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第八章 实数 单元重难点题型归纳与训练
题型归纳
题型讲解
一.利用平方根，算术平方根和立方根求算式中字母的值
【题型解读】此种题主要是根据平方根，算术平方根和立方根的定义，及其表达形式，求
字母的取值，主要考查了方程思想.
例1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若 是 的算术平方根，
，则 的立方根为 ．
例2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知 的平方根为 的立方根为4．
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．对应练习：
1.（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知 的平方根是 ， 的立方根为 ．
(1)求a与b的值；
(2)求 的算术平方根．
2. （24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知 的平方根是 ， 的立方根是
2，求 的平方根．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知 ， 的立方根是2．
(1)求 的算术平方根；
(2)求 的立方根．4. （23-24七年级下·四川·阶段练习）已知 是 的算术平方根，
是 的立方根，求 的立方根．
【解法提炼】
根据平方根，算术平方根和立方根定义建立方程，解方程即可求得字母的取值
二. 平方根和立方根性质问题
【题型解读】此种题型主要考查一个正数的两个平方根互为相反数和如果两个数互为相反
数那么它们的立方根也互为相反数
例1．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是 和 ，且
与 相等，求 的算术平方根．
例2．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如果 和 是一个非负数的平方根，
那么这个非负数是 ．例3．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知 与 互为相反数，求
的立方根．
对应练习：
1.（23-24七年级下·重庆长寿·期末）若实数 的平方根是 和 ， 的立方根是
，求 的算术平方根．
2．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）一个正数m的平方根是 和 ，求正数m的
立方根．3. （23-24七年级下·全国·假期作业）已知√33 y-1与√31-2x互为相反数，且x≠0,y≠0求
x
的值．
y
4．（24-25八年级上·河南·期中）已知正数x的两个平方根分别是 和 ，负数y的
立方根与它本身相同．
(1)求a，x，y的值；
(2)求 的算术平方根．
5.已知√3 x-2+2=x,且√33 y-1与√31-2x互为相反数，求x,y的值
【解法提炼】利用平方根的性质和立方根的性质，建立方程，解方程即可，主要考查方程
思想
三.算术平方根的非负性【题型解读】1.算术平方根、完全平方数、绝对值都是非负数，且一个数的算术平方根
具有双重非负性．
2．根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于0”，构建方程，从而求得未
知数的值．
例1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数 ， ， 满足：
，求：
(1) ， ， 的值．
(2) 的平方根．
例2．（24-25七年级下·四川眉山·期中）若 ， 为两个有理数，且 ，
则 的平方根为 ．
对应练习：
1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若 ，则 的值为 ．
2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知实数 满足 ，若 为正整数，
当b取最大值时， ．
3．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知 满足，求 的算术平方根．
4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知： ．求：
(1) ， ， 的值；
(2)求 的值．
【解法提炼】1.根据被开方数为非负确定字母的取值
2.利用非负＋非负=0，则它们分别等于0,即 ,即可得
() 2+❑√❑+||=0 () 2=0,❑√❑=0, ||=0
四. 实数有关概念，分类问题及与数轴的关系
【题型解读】主要考查有理数，无理数，正数和负数的概念，能根据实际情况对数进行分类
例1．（24-25七年级上·浙江台州·期中）把下列各数的序号分别填写在相应的横线上．
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ (两个 之间依次多一个 )．
属于整数的有：__________________________________________
属于负数的有：________________________________________________
属于无理数的有：_________________________________________________
例2．有理数和无理数的区别在于（ ）
A．有理数是有限小数，无理数是无限小数
B．有理数能用分数表示，而无理数不能
C．有理数是正的，无理数是负的
D．有理数是整数，无理数是分数
例3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它
们连接起来．
， ， ， ， ．
例4如图 ， ， 是数轴上三个点 、 、 所对应的实数．
试化简：
对应练习：1．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内（填序号）：
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥0，⑦ ，⑧ ，⑨ …
（每相邻两个1之间0的个数逐次加 ）
(1)无理数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)负实数集合{ …}．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）把下列各数填在相应的横线上： ， ， ，
0， ， ， ，
整数：___________________________________；
负分数：___________________________________；
无理数：___________________________________；
正实数：___________________________________．
3．下列说法错误的是（ ）
A．实数可分为正实数、0和负实数
B．无理数可分为正无理数和负无理数
C．无理数都是带根号的数
D．实数是有理数和无理数的统称
4．（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知一列数： ．
(1)把这 个数表示在下图所示的数轴上；
(2)用“ ”将这 个数连接起来．5.（24-25七年级下·重庆南岸·阶段练习）已知点 、 、 在数轴上表示的数 、 、 的
位置如图所示，化简： ．
【解法提炼】(1)本题考查了实数的分类
(2)数轴上比较大小，越靠右值越大.
五.实数大小比较与估算
【题型解读】有理数范围内比较大小学生易于掌握，而无理数比较大小对学生而言就有
难度了，此种题主要考查学生选择合适的方法比较大小.
例1 比较-❑√5-2与-❑√7-2的大小
1
例2 比较7 与❑√56的大小
2对应练习：
1.比较2,3,√320的大小
2.（23-24七年级下·四川成都·期末）比较大小： （填“ ”，“ ”或
“=”）
3.比较❑√6+2与❑√57-2的大小
❑√13-1 3
4. 比较 与 的大小
2 2
1
5.当0
