讲课的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注 y 意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，BC∥x轴，CD为双曲线的一部分）， 其中AB段的关系式为y2x20．(1)根据图中数据，求出CD段双曲线的关系式； (2)一道数学竞赛题，需要讲20分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适 当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 巩固训练 FN 1．（2023秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）根据物理学知识，一定的压力 作用于物体上产生的压 PPa S  m2 S 5m2 P20Pa 强 与物体受力面积 成反比例，已知当 时， ． (1)试确定P与S之间的函数表达式； (2)如果作用于物体上的压力能产生的压强P要大于 1000Pa 时，求物体受力面积 S  m2 的取值范围． 2．（2023秋·湖南娄底·九年级统考阶段练习）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 PPa S  m2 是它的受力面积 的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)P关于S的函数关系式为 ． S 0.25m2 Pa (2)求当 时，物体所受的压强是 ． (3)当1000P4000时，求受力面积S的变化范围． 3．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行 驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足3.5t4，求平均速度v的取值范围． 4．（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与 上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系 （如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件． (1)①当0x20时，写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数表达式为 _________． ②当x20时，写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数表达式为 _________． (2)销售经理说：至少有28天的日销售量为大于或等于100件，你同意销售经理的说法吗？请说明理由． 5．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）为了预防流感，某学校对教室采用药薰 y(mg) x(min) 消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 与时间 成正比例，药物燃 y(mg) x(min) 9min 烧后， 与 成反比例，如图所示，现测得药物 燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为 5mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物燃烧后 y 关于x的函数关系式；3mg 10min (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 且持续时间不低于 时，才能杀灭空气中的毒， 那么这次消毒是否有效？为什么？ 6．（2023春·山西临汾·八年级校联考期中）如图所示，小明家饮水机中原有水的温度是20，开机通电后， 饮水机自动开始加热，此过程中水温 y （°C）与开机时间x（分）满足一次函数关系．当加热到100°C时 自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温 y （°C）与开机时间x（分）成反比例关系．当水温降 至20°C时，饮水机又自动开始加热……，不断重复上述程序．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当0x5时，求水温 y （°C）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午7:20（水温20°C），开机通电后去上学，11:33放学回到家时，饮水机内水的温 度为多少°C？并求：在7:20——11:33这段时间里，水温共有几次达到100°C？ 7．（2023春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，长10m，宽5m，深4m的长方体水池被隔成底面分别 是3m5m和7m5m的甲，乙两池（设隔墙厚度忽略不计），两池隔墙下方有阀门相连． th t (1)当两池间的阀门关闭时，设进水管每小时注入甲池放得水量是a立方米，注满甲池的时间为 1 ， 1与a 之间的函数关系式是___________； (2)注满甲池后，进水管自动关闭，同时两池间的阀门开启，设甲池的水每小时流入乙池的水量也是a立方 t h t 米， 2 后水流停止， 2与a之间的函数关系式是___________； (3)如果要在15h内能依次完成第（1），（2）题中所述的过程，那么进水管和两池间的阀门每小时至少要 通过多少水量？8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图，取 水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v(m/s)从D点滑出，运动轨迹 yax22x20(a0) 7 CE K DO 近似抛物线 ．某运动员 次试跳的轨迹如图2，在着陆坡 上设置点 （与 相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标． (1)求线段CE的函数表达式； v 7 a v2 (2)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度 的大小有关，进一步探究，测算得 组 与 的对应数据，在平面 直角坐标系中描点如图3． ①猜想a关于 y 的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． v m/s 1m/s 31.73 52.24 ②当 为多少 时，运动员的成绩恰能达标（精确到 ）？（参考数据： ， ） 9．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）电灭蚊器的电阻随温度x℃变化的大致图像如图所示，通电后温 度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值， 1 随后电阻随温度升高而增加，温度每上升 ，电阻增加 k． 1℃ 5 (1)当10x30时，求y与x之间的关系式； (2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ? 10．（2023秋·全国·九年级专题练习）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A 处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．(1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁 荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平 均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至 少还需加多少油？ 11．（2023·河南周口·校考三模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录 pPa S  m2 桌面所受压强 与受力面积 的关系如下表所示． 受力面积S  m2 2 1 0.5 0.4 a 桌面所受压强 20 50 100 400 800 pPa 0 0 (1)根据表中数据，求桌面所受压强 与受力面积 之间的函 pPa S  m2 数表达式及a的值． 0.4m,0.2m,0.1m (2)现想将另一长、宽、高分别为 ，且与该长方体相同重量的长方体按如图2所示的方式 （即A面向上）放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为4000Pa，请你判断这种摆 放方式是否安全？并说明理由．若将此长方体B面向下摆放，请直接判断是否安全． 12．（2023秋·全国·九年级专题练习）根据以下素材，探索完成任务．制作检测75%酒精的漂浮吸管 如图1，装有钢珠且下端密封的吸管漂浮在液体中时，所受重力与浮力大小相等，吸管浸在液体中的 深度会因液体密度的改变而改变． 素 材 1 小明通过观察与测量，得到漂浮在液体中吸管的示数（h cm）与液体密度ρ（g/cm3）之间的几组数据 如下表： 素 h（cm） … 19.8 18 16.5 13.2 … 材 2 ρ（g/cm3） … 1.0 1.1 1.2 1.5 … 浓度为a%的酒精密度（酒精与水的密度分别为0.8g/cm3，1.0g/cm3）： 素 材 m a%V 1a%V 3    酒精 酒精 a%0.81a%1.00.002a1 a%酒精 V V 问题解决 任 务 求ρ关于h的函数表达式． 1 任 由吸管上对应的刻度线可判断配置的酒精浓度．图2已标出吸管在水中的位置，请通过计算，标出 务 可以检测75%酒精的吸管位置．（精确到0.1cm） 213．（2023·山东青岛·校联考三模）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知 该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一 场，产品就少卖出1台； (1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加 组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第 40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据： x（场） 3 10 25 p（万 10.6 12 14.2 元） (2)求p与x之间满足的函数关系式； (3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？ (4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 14．（2023·山东临沂·统考二模）阅读下列材料： 实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增 高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低． 小明根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精 含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）． (x0) 下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时） 的变 化情况． 1 1 3 5 3 饮酒后的时间x（小时） … 1 2 3 4 5 6 … 4 2 4 4 2血液中酒精含量y（毫 175 15 375 20 375 15 225 225 225 4 225 … … 克/百毫升） 2 0 2 0 2 0 2 3 4 5 6 下面是小明的探究过程，请补充完整： xOy y x (1)如图，在平面直角坐标系 中，以上表中各对数值为坐标描点，画出血液中酒精含量 随时间 变化 的函数图象； 3 (2)观察表中数据及图象发现此函数图象在直线x 两侧可以用不同的函数表达式表示，请你直接写出血 2 液中酒精含量 y 随时间x变化的函数表达式； (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升时属于“醉酒驾驶”，请你求 153.87 出车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升的时间是多少?（ ；最终结果保留 小数点后一位） y3x2 15．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数 y3(x2)24 的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是 ．类似地，函 k k 数y n(k 0,m0,n0)的图象是由反比例函数y 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个 xm x m n 单位得到，其对称中心坐标为(m,n)．1 y (1)①将 x 的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函 数表达式为 ； x1 1 ②函数y 的图象可由y 得图象向 平移 个单位得到； x x x1 ③y 的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ x2 4 4 (2)如图，在平面直角坐标系 中，请根据给的y 的图象画出函数y 2的图象，并根据该图 xOy x x2 象指出，当x在什么范围内变化时，y1． (3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知 4 识学习后经过的时间为 ，发现该生的记忆存留量随 变化的函数关系式为y  ；若在 时 x x 1 x4 xt(t4) 进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆 8 存留量随 变化的函数关系式为y  ．如果记忆存留量为 1 时是复习的“最佳时机点”，且他第一次 x 2 xa 2 复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答 案． 16．（2023·河南·九年级统考自主招生）某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质 量，内部电路如图 2 所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数 . 已知电源电压 U 为 18V ，定值电阻 R 0 R FN 为 30 ，电阻R为力敏电阻，其阻值 与所受压力 符合反比例函数关系．R FN R FN 3 (1)请补全下面的表格，在图 中补全点，画出 与 的关系图象，并写出阻值 与压力 的函数关系式． FN 120 ______ 60 50 ______ 30 R 5 6 10 12 15 20 U (2)已知电路中电流IA与电阻、电源电压的关系式 I= R+R ，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到 0 量程的最大值.若电流表的量程为0～0.5A，则该台秤最大可称多重的物体？ FN mkg F mgg 10N/kg. (3)已知力敏电阻受压力 与所测物体的质量 的关系为 若力敏电阻阻值的变 mkg 8R25 化范围为 ，则所测物体的质量 的变化范围是______ ． 17．（2023·江苏盐城·校考三模）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日 （星期四）， 在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数 关系的数学活动”． 第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率． 第四步，计算收集数据如下：R/Ω … 2 4 6 8 10 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以 表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改， 实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选） A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为．