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重难点突破 02 概率与数列综合
【例1】投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为 1或6时得2分，掷得的点数为2，3，
4，5时得1分；独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．
（1）设投掷2次骰子，最终得分为 ，求随机变量 的分布与期望；
（2）设最终得分为 的概率为 ，证明： 为等比数列，并求数列 的通项公
式．
【解答】解：（1） 的可能取值为2，3，4，
，
，
，
的分布列为：
2 3 4
数学期望 ．
证明：（2）由题意知 ，
，
， ，
，
是以 为首项， 为公比的等比数列，
，当 时，
，
当 时，上式也成立，
综上： ．
【变式训练1】某运动员多次对目标进行射击，他第一次射击击中目标的概率为 ，由于受
心理因素的影响，每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变，若前一次击中目
标，下一次击中目标的概率为 ；若第一次未击中目标，则下一次击中目标的概率为 ．
（1）记该运动员第 次击中目标的概率为 ，证明： 为等比数列，并求出 的
通项公式；
（2）若该运动员每击中一次得2分，未击中不得分，总共射击2次，求他总得分 的分布
列与数学期望．
【解答】解：（1）由题意知， ，
整理得， ，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ．
（2）总得分 的所有可能取值为0，2，4，
，
，
，
所以总得分 的分布列为
0 2 4
数学期望为 ．
【变式训练2】第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，
阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
（1）扑点球的难度一般比较大．假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右
三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门
将即使方向判断正确也有 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求
门将在前三次扑到点球的个数 的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练
中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地
随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第 次传球
之前球在甲脚下的概率为 ，易知 ， ．
①证明： 为等比数列；
②设第 次传球之前球在乙脚下的概率为 ，比较 与 的大小．
【解答】解：（1） 的所有可能取值为0，1，2，3，在一次扑球中，扑到点球的概率 ，
所以 ， ， ，
，
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
．
（2）证明：①第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
第 次传球之前球不在甲脚下的概率为 ，
则 ，
即 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列．
②由①可知 ，所以 ，
所以 ，
故 ．
【变式训练3】深圳中学足球社团是一个受学生欢迎的社团．
（1）现社团招新，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，
若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球 3次．某
同学进行“点球测试”，依据平时的训练数据，获得其单次点球踢进的概率为 ，该同学每次点球是否踢进相互独立．他在测试中所踢的点球次数记为 ，求 的分布列及数学期
望；
（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中
的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假
定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第 次触球者是甲的概率记为
，即 ．
证明：数列 为等比数列：
判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．
【解答】解：（1）由题意， 可能取1，2，3，
则 ， ，
，
的分布列为：
1 2 3
0.6 0.24 0.16
即 ；
（2）证明： 第 次触球者是甲的概率记为 ，则当 时，第 次触球者是甲的概
率为 ，第 次触球者不是甲的概率为 ，
则 ，
从而 ，又 ，
是以 为首项，公比为 的等比数列；
，，
，故第19次触球者是甲的概率大．
【变式训练4】随着疫情的有效控制，某校学生开始返校复课学习．为了减少学生就餐时的
聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供 、 两种套餐（每人每次只
能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择 类套餐的概率为 、选择 类
套餐的概率为 ．而前一天选择了 类套餐第二天选择 类套餐的概率为 、选择 套餐
的概率为 ；前一天选择 类套餐第二天选择 类套餐的概率为 、选择 类套餐的概率
也是 ，如此往复．记某同学第 天选择 类套餐的概率为 ．
（1）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择 类套餐的人数为 ，求 的分布列并
求 ；
（2）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课
余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，
如何安排分发 、 套餐的同学的人数呢，说明理由．
【解答】解：（1）第二天选择 类套餐的概率 ，
第二天选择 类套餐的概率 ，
故3人在第二天的有 个人选择 套餐，则 的可能取值为0、1、2、3，
根据 ，1，2， ，
则 ，，
，
，
则 的分布列为
0 1 2 3
故 ．
（2）依题意， ，则 ．
当 时，可得 ，
数列 是首项为 公比为 的等比数列． ．
（3）由（1）知： ，
，即第30次以后购买 套餐的概率约为 ．
则 ， ，
负责 套餐的8人，负责 套餐的12人．
【变式训练5】安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，
为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐
厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率
是 、选择餐厅乙就餐的概率为 ，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的
概率是 、选择餐厅甲就餐的概率也为 ，如此往复．假设学生第一天选择餐厅甲就
餐的概率是 ，择餐厅乙就餐的概率是 ，记某同学第 天选择甲餐厅就餐的概率为 ．
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为 ，求 的分布列，并求 ；（2）请写出 与 的递推关系；
（3）求数列 的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精
神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据
上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由．
【解答】解：（1）第二天选择 类套餐的概率 ，
第二天选择 类套餐的概率 ，
记3人在第二天的有 个人选择 套餐， 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
故 ．
（2）依题意， ，即 ．
（3） ．
，
当 时，可得 ，
数列 是首项为 公比为 的等比数列 ．
，即第30次以后购头 套餐的概率约为 ，
负责 套餐的8人，负责 套餐的12人．
【变式训练6】某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加 次抽奖，每次中奖的概率为 ，不中奖的概率为 ，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若
中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个：
方案①：若中奖则得30分，否则得0分；
方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．
第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．
（1）如果 ，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？
并说明理由．
（2）记顾客甲第 次获得的分数为 ，2， ， ，并且选择方案②．请直接写出
与 的递推关系式，并求 的值．（精确到 参考数据： ．
【解答】解：（1）若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为 ，
则 的可能取值为40，35，10，5．
，
，
，
，
所以 ．
若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为 ，
则 的可能取值为30，15，10，
则
因为 ，所以应选择方案①．（2）依题意得 ， 的可能取值为10，5，
其分布列为
10 5
所以 ，则 ，
由 ，得 ，
所以 为等比数列，其中首项为 ，公比为 ．
所以 ，
故 ．
