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第五章 相交线与平行线章末易错题
一．对顶角、邻补角（共1小题）
1．下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角，不符合题意；
B、∠1和∠2不是对顶角，不符合题意；
C、∠1和∠2不是对顶角，不符合题意；
D、∠1和∠2是对顶角，符合题意；
故选：D．
二．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）
2．若直线a，b，c相交如图所示，则∠1的内错角为（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】C
【解答】解：∠1的内错角是∠4．
故选：C．
三．平行线的判定（共2小题）
3．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（ ）A．∠1＝∠2 B．∠A＝∠5
C．∠A+∠ADC＝180° D．∠3＝∠4
【答案】A
【解答】解：A．∵∠1＝∠2，∴BC∥AD，故本选项正确；
B．∵∠A＝∠5，∴AB∥CD，故本选项错误；
C．∵∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误；
D．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项错误；
故选：A．
4．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置
（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝ 30 ° 或 150 ° 时，CD∥AB．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；故答案为：150°或30°．
四．平行线的性质（共11小题）
5．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BDC′，DC′与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度
数为（ ）
A．20° B．10° C．15° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠1＝35°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝55°，
由折叠可得∠DBC'＝∠DBC＝55°，
∴∠2＝∠DBC'﹣∠DBA＝55°﹣35°＝20°，
故选：A．
6．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则 、 、 的关系为（ ）
α β γA． + ﹣ ＝90° B． ＝ +
C．α+β+ γ＝180° D．β+ α﹣γ＝90°
【答案】αAβ γ β γ α
【解答】解：如图，延长DC交AB于点G，延长CD交EF于点H．
在Rt△MGC中，∠1＝90°﹣ ；
在△NHD中，∠2＝ ﹣ ， α
∵AB∥EF， β γ
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣ ＝ ﹣ ，
即 + ﹣α ＝β90°γ．
故选α：βA．γ
7．如图，在弯形管道 ABCD 中，若 AB∥CD，拐角∠ABC＝122°，则∠BCD 的大小为（ ）
A．58° B．68° C．78° D．122°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝122°，
∴∠BCD＝180°﹣122°＝58°，
故选：A．
8．将一副三角尺按如图的方式摆放，其中l ∥l ，则∠ 的度数是（ ）
1 2
αA．30° B．45° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：如图所示，∵l ∥l ，
1 2
∴∠A＝∠ABC＝30°，
又∵∠CBD＝90°，
∴∠ ＝90°﹣30°＝60°，
故选α：C．
9．如图，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，给出下列结论：
①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵GH∥BC，
∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正确；
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠HGF，
∴DE∥GF，
∴∠D＝∠DMF，
根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故③错误；
∵DE∥GF，∴∠F＝∠AHE，
∵∠D＝∠1＝∠2，
∴∠2不一定等于∠AHE，故④错误；
∵GF⊥AB，GF∥HE，
∴HE⊥AB，故②正确；
即正确的个数是2，
故选：B．
10．如图所示，长方形纸片ABCD中，∠1＝65°．现将长方形纸片沿AC折叠，使点B落在点B 处，B C
1 1
与AD交于点E；再将三角形EDC沿B C折叠，使点D落在点D 处．则∠2＝（ ）
1 1
A．10° B．15° C．17° D．20°
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠1＝65°，
∴∠ACB＝90°﹣∠1＝25°，
由折叠得：∠ACB＝∠ACB ＝25°，
1
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACB ＝40°，
1
由折叠得：∠DCE＝∠D CE＝40°，
1
∴∠2＝∠D CE﹣∠ACB ＝40°﹣25°＝15°，
1 1
故选：B．
11．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、
AC上），设∠BAE＝ ，∠DCE＝ ．下列各式：① + ，② ﹣ ，③ ﹣ ，④360°﹣ ﹣ ，
∠AEC的度数可能是（α ） β α β α β β α α βA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE ＝ ，
1
∵∠AOC＝∠BAE 1 +∠AE 1 C， β
∴∠AE C＝ ﹣ ．
1
（2）如图，β过Eα2 作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE
2
＝ ，∠2＝∠DCE
2
＝ ，
∴∠AE 2 C＝ + ． α β
（3）如图，α由βAB∥CD，可得∠BOE
3
＝∠DCE
3
＝ ，
∵∠BAE 3 ＝∠BOE 3 +∠AE 3 C， β
∴∠AE C＝ ﹣ ．
3
（4）如图，α由AβB∥CD，可得∠BAE
4
+∠AE
4
C+∠DCE
4
＝360°，
∴∠AE C＝360°﹣ ﹣ ．
4
∴∠AEC的度数可能α 为β ﹣ ， + ， ﹣ ，360°﹣ ﹣ ．
（5）当点E在CD的下β方时α，同α 理β可α得，β∠AEC＝α﹣β或 ﹣ ．
故选：D． α β β α
12．如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行
于地面AE时，则∠ABC+∠BCD＝ 270 ° ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点B作BF∥AE，如图：
∵CD∥AE，
∴BF∥CD，
∴∠BCD+∠CBF＝180°，
∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．
故答案为：270°．
13．有经验的渔夫用鱼叉捕鱼时，不是将鱼叉对准他看到的鱼，这是由于光从空气射入水中时，发生折射
现象．如图，水面EF与底面GH平行，光线AB从空气射入水中时发生了折射，变成光线 BC射到水底
C处，射线BD是光线AB的延长线，∠1＝42°，∠2＝60°，则∠CBD 的度数为 18 ° ．
【答案】18°．
【解答】解：如图：∵EF∥GH，
∴∠PBF＝∠2＝60°，
∵∠1＝42°，
∴∠PBA＝∠PBF﹣∠1＝18°，
∴∠CBD＝∠PBA＝18°，
故答案为：18°．
14．如图1，已知直线l ∥l ，且l 和l ，l 分别相交于A，B两点，l 和l ，l 分别交于C，D两点，∠ACP
1 2 3 1 2 4 1 2
＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3，点P在线段AB上．
（1）若∠1＝20°，∠2＝30°，则∠3＝ 50 ° ．
（2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由．
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：如图2，点A在B处北偏东45°的方向上，在C处的北偏西50°
的方向上，求∠BAC的度数．
（4）如果点P在直线l 上且在A，B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1，∠2，∠3之间的关
3
系（点P和A，B两点不重合），直接写出结论即可．
【答案】（1）50°；
（2）∠1+∠2＝∠3，理由见解答过程；
（3）95°；
（4）有两种情况，见解答过程．
【解答】解：（1）∵l ∥l ，
1 2∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，
∵∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠3＝∠1+∠2，
∵∠1＝20°，∠2＝30°，
∴∠3＝20°+30°＝50°，
故答案为：50°；
（2）∠1+∠2＝∠3，理由如下：
∵l ∥l ，
1 2
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠1+∠2＝∠3；
（3）∵点A在B处北偏东45°的方向上，在C处的北偏西50°的方向上，
∴∠B＝45°，∠C＝50°，
由（2）中的结论可得：
∠BAC＝∠B+∠C＝45°+50°＝95°；
（4）当P点在A的外侧时，如图：
过P作PF∥l ，交l 于F，
1 4
∴∠1＝∠FPC．
∵l ∥l ，
1 4
∴PF∥l ，
2
∴∠2＝∠FPD
∵∠CPD＝∠FPD﹣∠FPC
∴∠3＝∠2﹣∠1．
当P点在B的外侧时，如图：过P作PG∥l ，交l 于G，
2 4
∴∠2＝∠GPD
∵l ∥l ，
1 2
∴PG∥l ，
1
∴∠1＝∠CPG
∵∠CPD＝∠CPG﹣∠GPD
∴∠3＝∠1﹣∠2．
15．如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100°．
（1）如图1，求∠BEO+∠DFO的值；
（2）如图2，当∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点M时，求∠EMF的度数；
（3）如图3，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M，N，求∠EMN﹣∠FNM的值．
【答案】（1）∠BEO+∠DFO＝260°；
（2）∠EMN﹣∠FNM的值为40°；
（3）40°．
【解答】解：（1）过点O作OG∥AB，如图：∵AB∥CD，OG∥AB，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，
∵∠EOF＝100°，
∴∠BEO+∠DFO＝260°；
（2）过点M作MH∥AB，如图：
∵AB∥CD，MH∥AB，
∴AB∥MH∥CD，
∴∠EMH＝∠BEM，∠FMH＝∠DFM，
∴∠EMF＝∠EMH+∠FMH＝∠BEM+∠DFM，
由（1）中的结论可得：
∠BEO+∠DFO＝260°，
∵EM，FM分别平分∠BEO和∠DFO，
1 1
∴∠BEM= ∠BEO，∠DFM= ∠DFO，
2 2
1 1
∴∠BEM+∠DFM= （∠BEO+∠DFO）= ×260°＝130°，
2 2
∴∠EMF＝130°；
（3）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图：∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，
∵∠BEO+∠DFO＝260°，
∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°，
∴x﹣y＝40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，
∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）
＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y
＝x﹣y
＝40°，
∴∠EMN﹣∠FNM的值为40°．
五．平行线的判定与性质（共6小题）
16．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．
（1）试说明CF∥BD；
（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．
【答案】（1）答案见解析；（2）55°．
【解答】解：（1）∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴BC∥DE．
∴∠3+∠CBD＝180°．又∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝∠CBD．
∴CF∥DB．
（2）由（1）CF∥DB，
∴∠1＝∠ABD．
又∵∠1＝70°，
∴∠ABD＝70°．
又∵BC平分∠ABD，
1
∴∠DBC= ∠ABD＝35°，
2
∴∠2＝∠DBC＝35°．
又∵BC⊥AE，
∴∠ACB＝90°．
∴∠ACF＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．
17．如图，直线EF与CD交于点O，OA平分∠COE交直线l于点A，OB平分∠DOE交直线l于点B，且
∠1+∠2＝90°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）求证：AB∥CD；
（3）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．
【答案】（1）∠AOB的度数为90°；
（2）证明过程见解答；
（3）∠AOF的度数为130°．
【解答】（1）解：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
1 1
∴∠AOE= ∠COE，∠BOE= ∠DOE，
2 21 1 1 1
∴∠AOE+∠BOE= ∠COE+ ∠DOE= （∠COE+∠DOE）= ×180°＝90°，
2 2 2 2
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOB的度数为90°；
（2）证明：由（1）得：∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠AOB＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AOC＝∠1，
∴AB∥CD；
（3）解：∵OB平分∠DOE，
1
∴∠2= ∠DOE，
2
∵∠2：∠3＝2：5，
∴∠DOE：∠3＝4：5，
∵∠DOE+∠3＝180°，
5
∴∠3=180°× =100°，
9
∴∠COE＝∠3＝100°，
∵OA平分∠COE，
1
∠AOE= ∠COE=50°，
2
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°，
∴∠AOF的度数为130°．
18．完成下面的证明．
如图，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A，求证：∠AEH＝∠F．
证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°．
∴ED∥ AC （同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）∠2＝ ∠ DGC （两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝∠A，
∴∠A＝∠DGC（等量代换）．
∴AB∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）．【答案】AC；两直线平行，同位角相等；∠DGC；同位角相等，两直线平行．
【解答】证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝∠A，
∴∠A＝∠DGC（等量代换）．
∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：AC；两直线平行，同位角相等；∠DGC；同位角相等，两直线平行．
19．【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为
相等或互补 ；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 相等或互补 ．【答案】【提出问题】（1）见解答过程；
（2）见解答过程；
【得出结论】
【拓展应用】（3）相60°，60°或80°，100°；
（4）相等或互补．
【解答】【提出问题】（1）证明：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠3，
又∵BC∥DE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠4，
又∵BC∥DE，
∴∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
【得出结论】解：由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量
关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补；
【拓展应用】（3）解：设其中一个角为x，则另一角为2x﹣60°，
当x＝2x﹣60°时，
解得x＝60°，
此时两个角为60°，60°；
当x+2x﹣60°＝180°，
解得x＝80°，
则2x﹣60＝100°，
此时两个角为80°，100°；
∴这两个角分别是60°，60°或80°，100°．
（4）解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．故答案为：相等或互补．
20．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，F，G在BC上，EF与DG交于点O，∠B＝∠3．若
∠1+∠2＝180°，∠C＝60°．
（1）判断线段DE和BC的位置关系，并说明理由；
（2）求∠DEC的度数．
【答案】（1）DE∥BC，理由见解答；
（2）∠DEC的度数为120°．
【解答】解：（1）DE∥BC，
理由：∵∠1+∠2＝180°，
∴BD∥EF，
∴∠B＝∠EFG，
∵∠3＝∠B，
∴∠3＝∠EFG，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C+∠DEC＝180°，
∵∠C＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣∠C＝120°，
∴∠DEC的度数为120°．
21．如图甲所示，已知点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，且∠EFG＝∠FEG，EF平分∠AEG．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．
（2）如图乙所示，H是AB上点E右侧一动点，∠EGH的平分线GQ交FE的延长线于点Q，设∠Q＝
，∠EHG＝
α β①若∠HEG＝40°，∠QGH＝20°，求∠Q的度数．
②判断：点H在运动过程中， 和 的数量关系是否发生变化？若不变，求出 和 的数量关系；若变
化，请说明理由． α β α β
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）直线AB与直线CD平行，理由：
∵EF平分∠AEG，
∴∠AEF＝∠GEF，
又∵∠EFG＝∠FEG，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴AB∥CD；
（2）①∵∠HEG＝40°，
1
∴∠FEG= （180°﹣40°）＝70°，
2
又∵QG平分∠EGH，
∴∠QGH＝∠QGE＝20°，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ＝70°﹣20°＝50°；
②点H在运动过程中， 和 的数量关系不发生变化，
∵∠FEG是△EGQ的外角α ，∠β AEG是△EGH的外角，
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ，∠EHG＝∠AEG﹣∠EGH，
又∵FE平分∠AEG，GQ平分∠EGH，
1 1
∴∠FEG= ∠AEG，∠EGQ= ∠EGH，
2 2
∴∠Q＝∠FEG﹣∠EGQ
1
= （∠AEG﹣∠EGH）
2
1
= ∠EHG，
21
即 = ．
2
α β
六．命题与定理（共1小题）
22．以下命题为真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．相等的角是对顶角
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两直线平行，同旁内角相等
【答案】C
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故A不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，故C符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故D不符合题意．
故选：C．
七．生活中的平移现象（共1小题）
23．如图，有一块长为44m、宽为24m的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则分成的六块草
坪的总面积是 88 0 m2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：S＝44×24﹣2×24×2﹣2×44+2×2×2＝880（m2）．
故答案为：880．
