文档内容
重难点突破 08 圆锥曲线的垂直弦问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点................................................................................3
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点............................................................................4
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点............................................................................5
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点....................................................................6
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点................................................................7
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点................................................................8
题型七：内接直角三角形范围与最值问题......................................................................................10
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题..........................................................................11
03 过关测试.........................................................................................................................................121、过椭圆 的右焦点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ， 的中点分别为
， ，那么直线 恒过定点 ．
2、过椭圆 的长轴上任意一点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ，
的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
3、过椭圆 的短轴上任意一点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ，
的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
4、过椭圆 内的任意一点 作两条互相垂直的弦 ， ．若弦 ，
的中点分别为 ， ，那么直线 恒过定点 ．
5、以 为直角定点的椭圆 内接直角三角形的斜边必过定点
6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上．
7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在 轴上．
8、以 为直角定点的抛物线 内接直角三角形的斜边必过定点 ，
9、以 为直角定点的双曲线 内接直角三角形的斜边必过定点题型一：椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
【典例1-1】已知椭圆 的左右焦点分别 ，若______．
请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答（若都选择，则按照第一个解答给分）
①四点 中，恰有三点在椭圆C上．
②椭圆C经过 ， 轴，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点D为椭圆C的上顶点，过点D作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点，过D作直线AB的
垂线垂足为M，判断y轴上是否存在定点N，使得 为定值？请证明你的结论．
【典例1-2】如图所示， 、 分别为椭圆 的左、右顶点，离心率为 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过 点作两条互相垂直的直线 、 与椭圆交于 、 两点，证明直线 过定点，并求 面积
的最大值．
【变式1-1】已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，上焦点为 ， ， .
(1)求椭圆 的方程；(2)过 点作两条互相垂直的弦交 于 ， 两点.当点 变化时，直线 是否过定点？并说明理由.
【变式1-2】已知椭圆 ： （ ）的离心率 ，且过点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作椭圆 的两条互相垂直的弦 、 ，试判断直线 是否过定点，若过定点，求出该定点的
坐标；若不过定点，请说明理由．
题型二：双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
【典例2-1】在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l： 的距离之比是
常数 ，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A( ，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
【典例2-2】已知双曲线 ，经过双曲线 上的点 作互相垂直的直线AM､AN分
别交双曲线 于M､N两点.设线段AM､AN的中点分别为B､C，直线OB､OC（O为坐标原点）的斜率都存
在且它们的乘积为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点A作 （D为垂足），请问：是否存在定点E，使得 为定值？若存在，求出点E的坐
标；若不存在，请说明理由.【变式2-1】已知双曲线C： 经过点 ，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的
距离为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），
设直线AB： ，试求 和 之间满足的关系式．
题型三：抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
【典例3-1】已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线l交抛物线于A，B两点，且
．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设过点 且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线 过定点．
【典例3-2】已知抛物线C： 与椭圆E： 的一个交点为 ，且E的
离心率 .
(1)求抛物线C和椭圆E的方程；
(2)过点A作两条互相垂直的直线AP，AQ，与C的另一交点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点.
【变式3-1】已知抛物线 的焦点 关于直线 的对称点 恰在抛物线 的准线上．
(1)求抛物线 的方程；(2) 是抛物线 上横坐标为 的点，过点 作互相垂直的两条直线分别交抛物线 于 两点，证明直
线 恒经过某一定点，并求出该定点的坐标．
【变式3-2】（2024·云南昆明·模拟预测）已知抛物线 ，O是坐标原点，F是C的焦点，
M是C上一点， ， ．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设点 在C上，过Q作两条互相垂直的直线 ，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：
直线 恒过定点．
题型四：椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例4-1】已知椭圆 的左右焦点分别为 ，抛物线 与椭圆有相同的焦点，
点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD
的中点为N，证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
【典例4-2】已知椭圆 过点 ，且长轴长为4.
(1)求 的标准方程；
(2)过点 作两条互相垂直的弦 ，设弦 的中点分别为 .证明；直线 必过定点.【变式4-1】已知定点 ，关于原点O对称的动点P，Q到定直线l： 的距离分别为 ， ，
且 ，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)当 时，过点F的两条互相垂直的直线与曲线C分别交于A，B，C，D两点，弦AB，CD的中点分
别为M，N，求证：直线MN过定点；
(3)在（2）条件下，当M，N，F三点可构成三角形时，求 的取值范围．
【变式4-2】（2024·高三·天津河西·期末）已知椭圆 上任意一点 到椭圆 两个
焦点 的距离之和为 ，且离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为 的左顶点，过 点作两条互相垂直的直线 分别与 交于 两点，证明：直线 经
过定点，并求这个定点的坐标．
题型五：双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例5-1】（2024·贵州·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线方程为
，焦点到渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过双曲线 的右焦点 作互相垂直的两条弦（斜率均存在） 、 .两条弦的中点分别为 、 ，那
么直线 是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.【典例5-2】（2024·黑龙江·三模）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
点 在 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过双曲线 的左焦点 作互相垂直的两条直线 ，且 与 交于 两点， 与 交于 两点，
为线段 的中点， 为线段 的中点，证明：直线 过定点.
题型六：抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
【典例6-1】已知一个边长为 的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线
上.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交抛物线 于 、 两点， 交抛物线 于 ， 两点，
若线段 的中点为 ，线段 的中点为 ，证明：直线 过定点．
【典例6-2】已知抛物线 ： 焦点为 ， 为 上的动点， 位于 的上方区域，且
的最小值为3.
(1)求 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交 于 ， 两点， 交 于 ， 两点，且 ， 分别
为线段 和 的中点.直线 是否恒过一个定点?若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
【变式6-1】过点 作抛物线 在第一象限部分的切线，切点为A，F为 的焦点，
为坐标原点， 的面积为1．
(1)求 的方程；(2)过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交 于C，D两点， 交 于P，Q两点，且M，N分别为
线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【变式6-2】已知抛物线 上一点 的纵坐标为4，点 到焦点 的距离为5.过点 做
两条互相垂直的弦 ，设弦 的中点分别为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过焦点 作 ，且垂足为 ，
（ⅰ）求证直线 过定点 ，并求定点 坐标；
（ⅱ）求 的最大值.
【变式6-3】（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线 的焦点 到双曲线 的渐近线
的距离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 任意作互相垂直的两条直线 ， 分别交曲线 于点A，B和M，N.设线段 ， 的中点分别
为P，Q，求证：直线 恒过一个定点.题型七：内接直角三角形范围与最值问题
【典例7-1】设椭圆 的两焦点为 ， ， 为椭圆上任意一点，点 到原点最大距离
为2，若 到椭圆右顶点距离为 .
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为 、 ，过 作两条互相垂直的直线交椭圆于 、 ，问直线 是否经过
定点？如果是，请求出定点坐标，并求出 面积的最大值.如果不是，请说明理由.
【典例7-2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ，过右焦点 作两条互相垂直的弦AB，
CD，设AB，CD中点分别为 ， .
(1)写出椭圆右焦点 的坐标及该椭圆的离心率；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求 面积的最大值.【变式7-1】已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为A， ，上顶点为 ，坐标
原点 到直线 的距离为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过A点作两条互相垂直的直线 ， 与椭圆交于 ， 两点，求 面积的最大值.
题型八：两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
【典例8-1】如图，抛物线 是抛物线内一点，过点 作两条斜率存在且互相垂
直的动直线 ，设 与抛物线 相交于点 与抛物线 相交于点 ， ，当 恰好为线段 的中点
时， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)求 的最小值．
【典例8-2】（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆 的右焦点、上顶点，过原点的
直线 交椭圆 于A，B两点，满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的下顶点为 ，过点 作两条互相垂直的直线 ，这两条直线与椭圆 的另一个交点分别为M，N，设直线 的斜率为 的面积为 ，当 时，求 的取值范围．
【变式8-1】已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ，且 ．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 ， ， 与 交于 ， 两点， 与 交于 ， 两点，设线段 的中
点为 ，线段 的中点为 ，求 面积的最小值．
【变式8-2】已知抛物线 的顶点在原点，焦点为 ，过焦点且斜率为 的直线交抛物线于 两点，
(1)求抛物线方程；
(2)若 ，求 的值；
(3)过点 作两条互相垂直的直线分别交抛物线 于 四点，且 分别为线段 的中点，
求 的面积最小值．
1．已知椭圆 ，离心率为 ，点 在椭圆上．
(1)求E的方程；
(2)过点 作互相垂直的两条直线 与 ，设 交E于A，B两点， 交E于C，D两点，AB，CD的中
点分别为M，N．探究： 与 的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理
由．2．已知椭圆 过点 ，点 是椭圆 的右焦点，且 .过点 作两条互
相垂直的弦 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 ， 的斜率都存在，设线段 ， 的中点分别为 ， .求点 到直线 的距离的最
大值.
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 的两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 两点和 两点，设 的中点分别为 ，求
面积的最大值．
4．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，若_____，
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答．
①四点 、 、 、 中，恰有三点在椭圆 上；
②椭圆 经过点 ， 与 轴垂直，且 ．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.(1)求椭圆 的离心率；
(2)设 是椭圆 的上顶点，过 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 、 两点，过点 作线段
的垂线，垂足为 ，判断在 轴上是否存在定点 ，使得 的长度为定值？并证明你的结论.
5．已知椭圆 的左顶点为 ，过 作两条互相垂直的直线 且分别与椭圆 交于 两点
（异于 点），设直线 的斜率为 ， 为坐标原点.
(1)用 表示点 的坐标；
(2)求证：直线 过定点；
(3)求 的面积的取值范围.
6．在平面直角坐标系．xOy中，设 ， 两点的坐标分别为 ， ．直线 ， 相交于点
M，且它们的斜率之积是 ．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)记动点M的轨迹为曲线E，过 作两条互相垂直的直线 ， ， 与曲线E交于A、B两点， 与曲
线E交于C、D两点，求 的最大值．
7．（2024·高三·江苏镇江·期末）已知椭圆 的右焦点 ，离心率为 ，过 作两
条互相垂直的弦 ，设 的中点分别为 ．(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦 的斜率均存在，求 面积的最大值．
8．在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 ，直线 与 交于A，B两点，直线 与 交于D，E两点，
的最小值；
(3) 为曲线 上一点，且 的横坐标大于4．过 作圆 的两条切线，分别交 轴于点 、
，求三角形 面积的取值范围.
9．已知点P是曲线C上任意一点，点P到点 的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线 ， 分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两
点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过抛物线 上一点 作两条互相垂直的弦 和 ，试问直线 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
11．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知椭圆 ，其左、右焦点分别为F，F，离心率
1 2
，点P为该椭圆上一点，且 FPF 的面积的最大值为 .
1 2
△
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的上顶点B作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点D、E，求线段DE长度的最大值.
12．（2024·新疆·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G的准线方程为 .
(1)求抛物线G的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线 和 ， 与抛物线交于P，Q两点， 与抛物线交于C，D两
点，M，N分别是线段PQ，CD的中点，求△FMN面积的最小值.
13．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线 ，点F为其焦点，P为T上的动点，若|PF|
的最小值为1.
(1)求抛物线T的方程；
(2)过x轴上一动点 作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点 和C，D，点H，K
分别为 的中点，求△EHK面积的最小值.14．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知 ， 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与椭圆
相交于A，B两点， 与椭圆 相交于C，D两点．
(1)求直线 的斜率k的取值范围；
(2)若线段 ， 的中点分别为M，N，证明直线 经过一个定点，并求出此定点的坐标．
