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重难点突破 04 数列与不等式综合
一．选择题（共6小题）
1．（2023•江西模拟）在等比数列 中， ， ．记 ，2，
，则数列
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
2．（2023•海淀区校级三模）已知等比数列 ，对任意 ， ， 是数列
的前 项和，若存在一个常数 ，使得 ， ，下列结论中正确的是
A． 是递减数列
B． 是递增数列
C．
D．一定存在 ，当 时，
3．（2023•全国二模）已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若
对任意 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2023•江苏模拟）已知等比数列 的前 项和为 ， ，则使得不等式 成立的正整数 的最大值为
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（2023•鼓楼区校级模拟）数列 中， ，点 ， 在双曲线
上．若 恒成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
6．（2023•江西模拟）若正项递增等比数列 满足： ，
则 的最小值为
A． B．2 C． D．4
二．多选题（共1小题）
7．（2023•株洲一模）已知各项均为正数的等差数列 ，且 ，则
A． B．
C．数列 是等差数列 D．数列 是等比数列
三．填空题（共4小题）
8 ． （ 2023• 黑 龙 江 一 模 ） 已 知 数 列 前 项 和 ， 数 列 满 足
为数列 的前 项和．若对任意的 ， ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
9．（2023•深圳模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足： ，且， 为方程 的两根，且 ．若对于任意 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
10．（2023•辽宁模拟）已知数列 是以2为公比的等比数列， ， ，记数
列 的前 项和为 ，若不等式 对任意 ， 恒成立，则 的最
小值为 ．
11．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知数列 的通项 ， ，
设 是数列 的前 项和．若 对任意 都成立，则 的取值范围是
．四．解答题（共19小题）
12．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ， ，
且 ．
（1）求 ；
（2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围．
13．（2023•包河区模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商
功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层
有6个球， ．球数构成一个数列 ，满足 ， 且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ．14．（2023•海口模拟）记 为数列 的前 项和，已知 ．
（Ⅰ）证明：数列 是等差数列；
（Ⅱ）设 为实数，且对任意 ，总有 ，求 的最小值．
15．（2023•哈尔滨二模）已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）求证：数列 为等比数列；
（ 2 ） 设 数 列 满 足 求 最 小 的 实 数 ， 使 得
对一切正整数 均成立．16．（2023•葫芦岛一模）设等差数列 的前项和为 ，已知 ，
，等比数列 满足 ， ．
（1）求 ；
（2）设 ，求证： ．
17．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．18．（2023•安徽模拟）已知数列 满足： ， ， ，从第二项开始，每
一项与前一项的差构成等差数列．
（1）求 ；
（2）设 ，若 恒成立，求 的取值范围．
19．（2023•湖北模拟）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若数列 满足 ，求证： ．20．（2023•陈仓区模拟）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
21．（2023•让胡路区校级模拟）已知数列 为等差数列，数列 满足 ，且
， ．
（1）求 ， 的通项公式；
（2）证明： ．22 ． （ 2023• 渭 南 模 拟 ） 已 知 首 项 为 1 的 数 列 的 前 项 和 为 ， 且
．
（1）求 及数列 的通项公式；
（2）数列 中是否存在连续的三项成一个等差数列？如果存在，求出所有的这三项；如
果不存在，请说明理由．
（3）若数列 满足 ，求证： ．
23．（2023•宜章县模拟）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求证： ．24．（2023•兴义市校级一模）记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
25．（2023•铜陵三模）已知数列 的前 项和 满足 ，且
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ．26．（2023•锦州一模）记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设单调递增的等差数列 满足 ，且 成等比数列．
求 的通项公式；
设 ，证明： ．
27．（2023•襄城区校级模拟）函数 的图象为自原点出发的一条折线，当
时，该函数图象是斜率为 的一条线段．已知数列 由
定义．
（1）用 表示 ， ；
（2）若 ，记 ，求证： ．28．（2023•龙华区校级模拟）已知各项均为正数的数列 满足 ，其中 是
数列 的前 项和．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对任意 ，且当 时，总有 恒成立，求
实数 的取值范围．
29．（2023•天津模拟）已知数列 的前 项和为 ，满足： ．
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）若 ，数列 满足 ， ， ，记 为
的前 项和，求证： ；
（3）在（2）的前提下，记 ，数列 的前 项和为 ，若不
等式 对一切 恒成立，求 的取值范围．30．（2023•温州模拟）设 为正项数列 的前 项和，满足 ．
求 的通项公式；
若不等式 对任意正整数 都成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）设 （其中 是自然对数的底数），求证： ．
