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第八章 实数 单元重难点题型归纳与训练
题型归纳
题型讲解
一.利用平方根，算术平方根和立方根求算式中字母的值
【题型解读】此种题主要是根据平方根，算术平方根和立方根的定义，及其表达形式，求
字母的取值，主要考查了方程思想.
例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若 是 的算术平方根，
，则 的立方根为 ．
例2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知 的平方根为 的立方根为4．
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．对应练习：
1.（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知 的平方根是 ， 的立方根为 ．
(1)求a与b的值；
(2)求 的算术平方根．
2. （24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知 的平方根是 ， 的立方根是
2，求 的平方根．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知 ， 的立方根是2．
(1)求 的算术平方根；
(2)求 的立方根．4. （23-24七年级下·四川·阶段练习）已知 是 的算术平方根，
是 的立方根，求 的立方根．
【解法提炼】
根据平方根，算术平方根和立方根定义建立方程，解方程即可求得字母的取值
二. 平方根和立方根性质问题
【题型解读】此种题型主要考查一个正数的两个平方根互为相反数和如果两个数互为相反
数那么它们的立方根也互为相反数
例1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是 和 ，且
与 相等，求 的算术平方根．
例2．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如果 和 是一个非负数的平方根，
那么这个非负数是 ．例3．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知 与 互为相反数，求
的立方根．
对应练习：
1.（23-24七年级下·重庆长寿·期末）若实数 的平方根是 和 ， 的立方根是
，求 的算术平方根．
2．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）一个正数m的平方根是 和 ，求正数m的
立方根．3. （23-24七年级下·全国·假期作业）已知√33 y-1与√31-2x互为相反数，且x≠0,y≠0求
x
的值．
y
4．（24-25八年级上·河南·期中）已知正数x的两个平方根分别是 和 ，负数y的
立方根与它本身相同．
(1)求a，x，y的值；
(2)求 的算术平方根．
5.已知√3 x-2+2=x,且√33 y-1与√31-2x互为相反数，求x,y的值
【解法提炼】利用平方根的性质和立方根的性质，建立方程，解方程即可，主要考查方程
思想
三.算术平方根的非负性【题型解读】1.算术平方根、完全平方数、绝对值都是非负数，且一个数的算术平方根
具有双重非负性．
2．根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于0”，构建方程，从而求得未
知数的值．
例1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数 ， ， 满足：
，求：
(1) ， ， 的值．
(2) 的平方根．
例2．（24-25七年级下·四川眉山·期中）若 ， 为两个有理数，且 ，
则 的平方根为 ．
对应练习：
1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若 ，则 的值为 ．
2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知实数 满足 ，若 为正整数，
当b取最大值时， ．
3．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知 满足，求 的算术平方根．
4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知： ．求：
(1) ， ， 的值；
(2)求 的值．
【解法提炼】1.根据被开方数为非负确定字母的取值
2.利用非负＋非负=0，则它们分别等于0,即 ,即可得
() 2+❑√❑+||=0 () 2=0,❑√❑=0, ||=0
四. 实数有关概念，分类问题及与数轴的关系
【题型解读】主要考查有理数，无理数，正数和负数的概念，能根据实际情况对数进行分类
例1．（24-25七年级上·浙江台州·期中）把下列各数的序号分别填写在相应的横线上．
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ (两个 之间依次多一个 )．
属于整数的有：__________________________________________
属于负数的有：________________________________________________
属于无理数的有：_________________________________________________
例2．有理数和无理数的区别在于（ ）
A．有理数是有限小数，无理数是无限小数
B．有理数能用分数表示，而无理数不能
C．有理数是正的，无理数是负的
D．有理数是整数，无理数是分数
例3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它
们连接起来．
， ， ， ， ．
例4如图 ， ， 是数轴上三个点 、 、 所对应的实数．
试化简：
对应练习：1．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内（填序号）：
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥0，⑦ ，⑧ ，⑨ …
（每相邻两个1之间0的个数逐次加 ）
(1)无理数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)负实数集合{ …}．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的横线上： ， ， ，
0， ， ， ，
整数：___________________________________；
负分数：___________________________________；
无理数：___________________________________；
正实数：___________________________________．
3．下列说法错误的是（ ）
A．实数可分为正实数、0和负实数
B．无理数可分为正无理数和负无理数
C．无理数都是带根号的数
D．实数是有理数和无理数的统称
4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知一列数： ．
(1)把这 个数表示在下图所示的数轴上；
(2)用“ ”将这 个数连接起来．5.（24-25七年级下·重庆南岸·阶段练习）已知点 、 、 在数轴上表示的数 、 、 的
位置如图所示，化简： ．
【解法提炼】(1)本题考查了实数的分类
(2)数轴上比较大小，越靠右值越大.
五.实数大小比较与估算
【题型解读】有理数范围内比较大小学生易于掌握，而无理数比较大小对学生而言就有
难度了，此种题主要考查学生选择合适的方法比较大小.
例1 比较-❑√5-2与-❑√7-2的大小
1
例2 比较7 与❑√56的大小
2对应练习：
1.比较2,3,√320的大小
2.（23-24七年级下·四川成都·期末）比较大小： （填“ ”，“ ”或
“=”）
3.比较❑√6+2与❑√57-2的大小
❑√13-1 3
4. 比较 与 的大小
2 2
1
5.当0<a<1,比较a, ,❑√a的大小
a【解法提炼】实数的大小比较，可以根据实数的特征灵活地选择恰当的方法，除了常规
的方法外，还有几种特殊的方法：开方法、平方法、取近似值法、放缩法、作差法、作商
法等．
六.实数运算
【题型解读】1.实数的运算法则同有理数一样，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算
加、减，有括号的先算括号里面的．
2．在实数的运算中，数的绝对值、相反数、倒数等意义跟有理数一样，在有理数范围内的
运算律在实数范围内同样适用．
例1 （24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）（1）计算： ．
(2) ；
(3) ．
(4)
例2．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣ a
＝2b+ ﹣a，则ab= ．
例3．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知 是 的整数部分， ，则 的平方根是 ．
对应练习：
1．（24-25七年级下·山东威海·期末）计算：
(1) ．
(2) ；
(3)
(4)：
2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）若有理数 a，b 满足 ，
则a＝ ， b＝ ．
3．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，
则 ， ．4．已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ，c是 的整数部分，求
的平方根．
【解法提炼】
① 有理数范围内的运算法则和运算顺序，实数范围内仍然适用；
② 通过夹逼法得出实数的整数和小数部分；
③ 有理数范围内的运算结果依然是有理数，无理数范围内的运算结果为有理数
或无理数，有理数与无理数加减运算结果为无理数，有理数(除0以外)与无理数乘除
运算结果为无理数.
七.实数的实际应用
【题型解读】学有用的数学所以实际应用为常考类型.
1.利用几何图形的面积，周长，体积来解决实际问题；
2.跨学科融合考查实数的实际应用.
例1 如图，一个底面半径为 的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度
为 ；倒放时，空余部分的高度为 ．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器
（ 取3，容器的厚度不计）．
(1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？
(2)正方体容器的棱长是多少厘米？例2．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一
个周期，其计算公式为 ，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：
m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（ 取3， ）
(1)求摆针摆动的周期．
(2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次
滴答声？
对应练习：
1.如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面
升高 ，如果容器的底面半径是 ，求正方体铁块的棱长 取 ，精确到 ．2．（23-24七年级下·全国·课后作业）用电器的电阻 、功率 与它两端的电压 之间有关
系： ．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为 ，乙的电阻为 ．现
测得某用电器的功率为 ，两端电压在150-170V，该用电器到底是甲还是乙？
3．（23-24七年级下·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千
米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，
所用的经验公式是v＝16 ，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过
的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你
判断一下，肇事汽车当时是否超速了．4．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）某装修公司现有一块面积为 的正方形的木
板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为 的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为 的长方形装饰材料，且长宽比为 ．
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
【解法提炼】
① 利用几何体有关公式直接运算②在物理学或其它学科背景下根据所给公式直接进行计算.
八.实数有关的规律
【题型解读】此种题型主要考查学生的观察所给算式，从算式中归纳出它的一般规律，并
能用此规律解题的能力，是考试中一种常考题型.
例1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）计算：① ；② ；③ ；④
，观察你计算的结果，用你发现的规律计算：
（ ）
A． B．1275 C．1326 D．1378
例2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知
，则
．
例3．（24-25七年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，
“○”的个数用b表示，如 时， ， ； 时， ， ；……根据图形
的变化规律，当 时， 的值为 ．
对应练习：
1．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
第一行 ❑√2
第二行 ❑√3第三行
第四行
根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平
方数．对任意正整数n，记 表示不大于n的最大完全平方数，记 ．例如：
．则 ．
3．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）先计算下列各式： ， ，
， ，通过观察并归纳结论：
（1）请写出： ：
（2）计算： ．
4．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规
律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位
置上的数按如下方式计算：
，
，
不难发现，结果都是7．(1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？
发现图2计算结果为______；图3计算结果为______．
(2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明．
【解法提炼】
① 对于数字来说，可先计算，然后观察数字之间的关系得结论
② 先计算，观察数字之间得循环性得结论
③ 有图形的，可先观察图形的变化，从而总结规律
