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第十三章 轴对称知识归纳与题型突破（题型清单）
01 思维导图
02 知识速记
一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条
直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分
线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直
线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，
而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图
形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段
两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
二、作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就
可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，
连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
三、等腰三角形
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等
腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.03 题型归纳
题型一 轴对称图形的识别
例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是
开展全民阅读的重要场所．以下是四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24八年级上·天津·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）下列图片是几所名牌大学的校徽，其中是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
3．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）下列图形中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图， 与 关于直线l对称，连接 ， ， ，
其中 分别交 ， 于点D， ，下列结论：① ；② ；③直线l垂直平分
；④直线 与 的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
巩固训练
1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△ABC和 关于直线l对称，点P为直线l上一点，
则下列说法中错误的是（ ）
A． B．l垂直平分 C． D．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图， 与 关于直线 对称，P为 上任一点（ ，
P， 不共线），下列结论中不正确的是（ ）
A．
B． 垂直平分线段
C． 与 面积相等
D．直线 ， 的交点不一定在直线 上
3．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线
是其对称轴．下列结论不正确的是（ ）A． B．∠D=∠D′
C． 平分 D． 垂直平分
题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解
例题：如图， 和 关于直线 对称， 与 的交点 在直线 上．
(1)图中点 的对应点是点 ， 的对应角是 ；
(2)若 ， ，则 的长为 ；
(3)若 ， ，求 的度数．
巩固训练
1．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图， 与 关于直线 对称，其中 ，
， ， ．(1)线段 与 的关系是什么？
(2)求 的度数；
(3)求 的周长
2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点 在 内．如图1，点 关于射线 的对称点是 ，
点 关于射线 的对称点是 ，连接OG、 ， ．
(1)若 ，求 的度数
(2)如图2，若 ，当△PAB的周长最小值为6时，求 的度数．
3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在 内．(1)如图①，点P关于射线OM、ON的对称点分别是G、H，连接 ．
①若 ，则 是什么特殊三角形？为什么？
②若 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若 ， A、B分别是射线OM、ON上的点， 于点B，点P、Q分别为
上的两个定点，且 ， ，在 上有一动点E，试求 的最小值．
题型四 利用线段的垂直平分线性质求解
例题：（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在 中， 边的垂直平分线交 边于点 ，连接
．
(1)若 ， 的周长为 ，求 的长．
(2)若 ， ，求 的度数．巩固训练
1．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图， 中， 的角平分线 与 的中垂线 交于点
，过点 分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ，若 ，则 的长为
．
2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图， 中， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，
，垂足为 ，且 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 的周长为 ， ，则 的长为多少？
3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图， 中， 的垂直平分线分别交 于点
的垂直平分线分别交 于点 ，连接 ．
(1)若 的周长为 ，求线段 的长；
(2)若 ，求 的度数．题型五 线段的垂直平分线的判定
例题：如图，已知 ，点P为 的平分线上一点， ， ，垂足分别为E、F
(1)求证∶
(2)若 ，求证：点P在 的垂直平分线上．
巩固训练
1．如图， 为 平分线上一点， 于 ， 于 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 垂直平分 ．
2．如图， 是 的角平分线， 分别是 和 的高．(1)求证： 垂直平分 ；
(2)若 的面积是4，则 ．
题型六 利用等腰三角形的定义求解
例题：（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）等腰三角形的一个角是 ，则它的顶角是
．
巩固训练
1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为 、 ，其周长为
；
（2）若等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则它的周长为 ．
3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， ， 平分 ，如果射线 上的点 满足
是等腰三角形， 的度数为 ．
4．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在 中， ．
(1)求 长度的取值范围；
(2)若 的周长为偶数，求 的周长，并判断此时 的形状．题型七 根据等腰三角形中三线合一求解
例题：如图， 中， ， 于点D， ，若 ，则 的度数为
_____．
巩固训练
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， 平分 ，点E在边 上，
且 ．若 ，则 的大小为 ．
2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知 ，点M，N在边 上， ．
若 ，则 的长为 ．
3．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）如图，在等边△ABC中， ， 是 延长线上一点，且
， 是 上一点，且 ，则 的长为 ．题型八 含30°角的直角三角形
例题：（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在 中， ，点D在线段 上，且
， ， ，则 的长度为 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·青海西宁·开学考试）如图，在 中， 垂直平分 ，分别交 于点
， 平分 ，则 的长为 ．
2．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图， 平分 ， ， ， 于
点 ， ，则 ．
3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， ，点P是 上一点，点Q与点P关于 对称，
于点M，若 ，则 的长为 ．
4．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，等边三角形 中，D、E分别为 边上的两动点，与 交于点F， 于点G，若 ，则 ．
题型九 等腰三角形的性质与判定
例题：如图，已知在四边形ABCD中，AD BC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：BD＝BC；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
巩固训练
1．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
(1)求证：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．
2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在 中， ，点 为 的中点，边 的垂直平分线交 ， ， 于点 ， ， ，连接 、 ．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ，求 的度数．
3．（23-24七年级下·山东东营·开学考试）如图，在 中， ，点D，E，F分别在
边上，且 ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求证： ；
(3)当 时，求 的度数．
4．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作
∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
(2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由；
(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．
题型十 等边三角形的性质与判定
例题：如图， 是 上一点，点 ， 分别在 两侧， ，且 ， ．
(1)求证 ；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
巩固训练
1．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在 中， ， 为 的中点， 于
点 ， 于点 ，且 ，连接 ，点 在 的延长线上，且 ．(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 ，求 的长．
2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点 、 、 在同一条直线上， 和 都是
等边三角形． 交 于 ，AD交CE于 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)判断 的形状并说明理由．
3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在 中， ， ， 于 ，点
是线段 上一点，点 是 延长线上一点，且 ．
(1)证明： 是等边三角形；(2)请写出线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由．
4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 中， ，点 在 边上，
，点 在 延长线上，连结 ，点 在 上， 交 于点 ， ，
．
(1)求证： ；
(2)求证： 为等边三角形；
(3)当 ， 时，求 的长．
