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重难点突破05 立体几何中的常考压轴小题
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题型一：球与截面面积问题
例1．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）已知三棱锥 的四个顶点在球O的球面上，
， 是边长为 的正三角形， ， ， ，过点E作球O的
截面，截面面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球 的球
面上， ， ，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为 ；
③过 作球 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球 是正三棱锥 （底面是正三
角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点 是线段 的中点，过点
作球 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·宁夏银川·校联考二模）2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一届世界杯是
1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆
等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、
踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第
一批国家非物质文化遗产名录．已知半径为 的某鞠（球）的表面上有四个点 ， ， ， ， ，
， ，则该鞠（球）被平面 所截的截面圆面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）在正方体 中， 分别为 的中点，
该正方体的外接球为球 ，则平面 截球 得到的截面圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知球O内切于正方体 ，P，Q，M，
N分别是 的中点，则该正方体及其内切球被平面 所截得的截面面积之比为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥P-ABC的棱长均为6，且四个顶点均在球心为
O的球面上，点E在AB上， ，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题例4．（2023·福建三明·高一校考阶段练习）如图，在正方体 中， ， ， 分别
为 ， 的中点， ， 分别为棱 ， 上的动点，则三棱锥 的体积（ ）
A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为
C．为定值 D．不确定，与 ， 的位置有关
例5．（2023·四川成都·校考模拟预测）如图，在四棱柱 中，底面 为正方形，
底面 ， ， ､ 分别是棱 ､ 上的动点，且 ，则下列结论中正确的
是（ ）
A．直线 与直线 可能异面
B．三棱锥 的体积保持不变
C．直线 与直线 所成角的大小与点 的位置有关
D．直线 与直线 所成角的最大值为
例6．（多选题）（2023·福建三明·统考三模）如图，正方体 的棱长为 ，点 是 的中点，点 是侧面 内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．当 在 上时，三棱锥 的体积为定值
B． 与 所成角正弦的最小值为
C．过 作垂直于 的平面 截正方体 所得截面图形的周长为
D．当 时， 面积的最小值为
变式5．（多选题）（2023·广东梅州·统考三模）已知正方体 的棱长为2， 为四边形
A B C D 的中心， 为线段 上的一个动点， 为线段 上一点，若三棱锥 的体积为定值，则
1 1 1 1
（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（多选题）（2023·山西大同·高三统考阶段练习）如图，正方体 的棱长为2，线
段 上有两个动点 ，且 ，以下结论正确的有（ ）
A．
B．
C．正方体 的体积是三棱锥 的体积的12倍
D．异面直线 所成的角为定值变式7．（多选题）（2023·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知正三棱柱ABC﹣ABC 的底面边长为
1 1 1
1，AA=1，点P满足 ，其中λ∈[0,1],μ∈[0,1]，下列选项正确的是（ ）
1
A．当λ=1时，△ABP的周长为定值
1
B．当μ=1时，三棱锥P﹣ABC的体积为定值
1
C．当 时，有且仅有两个点P，使得AP⊥BP
1
D．当 时，有且仅有一个点P，使得AB⊥平面ABP
1 1
变式8．（多选题）（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，点
满足 ，其中 ，则（ ）
A．
B．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，三棱锥 的体积为定值
变式9．（多选题）（2023·湖南·校联考模拟预测）如图， 为正方体.任作平面 与对角线
垂直，使得 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（ ）
A．S为定值 B．S不为定值 C．l为定值 D．l不为定值
变式10．（多选题）（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知三棱锥 ，
， 为棱 上一点，且 ，过点 作平行于直线 和
的平面 ，分别交棱 于 ．下列说法正确的是（ ）
A．四边形 为矩形
B．四边形 的周长为定值
C．四边形的 面积为定值
D．当 时，平面 分三棱锥 所得的两部分体积相等
变式11．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）在正方体 中，点P满足
，其中 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，△PBD的面积为定值
D．当 时，直线 与 所成角的取值范围为
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题例7．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架
的边长均为2，活动弹子 在线段 上移动（包含端点），弹子 分别固定在线段 的中点处，
且 平面 ，则当 取最大值时，多面体 的体积为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·山东青岛·高三统考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为 ，则该
正四棱锥的体积最大值为（ ）
A．18 B． C． D．27
例9．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知正方体 的棱长为 是
正方形 （含边界）内的动点，点 到平面 的距离等于 ，则 两点间距离的最大值为
（ ）
A． B．3 C． D．
变式12．（2023·河南·校联考模拟预测）点 是圆柱上底面圆周上一动点， 是圆柱下底面圆的内接
三角形，已知在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，三棱锥
的体积最大值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
变式13．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图， 是半球的直径， 为球心， 为此半球大圆
弧上的任意一点（异于 在水平大圆面 内的射影为 ，过 作 于 ，连接 ，若
二面角 的大小为 ，则三棱锥 的体积的最大值为（ ）A． B． C． D．
变式14．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）圆锥 的底面半径为 ，母线长为 ， 是圆锥 的轴截
面， 是 的中点， 为底面圆周上的一个动点（异于 、 两点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得
C．三棱锥 体积最大值为 D．三棱锥 体积最大值为
变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为 ，
高为1，P､Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论：
①三角形SPQ面积的最大值为2；
②三棱锥 体积的最大值为 ；
③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为 ．
以上所有正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式16．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体 中， 为 的中点，点 在以 为球心的球上
运动， ，且恒有 ，已知三棱锥 的体积的最大值为 ，则正四面体
外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
变式17．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且
，现将 沿AE向上翻折，使 点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是
（ ）A．存在点P，使得
B．存在点P，使得
C．三棱锥 的体积最大值为
D．当三棱锥 的体积达到最大值时，三棱锥 外接球表面积为4π
变式18．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图，圆台 的上、下底面圆半径分
别为1、2，高 ，点S、A分别为其上、下底面圆周上一点，则下列说法中错误的是（ ）
A．该圆台的体积为
B．直线SA与直线 所成角最大值为
C．该圆台有内切球，且半径为
D．直线 与平面 所成角正切值的最大值为
变式19．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱 中， ， 为底面
A B C D 的中心， 是棱 的中点，正四棱柱的高 ，点 到平面 的距离的最大值为
1 1 1 1
（ ）
A． B． C． D．
变式20．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知A，B，C，D是体积为 的球体表面上四点，
若 ， ， ，且三棱锥A－BCD的体积为 ，则线段CD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形 的中心为正方形 的中心， ，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥 （ ， ， ， 四点重合于点 ），则此四
棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式22．（2023·安徽黄山·统考二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片 剪去四个全等的等腰
三角形 ， ，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥 ，使 与 重
合， 与 重合， 与 重合， 与 重合，点 重合于点 ，如图2.则正四棱锥 体
积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，圆形纸片的圆心为 ，半径为5，该纸片上的正方形
的中心为 ． ， ， ， 为圆 上的点， ， ， ， 分别是以 ，
， ， 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 ， ， ， 为折痕折起，使得 ，
， ， 重合于一点，记为 ，得到四棱锥 ．当底面 的边长变化时，四棱锥
的体积的最大值为（ ）A． B． C． D．
题型四：立体几何中的交线问题
例10．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知正方体 是半径为 的球 的内接正方体
（八个顶点全部在球面上），则正方体六个面所在的平面与球面的交线总长度是（ ）
A． B． C． D．
例11．（2023·上海·高三专题练习）直三棱柱 中， ， ， ， ，
设平面 与平面 的交线为 ，则 与 的距离为（ ）．
A．1 B． C．17 D．2.6
例12．（2023·浙江·校联考三模）正四面体 ， 为棱 的中点，过点 作平面 的平行平面，
该平面与平面 、平面 的交线分别为 ，则 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体 中， 分别是棱
， 的中点若经过点 的平面与平面 的交线为 ，则 与直线 所成角的余弦值为
（ ）A． B． C． D．
变式25．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别是 ，
， 的中点，设过 ， ， 的截面与面 ，以及面 的交线分别为 ， ，则 ， 所
成的角为（ ）
A． B． C． D．
变式26．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在正方体 中， 为 中点，
过 的截面 与平面 的交线为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式27．（2023·全国·高三专题练习）如图，在圆台OO 中， ，点C是底面圆周上异于A、B的
1
一点， ，点D是BC的中点，l为平面 与平面 的交线，则交线l与平面 所成角的大
小为（ ）
A． B． C． D．
变式28．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在正三棱锥P-ABC中， ，BC＝6，M，N，Q，D分
别是AP，BC，AC，PC的中点，平面MQN与平面PBC的交线为l，则直线QD与直线l所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式29．（2023·四川成都·高三校联考期末）在正方体 中， 为线段 的中点，设平面
与平面 的交线为 ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱 中， ， ，
， ，点 ､ 分别为棱 ､ 的中点，则平面 与直四棱柱各侧面矩形的
交线所围成的图形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥 的底面边长为 ，外接球表面积为 ，
，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知，如图正三棱锥 中，侧棱长为 ，底面边长为2，D为
AC中点，E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则 最小值是（ ）A． B． C． D．
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为 的正方体 中，点 是线段 上的
动点， 是 上的动点， 是 上的动点，则 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式31．（2023·辽宁·高一辽宁实验中学校联考期末）如图所示，在直三棱柱 中，棱柱的侧
面均为矩形， ， ， ， 是线段 上的一动点，则 最小值为
（ ）
A． B． C． D．
变式32．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）在三棱锥 中， ， 在
底面 上的投影为 的中点 ， .有下列结论：
①三棱锥 的三条侧棱长均相等；② 的取值范围是 ；
③若三棱锥的四个顶点都在球 的表面上，则球 的体积为 ；
④若 ， 是线段 上一动点，则 的最小值为 .
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
变式33．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形，
．点 分别为平面 ，平面 和平面 内的动点，点 为棱 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
变式34．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， ，
且 分别为 和 的中点， 为线段 （包括端点）上一动点， 为侧面 上一动点，则
的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
题型六：空间角问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，斜三棱柱 中，底面 是正三角形， 分
别是侧棱 上的点，且 ，设直线 与平面 所成的角分别为 ，平面
与底面 所成的锐二面角为 ，则（ ）A．
B．
C．
D．
例17．（2023·浙江·高考真题）设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点
（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的
平面角为 ，则
A． B．
C． D．
例18．（2023·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱
上的点．记 与 所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
变式35．（2023·浙江温州·高二温州中学校考期末）斜三棱柱 中，底面 是正三角形，侧
面 是矩形， 是线段 上的动点，记直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面
所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
变式36．（2023·浙江绍兴·高三统考期末）斜三棱柱 中，底面 是正三角形，侧面
是矩形，且 ， 是 的中点，记直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面
所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
变式37．（2023·全国·高三专题练习）已知等边 ，点 分别是边 上的动点，且满足
，将 沿着 翻折至 点处，如图所示，记二面角 的平面角为 ，二面角
的平面角为 ，直线 与平面 所成角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
变式38．（2023·江苏·高一专题练习）正四面体 中， 是侧棱 上（端点除外）的一点，若异
面直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
变式39．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，顶点P在底面的射影为 的垂心O（O
在 内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面 ，过BM作平行于AC的截面 ，记 ，
与底面ABC所成的锐二面角分别为 ， ，若 ，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则C． 可能值为
D．当 取值最大时，
变式40．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是正方体 上底面 上的一个动点，
记面ADP与面BCP所成的锐二面角为 ，面ABP与面CDP所成的锐二面角为 ，若 ，则下列叙述
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式41．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知四面体 中，棱 ， 所在直线所成角为 ，且
， ， ，面 和面 所成的锐二面角为 ，面 和面 所成的锐二
面角为 ，当四面体 的体积取得最大值时（ ）.
A． B． C． D．不能确定
变式42．（2023·浙江·校联考二模）已知三棱柱 的所有棱长均相等，侧棱 平面 ，
过 作平面 与 平行，设平面 与平面 的交线为 ，记直线 与直线 所成锐角分别
为 ，则这三个角的大小关系为
A． B．
C． D．
题型七：立体几何装液体问题
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱 容器，如图
1， 为正三角形， ， ，里面装有体积为 的液体，现将该棱柱绕 旋转至图2.在旋
转过程中，以下命题中正确的个数是（ ）①液面刚好同时经过 ， ， 三点；
②当平面 与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为 ；
③当液面与水平桌面的距离为 时， 与液面所成角的正弦值为 .
A．0 B．1 C．2 D．3
例20．（2023·全国·高三专题练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长
为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023·全国·高三专题练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长
为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式43．（2023·全国·高三专题练习）已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，
现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（ ）
A． B． C． D．
变式44．（多选题）（2023·辽宁丹东·统考二模）如图，玻璃制成的长方体容器 内部灌进
一多半水后封闭，仅让底面棱BC位于水平地面上，将容器以BC为轴进行旋转，水面形成四边形EFGH，
忽略容器壁厚，则（ ）A． 始终与水面EFGH平行
B．四边形EFGH面积不变
C．有水部分组成的几何体不可能是三棱柱
D．AE+BF为定值
变式45．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）透明塑料制成的正方体密闭容器 的体积
为64，注入体积为 的液体．如图，将容器下底面的顶点 置于地面上，再将容器倾斜．随着
倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）
A．液面始终与地面平行
B． 时，液面始终呈平行四边形
C．当 时，有液体的部分可呈正三棱锥
D．当液面与正方体的对角线 垂直时，液面面积最大值为
变式46．（多选题）（2023·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）透明塑料制成的正方体密闭容器
的体积为 注入体积为 的液体.如图，将容器下底面的顶点 置于地面上，再
将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）A．液面始终与地面平行
B． 时，液面始终是平行四边形
C．当 时，有液体的部分可呈正三棱锥
D．当液面与正方体的对角线 垂直时，液面面积最大值为
变式47．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（
）的液体，旋转容器，下列说法正确的是（ ）
A．当 时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同
B．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状
C．液面可以是正六边形，其面积为
D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为
变式48．（2023·全国·高三专题练习）在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任
意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．
变式49．（2023·四川泸州·四川省泸州高级中学校校考一模）一个长、宽、高分别为1、2、3密封且透明
的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的
取值范围是 .
