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第二十章 数据的分析（知识归纳+12 题型突破）
1.了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数
的思想．
2.了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特
征．
3.了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思
想，掌握分析数据的思想和方法．
4.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的
联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度.
知识一 算术平均数和加权平均数
一般地，对于 个数 ，我们把 叫做这 个数的算术平均数，简称平
均数，记作 .计算公式为 .
特别说明：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.
（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数 附近上、下波动时，一般选用简化计算公式
.其中 为新数据的平均数， 为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.
所以平均数容易受到个别特殊值的影响.
若 个数 的权分别是 ，则 叫做这 个数的加权平均
数.
特别说明：（1）相同数据 的个数 叫做权， 越大，表示 的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.
知识二 中位数和众数
1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于
中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的
中位数.
特别说明：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
特别说明：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据
出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
知识三 平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个
别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位
置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次
重复出现时，可用众数来描述.
知识四 极差、方差和标准差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，
极差＝最大值－最小值.
特别说明：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这
组数据就越稳定.
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差 的计算公式是：
1
S2 = [(x −¯x) 2 +(x −¯x) 2 +...+(x −¯x) 2]
n 1 2 n
特别说明：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据
的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的 倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的 倍.方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号 表示，即： ；标
准差的数量单位与原数据一致.
知识五 极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的
离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动
范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
知识六 用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的
平均水平或方差.
特别说明：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必
须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身
的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.
【题型一 求一组数据的平均数】
例题：（2024上·江苏·九年级统考期末）学校利用劳动课采摘白萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜
长（单位： ）为26，20，25，22，22，则这组数据的平均数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平均数，根据平均数公式求解可得．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电
池回收的志愿者活动，该小区有10名中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下表：根据表中的
数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 节．
电池数量（节） 2 5 6 8 10
人数 1 4 2 2 1【答案】6
【分析】本题考查的是平均数．要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可．
【详解】解： ，
10名中学生回收废电池的平均数是6．
故答案为：6．
2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）在“书香进校园”读书活动中，某同学根据该小组阅读课外书的
数量，绘制了8~12月份的折线统计图，该小组平均每月阅读课外书为 本．
【答案】
【分析】本题主要考查平均数的计算公式，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．根据平均数的计算公式
求出答案即可．
【详解】解： 本，
故该小组平均每月阅读课外书为 本．
故答案为： ．
【题型二 已知平均数求未知数据的值】
例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a
的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查算术平均数．根据平均数的定义求解即可．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ．
故答案为：5．【变式训练】
1．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表：
成绩
50 60 70 80 90
（分）
人数
2 3 2
（人）
根据上表，若成绩的平均数是72，计算： ， ．
【答案】 6 7
【分析】本题考查了算术权平均数的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，由算术平均数的计算方法
根据平均数为72和总人数为20建立二元一次方程组，求出其解解即可．
【详解】解：由题意，得：
，
解得： ．
∴ ．
2．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2， ，3，5的平均数是 ，则这组数据的平
均数为 ．
【答案】
【分析】根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程求出x即得答案．
【详解】解：∵数据0，2， ，3，5的平均数是 ，
∴ ，
解得： ，
∴这组数据的平均数为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键．【题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数】
例题：（2023上·内蒙古包头·八年级校考阶段练习）已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据 、
、 的平均数是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了算术平均数；
根据数据a、b、c的平均数为5求出 ，然后根据算术平均数的计算方法求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
∴数据 、 、 的平均数为： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）已知一组数据 ， ， ， 的平均数是3，则数据 ，
， ， 的平均数是 ．
【答案】3
【分析】利用平均数的定义直接计算即可得到答案．
【详解】解： ， ， ， 的平均数是3，
， ， ， 的和是12，
，
， ， ， 的平均数是 ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平均数的求法，熟练掌握平均数的计算公式进行计算是解题的关键．
2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知： ， ， ， ， 的平均数是 ， ， ， ， ，
的平均数是 ，则 ， ， ， ， 的平均数是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前 个数的和，再求后 个数的和，然后利用平均数的定
义求出 个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ， ， 的平均数是 ， ， ， ， ， 的平均数是 ，
∴ ， ， ， ， 的平均数是 ，
故答案为： ．
【题型四 求加权平均数】
例题：（2023上·山东青岛·八年级统考期末）随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，
购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条
的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是 元．
【答案】21
【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是根据题意中的数据和扇形统计图中的数据，利用加权平
均数的计算方法，可以计算出所购买艾条的平均单价．
【详解】解：由图可得，
所购买艾条的平均单价是： （元），
故答案为：21．
【变式训练】
1．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历
史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占 ，“语言
表达”占 ，“形象风度”占 ，“整体效果”占 进行计算，小颖这四项的得分依次为85，
88，92，90，则她的最后得分是 分．
【答案】87.4
【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】解：她的最后得分是 （分 ，故答案为：87.4．
2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按
2∶3∶2∶2∶1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 分．
【答案】9
【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，最终得分为 （分），
故答案为：9．
【题型五 运用加权平均数做决策】
例题：（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）某公司对应聘候选人小明和小张进行了面试和笔试，他们各
项的成绩（百分制）如下表：
测试（百分制）
候选
人
面试 笔试
小明 86 90
小张 92 83
(1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
(2)如果公司认为，面试的成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，谁将被录取？
【答案】(1)从他们的成绩看，小明将被录取
(2)小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取
【分析】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算．（1）根据题意先求出小明和小张的平均成绩，再进行比较，即可得出答案；
（2）根据题意先算出小明、小张两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）小明的平均成绩是： （分 ，
小张的平均成绩是： （分 ，
，
从他们的成绩看，小明将被录取；
故答案为：小明；
（2）小明的平均成绩 （分 ，
小张的平均成绩 （分 ，
小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退
场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表：
甲班的成绩
项目 乙班的成绩（分）
（分）
服装统一 95 90
进退场有序 90 85
动作规范 85 b
动作整齐 90 95
平均分 a 90
(1)表中a的值为___________；b的值为___________．
(2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按
的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩；
(3)你认为上面四项中，哪一项最重要? 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的
广播操比赛成绩最高?
【答案】(1)90，90
(2)甲班：89；乙班：91
(3)见解析【分析】本题考查了平均数和加权平均数；
（1）根据求平均数的公式即可求解；
（2）根据求加权平均数的公式即可求解；
（3）动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按 的比例计算成绩．
【详解】（1）解： ， ，解得： ；
故答案为： ，
（2）解：甲班： ，
乙班：
（3）解：动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按 的比例计算成绩，则
甲班： ，
乙班： ，
∴乙班成绩更高；
2．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新
的学期举办“篮球特色热爱篮核选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核
的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录．
成绩/分
篮球知
身体素质 篮球技能
识
甲 93 94 89
乙 88 90 95
(1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜；
(2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按 的比例确定最终评价成绩，计算说
明谁将获胜；
(3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由．
【答案】(1)甲将获胜；
(2)乙将获胜；
(3)见解析
【分析】本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键．
（1）利用算术平均数的定义求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案；（2）根据加权平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案；
（3）按第（2）问的标准即可．
【详解】（1）解：甲的成绩为 （分），
乙的成绩为 （分），
∵ ，
∴甲将获胜；
（2）解：甲的成绩为 （分），
乙的成绩为 （分），
∵ ，
∴乙将获胜；
（3）解：将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按 的比例确定最终评价成绩，乙将获胜，
理由：因为是“篮球特色班”，要重点关注的是篮球技能，所以将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成
绩按 的比例确定最终评价成绩．
【题型六 求中位数、众数】
例题：（2024上·山东济南·八年级统考期末）为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区 户
家庭的月用水量，结果如下：
月用水量（t）
户 数 2 3 2 2 1
则这 户家庭月用水量的众数是 ； 中位数是 ．
【答案】
【分析】本题考查众数，中位数，根据出现次数最多的叫众数，坐中间的叫中位数求解即可得到答案；
【详解】解：由表可得，
出现3次，出现的最多，
故答空1答案为： ，
∵ ， ，
∴第5第6个数据是 和 ，
∴中位数是： ，故答空2答案为： ．
【变式训练】
1．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若
中位数为5，则这组数据的众数为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了中位数和众数的定义，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据中位数的定
义，求出x的值，再由一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，可得出答案．
【详解】解：∵这组数据的中位数是5，
∴ ，
解得： ，
这组数据为：1，3，4，6，6，8，因为6出现的次数最多，故众数为6．
故答案为6．
2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）某校从八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为
1分、2分、3分、4分这4个等级，并根据调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，则学生成绩的
中位数是 ，众数是 ．
【答案】 3分 3分
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、众数、中位数等知识点，从统计图上获取所需信息是解题
的关键．
根据中位数是处在中间位置的数，众数是出现次数最多的数即可解答．
【详解】解：由统计图可知：将成绩从小到大排列后处在第20、21位两个数都是3分，因此中位数是3分；
抽取的所有学生成绩的出现次数最多的是3分，因此众数是3分．
故答案为：3分，3分．3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国
18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、
平均数分别为 （按顺序填）．
【答案】10.6，10.6，10.6
【分析】根据众数、中位数、平均数的定义分别求解即可．
【详解】解：∵10次的射击成绩从小到大排列：10.3，10.4，10.5，10.6，10.6，10.6，10.7，10.7，10.8，
10.8，
∴众数是10.6；
中位数是 ；
平均数是 ．
故答案为：10.6，10.6，10.6．
【点睛】本题考查了折线统计图，众数、中位数、平均数，熟练掌握众数、中位数、平均数的定义是解答
本题的关键．
【题型七 利用中位数求未知数据的值】
例题：（23-24八年级下·广东深圳·开学考试）一组由小到大排列的数据为 ，0，4，x，6，16，其中位数
为5，则众数是（ ）
A．5 B．6 C． D．5.5
【答案】B
【分析】本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中
间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，
注意众数可以不止一个．先根据中位数的概念找出最中间的两个数的平均数求出x值，再根据众数的概念求解．
【详解】解：根据题目提供的数据，可以看到这组数据的中位数应是4与x和的平均数，即
，
解得： ，这样这组数据中出现次数最多的就是6，即众数是6．
故选：B．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江西九江·期末）一组数据有5个自然数：4，5，5，x，y，这组数据的中位数为4，
唯一的众数是5，那么，所有满足条件的x、y中， 的最大值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查中位数、众数的定义以及利用中位数、众数求未知数的值，根据中位数、众数的定
义结合唯一的众数是5，可知 ，根据中位数为4可知 ， ，又知x、y是自然数，据此得出x、
y的所有可能的取值，并求出 可能的最大值即可．
【详解】解：由于唯一的众数是5，中位数为4，
所以x，y不相等且 ， ，
所以x、y的取值可能是0，1，2，3，
于是得 的最大值为 ．
故答案为：5．
2．（23-24八年级上·福建漳州·阶段练习）一组数据按从小到大的顺序排列为 这组数据的中位
数是5，那么这组数据的众数为 .
【答案】3和6
【分析】本题考查了中位数和众数的定义，据中位数的定义，求出a的值，再由一组数据中出现次数最多
的数据叫做众数，可得出答案．
【详解】解：∵按从小到大的顺序排列为3，3，4，a，6，8这组数据的中位数是5，
，
解得： ，
这组数据为：3，3，4，6，6，8，
3和6出现的次数最多，
故众数为3和6．故答案为：3和6．
【题型八 利用众数求未知数据的值】
例题：（22-23八年级上·山东东营·期末）一组数据 ， ， ， ， 的众数是 ，则这组数据的中位数是
．
【答案】
【分析】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不
清楚，计算方法不明确而错误，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定
中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．先根据
众数是一组数据中出现次数最多的数据，求得 ，再由中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中
间的一个数 或两个数的平均数 为中位数．
【详解】解： 众数是 ，
，
从小到大排列此数据为： ， ， ， ， ．
处在第 位的数是 ．
所以这组数据的中位数是 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知一组数据：3，4，3，x，5，6，若这组数据的众数是3和6，则
x的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了众数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握一组数据中出现次数最多的数
据叫做众数．
【详解】解：∵这组数据中的众数是3和6，即出现次数最多的数据为3和6．
∴ ．
故答案为：6．
2．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）一组数据1， ，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是
．
【答案】5
【分析】根据题意可得： 的值只能是1，5，7中的一个，再由中位数是6，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵一组数据1， ，5，7的中位数是6，∴ 的值只能是1，5，7中的一个，
∵中位数是6，
∴ ，
∴平均数是 ．
故答案为：5
【点睛】本题考查的是众数，中位数，平均数的含义，理解概念并灵活应用是解本题的关键．
【题型九 运用中位数、众数做决策】
例题：（2024年安徽省名校联考中考一模数学试题）A、B、C三个电冰箱厂家在广告中都声称，他们的电
冰箱在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，
统计结果如下：（单位：年）
甲厂：4，5，5，5，5，7，9， ， ， ；乙厂：6，6，8，8，8，9， ， ， ，15；丙厂：4，
4，4，6，7，9， ， ， ， ；
根据以上数据，绘制了下面不完整的表格：
平均数 众数 中位数
甲厂 8 5 6
乙厂 a
丙厂 4 b
根据以上信息解答下列问题：
(1)表格中 ______， ______；
(2)这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？
(3)如果这三个家电厂家的电子产品的售价相同，则顾客购买哪一家的电子产品更合适，并说明理由．
【答案】(1)8，8；
(2)见详解；
(3)选乙厂的电子产品更合适；
【分析】
本题考查了求众数，中位数，平均数及根据众数，中位数，平均数做决策：
（1）根据出现次数最多的是众数，最中间的数是中位数直接求解即可得到答案；
（2）根据表格及（1）直接判断即可得到答案；（3）根据三个数据大小比较直接判断即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
∵乙中8出现次数最多，
∴ ，
丙中第5，6个数是7，9，
∴ ，
故答案为：8，8；
（2）解：由（1）及表格得，
甲平均数是8，乙众数是8，丙中位数是8，
∴甲厂的销售广告利用了平均数8表示集中趋势的特征数；
乙厂的销售广告利用了众数8表示集中趋势的特征数；
丙厂的销售广告利用了中位数8表示集中趋势的特征数；
（3）解：由题意可得，
平均数：乙大于丙大于甲，
众数：乙大于甲大于丙，
中位数：乙大于丙大于甲，
∴应选乙厂的电子产品更合适．
【变式训练】
1．（2023·河南新乡·二模）青年大学习是共青团中央为组织引导广大青年深入学习宣传贯彻习近平新时代
中国特色社会主义思想和党的十九大精神持续引向深入组织的青年学习行动．某校举办了相关知识竞赛
（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图两幅
统计图．成绩用x表示，并且分别是：A： ；B： ；C： ；D： ；E：
．
七、八年级成绩的平均数、中位数众数如下表：平均
中位数 众数
数
七年级 76 m 75
八年级 77 76 78
其中，七年级成绩在C等级的数据为77、75、75、78、79、75、73、75；八年级成绩在E等级的有3人．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是 ，表中m的值为 ；
(2)通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由；
(3)请对该校学生“青年大学习”的掌握情况作出合理的评价．
【答案】(1) ，75
(2)八年级学生的成绩较好，理由是八年级学生成绩的平均数、众数均比七年级学生的平均数、众数大
(3)青年学生对深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神掌握情况一般，还
需要进一步加强学习和宣传
【分析】（1）求出调查人数以及B等级的学生人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数，根据中位
数的定义求出中位数即可得出m的值；
（2）通过平均数、中位数、众数的大小比较得出答案；
（3）从加强学习和宣传的角度出发进行阐述即可．
【详解】（1）解：由条形统计图可得，调查人数为 （人），
∴扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是 ，
将七年级这20名学生的成绩从小到大排列，处在第10名和第11名的成绩分别为75分，75分，因此中位
数是 分，即 ；
故答案为： ，75；
（2）解：八年级学生的成绩较好，理由如下：
∵八年级学生成绩的平均数、众数均比七年级学生的平均数、众数大，
∴八年级学生的成绩较好；
（3）解：青年学生对深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神掌握情况
一般，还需要进一步加强学习和宣传．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数、众数、平均数的意义是正确解答的前提．
2．（22-23八年级下·浙江绍兴·阶段练习）2023年大年初一上映两部电影，其一《满江红》以岳飞抗金为
背景，讲述了南宋绍兴年间的历史事件，其二《流浪地球2》为观众展现末日危机下，人类在求生之路过
程中的矛盾与冲突、勇气与团结．为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取
了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
《满江红》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：
众
平均数 中位数
数
《满江红》 8.2 9
《流浪地球2》 7.8 8 8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中的 的值；
(2)根据上述数据，你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校九年级1100名学生都对这两部作品进行打分，你认为这两部作品一共可得到多少个满分？
【答案】(1)
(2)九年级学生对《满江红》的评价更高，理由是《满江红》的打分平均数，中位数和众数都比《流浪地球
2》高
(3)385个
【分析】（1）根据《流浪地球2》调查得分为“8分”所占的百分比，即可求出“10分”所占的百分比，
确定 的值，根据中位数意义可求出 的值，
（2）通过平均数、中位数、众数的比较得出答案；
（3）根据两部作品满分人数所占的百分比即可估算出答案．【详解】（1）解：《流浪地球2》调查得分为“10分”所占的百分比为： ，
即 ；
《满江红》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为 ，因此中位数是8.5，即
；
（2）解：《满江红》，
理由为《满江红》调查得分的平均数、中位数、众数均比《流浪地球2》高；
（3）解： （人 ，
答：这两部作品一共可得到385个满分．
【点睛】本题考查条形统计图，频数分布表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义
是解决问题的前提，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
【题型十 求极差】
例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）已知一组数据96，89，92，95，98，这组数据的极差是
．
【答案】9
【分析】本题考查极差，理解极差的定义是解题的关键．根据极差的定义“极差是指一组数据中最大数据
与最小数据的差”，即可求解．
【详解】解：数据96，89，92，95，98中，最大值为98，最小值为89，
因此这组数据的极差是： ，
故答案为：9
【变式训练】
1．（2024上·广东佛山·八年级统考期末）2023年立冬（11月8日）后某市一周内每天的最高气温如下表：
日期 9日 10日 11日 12日 13日 14日 15日
最高气温（℃） 28 28 24 24 19 18 23
分析表格中的数据可知，这周每天的最高气温的极差是 ℃；
【答案】
【分析】本题考查了极差的概念；理解极差的概念是解题的关键．根据极差的概念，表示最大数据与最小
数据的差值进行求解即可．【详解】解：这周每天的最高气温的极差为
（ ）
故答案为：10．
2．（2023上·河南郑州·八年级校考期末）某学习小组共20人，他们的一次数学考试成绩如下表：
分
60 70 79 80 85 90 95 100
数
人
1 1 2 5 2 7 1 1
数
这20人成绩的中位数是 分，众数是 分，极差是 分．
【答案】 85 90 40
【分析】此题主要考查了中位数、众数以及极差的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用中位数、
众数以及极差的定义分别分析得出答案．
【详解】解：这组数据按从小到大排列，第10个和第11个数都是85分，所以这组数据的中位数为
（分 ，
这组数据中90分最多有7个，所以众数是90（分 ，
极差是 （分 ．
故答案为：85，90，40．
【题型十一 利用方差求未知数据的值】
例题：（23-24八年级上·福建宁德·期末）在对一组样本数据进行分析时，小明列出了计算方差的式子：
，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查方差和平均数的应用，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据．
根据公式找出这组数据、平均数，根据平均数公式计算出x即可．
【详解】
这组数据为：3，5，x，4，3，平均数为：4，
，
故答案为：5
【变式训练】1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）在方差计算公式 ，若 ，
分别表示这组数据的个数和平均数，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了方差的公式，理解公式的意义是解题的关键．
【详解】方差计算公式 ， ， 分别表示这组数据的个数和
平均数，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·河北张家口·期中）小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：
，分析算式中的信息，则 ，
．
【答案】 2 7
【分析】根据 “方差的定义：各个数据与平均数的差的平方的平均数”得出一共有10个数据，即可求出
m，进而得出这10个数据，即可求出 ．
【详解】解：∵ ，
∴一共有10个数据，
∴ ，
∴这10个数据分别为分别为7，7，7，8，8，7，7，5，5，9
∴ ，
故答案为：2，7．
【题型十二 运用方差做决策】
例题：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10；
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组
平均数 中位数 众数 方差
别
甲
7 a 6 3.76
组
乙
b 7 c S 2
组 乙
(1)以上成绩统计分析表中 ， ， ；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是
组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说
明理由．
【答案】(1)6；7；7
(2)甲
(3)选乙组参加决赛，见解析
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数
是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组
数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．（1）根据
平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；（2）根据中位数的意义即可得出答案；（3）
根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【详解】（1）解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是 ，则中位数 ；
，
乙组学生成绩中，数据 出现了四次，次数最多，所以众数 ．
故答案为：6，7，7；
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
（3）选乙组参加决赛．理由如下：，
甲、乙两组学生平均数相同，而 ，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【变式训练】
1．（2024上·浙江宁波·八年级校考期末）学校想了解初二年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了
“二十大”知识竞赛测试，从801、802两个班中各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分
用x表示，共分成四组：A． ，B． ，C． ，D． ）
801班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
802班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如表：
801班、802班抽取的学生竞赛成绩统计表
中位
年级 平均数 众数 方差
数
801班
802班
802班学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述 、 、 的值： ______， ______， ______．
(2)学校欲选成绩更稳定的班级参加相关活动，根据表格中的数据，学校会选哪一个班级？说明理由．
(3)这两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（ ）的学生总人数
是多少？
【答案】(1)40，94，96
(2)选派802班，理由见解析(3)
【分析】（1）将801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b
和c的值；由题意可知802班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用 其它各组所占百分比即可求
出a的值；
（2）直接比较两个班级的方差即可；
（3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
【详解】（1）解：801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，
98，99，100，
∴ ．
∵成绩为96分的学生有2名，最多，
∴ ．
802班C组有3人，
∴扇形统计图中C组所占百分比为 ，
∴扇形统计图中D组所占百分比为 ，
∴ ．
故答案为：40，94，96；
（2）解：选派802班，理由如下：
∵两个班的平均成绩相同，而801班的方差为52，802班的方差为 ，
∴802班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派802班．
（3）解：802班D组的人数为 人，
∴802班10名学生的成绩为优秀的有 人．
∴估计参加此次调查活动成绩优秀 的九年级学生人数是 人．
【点睛】本题考查的是扇形统计图，频数分布，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本
估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某
校调研了七、八年级部分班级某一天的餐后垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班餐后垃圾质量的数
据（单位：kg），进行整理和分析（餐后垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A． ；B． ；C． ；D． ），下面给出了部分信息．
七年级10个班餐后垃圾质量： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
八年级10个班餐后垃圾质量中B等级包含的所有数据为： ， ， ， ， ．
七、八年级抽取的班级餐后垃圾质量统计表
平均 方
年级 中位数 众数 A等级所占百分比
数 差
七年级 a
八年级 b
八年级抽取的班级餐后垃圾质量扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中a，b，m的值；
(2)该校八年级共有30个班，估计八年级这一天餐后垃圾质量符合A等级的班级数；
(3)根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条
理由即可）
【答案】(1) ， ，
(2)6个
(3)见解析
【分析】本题考查了中位数、众数、方差的意义，解题的关键是：
（1）根据中位数，众数的定义即可求解．
（2）用抽测的百分比乘八年级总班级数即可求解．
（3）从 等级的百分比评论即可．
【详解】（1）解：七年级10个数据中 最多，所以众数 ，
八年级 等级有5个， 、 等级为 个， 个，
所以 等级有 个，
所以 ，所以中位数为 ， ；
（2） （个），
答：估计八年级这一天餐后垃圾质量符合 等级的班级数为6个；
（3）七年级各班落实“光盘行动”更好，
理由：七年级各班餐厨垃圾质量 等级的 高于八年级各班餐厨质量垃圾质量 等级的 （答案不唯
一）．
