文档内容
重难点突破 07 函数零点问题的综合应用
目录
01方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳总结...................................................................................................................................2
题型一：判断或讨论函数零点的个数................................................................................................2
题型二：根据零点个数求参数范围....................................................................................................3
题型三：证明函数零点的个数............................................................................................................4
题型四：证明函数零点的性质............................................................................................................5
题型五：最值函数的零点问题............................................................................................................7
题型六：同构法妙解零点问题............................................................................................................8
题型七：零点差问题..........................................................................................................................10
题型八：分离参数转化为两图像交点解决零点问题......................................................................11
题型九：零点问题之取点技巧..........................................................................................................13
题型十：零点与切线问题的综合应用..............................................................................................14
03过关测试.........................................................................................................................................151、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，
求参数的值或取值范围.
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴(或直线 )在某区间上的
交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.
2、函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个
不同的值，就有几个不同的零点．
3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将 整理变形成
的形式，通过 两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函
数的单调性，从而判断函数零点个数.
4、利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知
识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可
以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合
思想研究；③构造辅助函数研究.
题型一：判断或讨论函数零点的个数
【典例1-1】（2024·河南·三模）函数 的图象在 处的切线为
.(1)求 的值；
(2)求 在 上零点的个数.
【典例1-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的极大值；
(2)若 ，求 在区间 上的零点个数．
【变式1-1】（2024·湖南长沙·三模）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)设函数 ，讨论 零点的个数.
【变式1-2】已知 ， 是实数，1和 是函数 的两个极值点
(1)求 ， 的值.
(2)设函数 的导函数 ，求 的极值点.
(3)设 其中 求函数 的零点个数.
题型二：根据零点个数求参数范围
【典例2-1】（2024·广东茂名·一模）设函数 ， .
(1)当 时， 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若 在 上存在零点，求实数 的取值范围.【典例2-2】（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ， ，其中a为整数且
.记 为 的极值点，若 存在两个不同的零点 ， ，
(1)求a的最小值；
(2)求证： ；
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，曲线 在点 处的切线
平行于直线 ．
(1)当 时，求b的值；
(2)当 时，若 在区间 各内有一个零点，求a的取值范围．
【变式2-2】（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 有2个零点，求 的取值范围.
题型三：证明函数零点的个数
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且曲线 在点 处的切
线方程为 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)证明：函数 有两个零点．【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求证： 在 上有唯一的极大值点；
(2)若 恒成立，求a的值；
(3)求证：函数 有两个零点．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 的两个极值点分别为 ，证明： ；
(3)设 ，求证：当 时， 有且仅有2个不同的零点．
（参考数据： ）
【变式3-2】（2024·上海闵行·二模）已知定义在 上的函数 的表达式为 ，
其所有的零点按从小到大的顺序组成数列 （ ）.
(1)求函数 在区间 上的值域；
(2)求证：函数 在区间 （ ）上有且仅有一个零点；
题型四：证明函数零点的性质
【典例4-1】（2024·全国·一模）已知
(1)若 ，求实数 的取值范围；(2)设 是 的两个零点（ ），求证：① ；② .
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且 有两个相异零点 ．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明： ．
【变式4-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若 有两个不同的零点 ，证明 ．
【变式4-2】（2024·山东临沂·二模）已知函数 .
(1)当 时，求证： 存在唯一的极大值点 ，且 ；
(2)若 存在两个零点，记较小的零点为 ，t是关于x的方程 的根，证明：
.
【变式4-3】（2024·高三·河南鹤壁·期中）已知函数 ，其中e为自然对数的底数．
(1)若函数 在 上有2个极值点，求a的取值范围；
(2)设函数 ， ），证明： 的所有零点之和大于 ．【变式4-4】（2024·四川眉山·三模）已知函数 .
(1)若过点 可作曲线 两条切线，求 的取值范围；
(2)若 有两个不同极值点 .
①求 的取值范围；
②当 时，证明： .
题型五：最值函数的零点问题
【典例5-1】（2024·湖北黄冈·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的极值；
(2)用 表示 中的最大值，记函数 ，讨论函数 在 上
的零点个数．
【典例5-2】（2024·四川南充·三模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在 上的极值；
(2)用 表示 ， 中的最大值，记函数 ，讨论函数 在 上
的零点个数．
【变式5-1】（2024·四川南充·三模）已知函数 ， 其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 的极值；(2)用 表示 ， 中的最大值，记函数 ，当 时，讨论函数
在 上的零点个数.
【变式5-2】（2024·江西九江·二模）已知函数 ， ．
(1)若直线 与曲线 相切，求a的值；
(2)用 表示m，n中的最小值，讨论函数 的零点个数．
题型六：同构法妙解零点问题
【典例6-1】已知函数 ，若函数 在区间 内存在零点，求实
数 的取值范围
【典例6-2】已知 ．
（1）若函数 在 上有1个零点，求实数 的取值范围．
（2）若关于 的方程 有两个不同的实数解，求 的取值范围．【变式6-1】已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）若函数 有且仅有两个零点，求 的取值范围．
【变式6-2】（2024·上海嘉定·一模）已知 ．
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线 有唯一交点；
(3)对于常数 ，若直线 和曲线 共有三个不同交点 ，其
中 ，求证： 成等比数列．
【变式6-3】（2024·四川·三模）已知函数 和函数 ，且 有最大值为 ．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线 和 恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为 ， ， ，且
，证明： ．
【变式6-4】（2024·河北邯郸·二模）已知函数 ．
(1)是否存在实数 ，使得 和 在 上的单调区间相同？若存在，求出 的取值范围；若不
存在，请说明理由．
(2)已知 是 的零点， 是 的零点．
①证明： ，
②证明： ．题型七：零点差问题
【典例7-1】（2024·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿
法．具体做法如下：如图，设r是 的根，首先选取 作为r的初始近似值，若 在点
处的切线与 轴相交于点 ，称 是r的一次近似值；用 替代 重复上面的过程，得到 ，称 是
r的二次近似值；一直重复，可得到一列数： ．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当
近似值相等时，该值即作为函数 的一个零点 ．
(1)若 ，当 时，求方程 的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数 在点
处的切线，并证明： ；
(3)若 ，若关于 的方程 的两个根分别为 ，证明： ．
【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知 ，函数 的图象在点 处的切线
方程为 .
(1)求a，b的值;
(2)若方程 （e为自然对数的底数）有两个实数根 ，且 ，证明：【变式7-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
【变式7-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ．
(1)求证： ；
(2)若 是 的两个相异零点，求证： ．
【变式7-3】（2024·河南信阳·三模）已知函数
(1)若 恒成立，求a的值；
(2)若 有两个不同的零点 ，且 ，求a的取值范围.
【变式7-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ，若 存在两个不同的零点 ， ，且 .
（i）证明： ；
（ii）证明： .
题型八：分离参数转化为两图像交点解决零点问题
【典例8-1】（2024·天津·模拟预测）已知函数
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)求证： ；
(3)函数 有且只有两个零点，求a的取值范围．【典例8-2】（2024·广东广州·二模）已知函数 ．
讨论 的零点个数；
【变式8-1】（2024·浙江·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，判断 的零点个数.
【变式8-2】已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 恰有三个零点，求a的取值范围．
【变式8-3】（2024·湖北·模拟预测）函数 ．
(1)当 时，证明： ；
(2)讨论函数 的零点个数．
【变式8-4】（2024·广西河池·模拟预测）已知函数 ，定义域为 .(1)讨论 的单调性；
(2)求当函数 有且只有一个零点时， 的取值范围.
题型九：零点问题之取点技巧
【典例9-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明：函数 有两个不同的零点．
【典例9-2】（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
【变式9-1】（2024·陕西铜川·三模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 存在零点，求实数 的取值范围.【变式9-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.
题型十：零点与切线问题的综合应用
【典例10-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 .
(1)判断 的零点个数；
(2)求曲线 与曲线 公切线的条数.
【典例10-2】（2024·江西·模拟预测）已知函数 ，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明：对任意 ，存在唯一实数 ，使得
【变式10-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数 ， ，直线 为曲线
与 的一条公切线.
(1)求 ；
(2)若直线 与曲线 ，直线 ，曲线 分别交于 三
点，其中 ，且 成等差数列，证明：满足条件的 有且只有一个.【变式10-2】（2024·四川泸州·三模）设函数 ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若总存在两条直线和曲线 与 都相切，求 的取值范围.
【变式10-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)已知 ， ， （其中 且 ， ， 成等比数列）是曲线 上
三个不同的点，判断直线AC与曲线 在点B处的切线能否平行？请说明理由.
1．（2024·福建宁德·三模）已知函数 的图象在 处的切线过点 .
(1)求 在 上的最小值;
(2)判断 在 内零点的个数，并说明理由.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 ．
(1)证明：当 时， ；
(2)求 在区间 上的零点个数．3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)当 时， ，求 的最大值；
(3)若 在区间 存在零点，求 的取值范围.
4．（2024·安徽·三模）已知函数 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若函数 有2个零点，试比较 与 的大小关系.
5．（2024·陕西商洛·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，若函数 和 的图象在 上有交点，求实数 的取值范围．
6．（2024·湖北黄石·三模）已知函数 有两个零点 ， .
(1)求实数 的取值范围；
(2)如果 ，求此时 的取值范围.7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的零点个数；
(2)若 有两个零点，证明：两个零点之和大于4．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)讨论函数 和 的图象在 上的交点个数．
9．（2024·全国·模拟预测）当 时，总有不等式 成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)设方程 ，试确定该方程实根的个数，并证明你的结论．
10．（2024·青海海南·一模）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若函数 的两个零点分别是 且 ，证明： ．
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，讨论曲线 与曲线 的交点个数．
12．已知函数 ．
(1)若 恰有两个零点，求a的取值范围；
(2)若 的两个零点分别为 （ ），求证： ．
13．（2024·江西赣州·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间，
(2)已如 .若函数 有唯一的零点 .证明， .
14．（2024·广西·模拟预测）已知函数 有三个零点， .
(1)求 的取值范围；
(2)记三个零点为 ，且 ，证明： .
15．（2024·四川南充·一模）设函数 (e为自然对数的底数)，函数 与函数 的图象关于直
线 对称.
(1)设函数 ，若 时， 恒成立，求 的取值范围；
(2)证明： 与 有且仅有两条公切线，且 图象上两切点横坐标互为相反数.16．（2024·广东·二模）已知 .
(1)求 的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函数 的图象
在 处的切线平行？若存在，请求出直线 ；若不存在，请说明理由.
17．（2024·河南·模拟预测）已知函数 的图象在 处的切线方程为 .
(1)求 的解析式；
(2)若过点 可作 图象的三条切线，证明： .
18．已知函数 最小值为
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，过点 可以作曲线 的三条切线． 证明：
19．已知函数 .
(1)当 时，不用计算器，用切线“以直代曲”，求 的近似值（精确到四位小数）.
(2)讨论函数 的零点个数.20．（2024·湖北·模拟预测）函数 .
(1)求函数 在 的值域；
(2)记 分别是 的导函数，记 表示实数 的最大值，记函数
，讨论函数 的零点个数.
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．
（1）若函数 的极值点恰有 个，求实数 的取值范围；
（2）记 若函数 ，试讨论函数 的零点个数．
22．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数 （ ）， ．
(1)若 ， 的导数分别为 ， ，且 ，求a的取值范围；
(2)用 表示a，b中的最小值，设 ，若 ，判断 的零点个数．
