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重难点突破 05 立体几何中最值、范围问
题
一．选择题（共5小题）
1．已知二面角 的平面角为 ， 与平
面 所成角为 ．记 的面积为 ， 的面积为 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
2．在正方体 中，点 为棱 上的动点，则 与平面 所成角
的取值范围为
A． B． C． D．
3．在如图所示的几何体中，底面 是边长为2的正方形， ， ， ， 均
与底面 垂直，且 ，点 ， 分别为线段 ， 的中
点，则下列说法错误的是
A．直线 与平面 平行
B．三棱锥 的外接球的表面积是C．点 到平面 的距离为
D．若点 在线段 上运动，则异面直线 和 所成角的取值范围是
4．在正方体 中，棱长为2，平面 经过点 ，且满足直线 与平面
所成角为 ，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，则 长度的取值范围为
A． B． C．
D．
5．在长方体 中， ， ， 是 的中点，点 在线段
上（包含端点），若直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二．解答题（共10小题）
6．如图4，在三棱台 中，底面 是边长为2的正三角形，侧面 为
等腰梯形，且 ， 为 的中点．
（1）证明： ；
（2）记二面角 的大小为 ， 时，求直线 与平面 所成角
的正弦值的取值范围．7．如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形， ， ， 分
别是线段 ， 的中点， 在平面 内的射影为 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 为棱 的中点，求点 到平面 的距离；
（3）若点 为线段 上的动点（不包括端点），求锐二面角 的余弦值的取
值范围．8．在棱长均为2的正三棱柱 中， 为 的中点．过 的截面与棱 ，
分别交于点 ， ．
（1）若 为 的中点，试确定点 的位置，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求截面 与底面 所成锐二面角的正切值；
（3）设截面 的面积为 ， 面积为 ， 面积为 ，当点 在棱 上
变动时，求 的取值范围．9．如图，在等腰梯形 中， ， ，四边形 为矩形，平面
平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）若点 在线段 上运动，设平面 与平面 的夹角为 ，试求 的取值
范围．10．如图，在三棱柱 中，底面是边长为 4 的等边三角形， ，
， ， 分别是线段 ， 的中点，平面 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 为线段 上的动点，求平面 与平面 的夹角的余弦值的取值范围．11．如图，在三棱柱 与四棱锥 的组合体中，已知 ，四边
形 是菱形， ， ， ， ．
（1）求证： 平面 ．
（2）点 为直线 上的动点，求平面 与平面 所成角的余弦值的取值范围．12．边长为4的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直，四边形 是半圆
弧 的内接梯形，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ，且二面角 与二面角 的大小都是 ，当点 在棱
（包含端点）上运动时，求直线 和平面 所成角的正弦值的取值范围．13．如图，在三棱锥 中，侧面 是锐角三角形， ，平面 平面
．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，点 在棱 （异于端点）上，当三棱锥 体积最
大时，若二面角 大于 ，求线段 长的取值范围．14．如图，直三棱柱 的底面边长和侧棱长都为2，点 在棱 上运动（不
包括端点）．
（1）若 为 的中点，证明： ．
（2）设平面 与平面 的夹角为 ，求 的取值范围．15．如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， 为等边三角形，
， ， ， 分别是线段 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 为线段 上的动点（不包括端点），求平面 与平面 夹角的余弦值
的取值范围．
