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重难点突破05 求曲线的轨迹方程
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一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为 的
方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检
验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 和满足焦点标志的定点连起来判断．
熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为 的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等
等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨
迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知
曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后把 的坐标代入已知曲线方程，
即可得到动点 的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出
交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通
常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点 的运动主要是由于某个参数 的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点
的坐标，即 ，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得 ， ， ， 等关系式，由于弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线 的斜率为 ，由此可求得弦
中点的轨迹方程．
题型一：直接法
例1．（2023·甘肃平凉·高三统考期中）动点 与定点 的连线的斜率之积为 ，则点 的轨
迹方程是 .
【答案】 （ ）
【解析】由题意可知： ，则点 的轨迹是以 为直径的圆（ 除外），
即以 的中点 为圆心，半径为1的圆，
所以点 的轨迹方程是 .
故答案为： .
例2．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆 ： ，过动点 作圆 的切
线 （ 为切点），使得 ，则动点 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设 ，由 得 ，则 ，即 .
故答案为：
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线 和 ，有一动圆与 及
都相交，并且 、 被截在圆内的两条弦长分别是26和24，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，点 到 、 的距离分别为 、 ，
则 ， ，得 ．
由题意可得： ， ，即 ，
化简得 ．即 ．
故答案为： .
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点 ，且曲线 上的任意一点P都满足 ．则曲线 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设 ，由题设有 ，
整理得到 ，
故 .
故答案为： .
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上的动点 到点 和 的距离之比为 ，则点
的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设 ，因为动点 到点 和 的距离之比为 ，
所以 ， ，即： ，
所以 ，即 ，
所以点 的轨迹方程是 .
故答案为：
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作
PQ⊥l，垂足为Q，且 · =0．则动点P的轨迹方程为 ；
【答案】
【解析】设 ，则 ，
由 · =0，得 ，
即 ，化简得 ，
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为 ．
故答案为：
题型二：定义法
例4．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ，点P到F，F 的距离之和为10，则点P的轨迹方
1 2程是
【答案】
【解析】因为 ，所以点 的轨迹是以F，F 为焦点的椭圆，其中
1 2
，故点P的轨迹方程为 .
故答案为：
例5．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知圆 与圆 内切，且圆 与直线 相切，则
圆 的圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 ，点 到直线 的距离为d，
如图， 只能在直线 的左侧，则 ，
因为圆 的圆心为 ，半径为1，
依题意可得 ，即 ，化简可得 ，
故圆 的圆心的轨迹方程为 ．
故答案为： .
例6．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆 ，圆 ，动圆 与
圆 外切并与圆 内切，则圆心 的轨迹方程为
【答案】
【解析】设动圆P的圆心为 ，半径为 ，
由题意得 ，
所以 ，
所以点P的轨迹为以 为焦点的椭圆，
则 ，即 ， ，则 ，所以动圆圆心 的轨迹方程为 ，
故答案为：
变式4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知 的周长是18， ， 是
轴上关于原点对称的两点，若 ，动点 满足 .则动点 的轨迹方程为
；
【答案】
【解析】由 ，知点G是 的重心，取点 ， ，
不妨设 ， ，则 ， ，
且 ，
所以点 是以 ， 为焦点的椭圆（除去长轴端点），
设椭圆 的方程是 ，
则 ， ，于是 ，即 ，
从而，点 的轨迹方程为： .
故答案为：
变式5．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点 ，且与圆 外切，则动圆
P圆心 的轨迹方程为 .
【答案】 ，
【解析】定圆的圆心为 ，与 关于原点对称，
设动圆 的半径为 ，则有 ，因为与圆 外切，所以 ，即 ，
所以点 的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，
则 ， ， ，
所以轨迹方程为 ， ，即 ， .
故答案为： ，
变式6．（2023·全国·高三专题练习） 中，A为动点， ， 且满足 ，
则A点的轨迹方程为 ．
【答案】 .
【解析】根据正弦定理，由 ，
所以点A点的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，不包括两点 ，
由 ，
所以A点的轨迹方程为 ，
故答案为： .
变式7．（2023·全国·高三专题练习）一个动圆与圆 外切，与圆 内切，
则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设动圆圆心为 ，半径为 ，根据题意知： ， ，
所以 ，所以圆心 的轨迹为椭圆.
其中 ， ，故 ，
因为焦点在 轴上，故圆心轨迹方程为： .
故答案为： .
变式8．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，B是圆 （F为圆心）上一动点.线
段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
【答案】 ．【解析】由题意 ， 在线段 的垂直平分线上，则 ，
所以 ，又 ，
所以 在以 为焦点，长轴长为2的椭圆上，
， ， ，则 ，
所以轨迹方程为 ．
故答案为： ．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知定点 ，圆 ，过R点的直线 交
圆于M，N两点过R点作直线 交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；
【解析】因为 ，即 ，所以 ，半径为 ，
如图，根据题意可知 ，
又 ，所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
故动点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，这里 ，故 ，
所以 点的轨迹方程为： .
变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ，直线 ，过 上的点 作圆 的两
条切线，切点分别为 ，则弦 中点 的轨迹方程为 .
【答案】【解析】由题意得弦 中点 为直线 和 的交点，
设 ，则直线 的方程为 ，
又 均与圆 相切，故 ，
故 四点共圆，且 为以 为直径的圆与圆 的公共弦.
又以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
故 的方程为 与 相减，即 .
又 ，所以 ，
代入 有 ，
化简得 .
当 时， ；当 时， 均满足方程.
又当 时， 不满足题意.
综上点 的轨迹方程为 ，
故答案为：
变式11．（2023·吉林白山·高三抚松县第一中学校考阶段练习）设O为坐标原点， ，点A是直线
上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程
为 ．
【答案】
【解析】如图，由垂直平分线的性质可得 ，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标
为 ，故 ，点P的轨迹方程为 .故答案为：
变式12．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知圆 ，直线 过点 且与圆 交
于点B，C，线段 的中点为D，过 的中点E且平行于 的直线交 于点P．
(1)求动点P的轨迹方程；
【解析】（1）由题意得， ， ．
因为D为 中点，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
又E为 的中点，所以 ，
所以 ，
所以动点P的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．
设动点P的轨迹方程为： ，其中 ， ．
则 ， ， ， ．
故动点P的轨迹方程为： ．
题型三：相关点法
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，M满足
，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】 .
【解析】设点 ，
由 得点 ，而点P为椭圆 上的任意一点，
于是得 ，整理得： ，所以点M的轨迹方程是 .
故答案为:
例8．（2023·福建泉州·高三校考开学考试） 是圆 上的动点，点 ，则线段 的中
点 的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，解得 ，
即 ，则 ，整理得 ，
故点 的轨迹方程是 .
故答案为： .
例9．（2023·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点 和曲线 上
的动点 ，则线段 的中点 的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设线段 中点为 ， ， 则 ，
即 ，
因为点 为圆上 的点，所以
所以 ，化简得：
故答案为：
变式13．（2023·全国·高考真题）设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线段 的中点，
则点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 ， ，
则 ，即 ，又 ，则 ，
整理得 ，
即点M的轨迹方程为 .
故答案为：
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ，顶点A在抛物线 上运动，
则 的重心G的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 ， ．
由点G为 的重心，得 ，所以 ．
又 在抛物线 上，所以 ，即 ．
又点A不在直线BC上，所以 ，即 ，所以所求轨迹方程为 ．
故答案为：
变式15．（2023·全国·高三专题练习）设过点 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B
两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若 ，且 ，则点P的轨迹方程是
．
【答案】
【解析】设点 ，则 ，设 ， ，则 ，
， ，
， ， ，
又 ， ， ，
，即 .
故答案为： .
变式16．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，0)，， ，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，存在非零实数 ，
使得 ，则顶点C的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 ，因为 ，所以 是 的重心，
因为 ，所以 ，
所以 , 所以点 在 的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点 为 的内心.
所以点 ，即 ，
又 ，所以 与 轴平行，又 ，
所以 ,
所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，，
当 是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当 是椭圆的短轴的端点时， 与已知存在非零实数 ，使得 矛盾，所以不能取到椭圆的
短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为 .
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为：
题型四：交轨法
例10．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）已知直线 ， ，当任意的实数
m变化时，直线 与 的交点的轨迹方程是 ．【答案】
【解析】联立两直线得 ，将这两式相乘，消去参数m，得 ，
即 ，可得轨迹方程为 ．
故答案为：
例11．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，直线
与抛物线 交于 两点，过点 作抛物线 的切线 ，若 交于点 ，则点 的
轨迹方程为 .
【答案】 或
【解析】由焦点 到准线的距离为2，可得抛物线 .
由 可得 ，故 ，
故在 处的切线方程为 ，即 ，
同理在点 处的切线方程为 ，
联立 ，即 .
联立直线与抛物线方程： ，消去 得 ，
由题 或 .
由韦达定理， ，
得 ，其中 或 ，故点 的轨迹方程为： 或 .
故答案为： 或
例12．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知A，B分别为椭圆 的左､右顶点，点
M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
【答案】【解析】因为A，B分别为椭圆 的左､右顶点，所以A(-2，0)，B(2，0)，
设MA与NB的交点为P，P(x，y)，M(x，y)，N(x，-y)，
1 1 1 1
由 ， ，得 ， ，
两式相乘得∶ ，化解得 .
故答案为： .
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是
椭圆长轴的两个端点，则直线 和 的交点 的轨迹方程为 ．
【答案】 （ ）．
【解析】设 ，
因为椭圆 的长轴端点为 ，
设直线 和 的交点为 ，
因为 三点共线，所以 ， ，
因为 三点共线，所以 ，
两式相乘得 ，（ ）,
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，整理得 （ ），
所以直线 和 的交点 的轨迹方程 （ ）.
故答案为： （ ）.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）直线 在 轴上的截距为 且交抛物线 于 、
两点，点 为抛物线的顶点，过点 、 分别作抛物线对称轴的平行线与直线 交于 、 两点．
分别过点 、 作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ．【答案】
【解析】设点 、 ，
若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意.
设直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，
，由韦达定理，可得 ， ，
显然抛物线 在点 处切线斜率存在且不为 ，
设其方程为 ，
由 ，消去 并整理，得 ，
解得 或 ，因此有 ，解得 ，
则抛物线 在点 处切线方程为 ，即 ，
同理抛物线 在点 处切线方程为 ，
而 ，由 ，解得 ， ，
于是得两条切线的交点在直线 上，
又 ，所以两条切线的交点的轨迹方程为 ．
故答案为： .
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C： ，焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，
分别作抛物线C在A，B处的切线，且两切线交于点P，则点P的轨迹方程为： ．
【答案】
【解析】 ，
，
由题意知：直线 的斜率存在，
设直线 的方程为： ， ，联立： ，得： ，
，
又 ，
过 的切线的斜率分别为： ，
故过点 和点 的切线方程为： ，
联立： ，
解得： ， ，
故点P的轨迹方程为： .
故答案为： .
变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， ， ，动圆 与直线 切于点 ，分
别过点 且与圆 相切的两条直线相交于点 ，则点 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】如图所示：
设PM，PN分别与圆C相切与R，Q，
由圆的切线长定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，
所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=2
