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第十三章 轴对称（知识归纳+题型突破）
1.会判断轴对称图形，能画出轴对称图形．
2.理解垂直平分线的性质和判定．
3.理解等腰三角形和等边三角形的性质和判定．
一 、轴对称
轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于
这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也
叫做轴对称．
二 、轴对称图形
轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称
图形.这条直线就是它的对称轴.（对称轴必须是直线）
轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的
垂直平分线.类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.连接任意一对对应
点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.
画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：
找到关键点，画出关键点的对应点，
按照原图顺序依次连接各点.
用坐标表示轴对称
1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；
2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x， y）；
三、 线段的垂直平分线
概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）
性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
四、等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上
的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
五、等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
题型一 轴对称图形的识别
例题：12月2日是全国交通安全日，你认为下列交通标志不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．下列图形是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．下列2022年北京冬季奥运会体育图标中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．
题型三 轴对称中折叠问题
例题：如图，长方形纸片 中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片 沿EF翻折至同一
平面后，点A，D分别落在点G，H处．若 ，则∠DFE的度数是（ ）
A．75° B．76° C．77° D．78°
【变式训练】
1．如图1，将长方形纸片 沿着 翻折，使得点 ， 分别落在点 ， 位置．如图2，在第一次
翻折的基础上再次将纸片沿着 翻折，使得点 恰好落在 延长线上的点 处．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，试用含 的式子表示 ，并说明理由．2．如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点 '处，BC为折痕．
(1)如图1，若∠1＝25°，求∠ BD的度数；
(2)如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与B 重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．
题型四 线段的垂直平分线的性质
例题：如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为20，△ABC的周
长为32，则BE＝_______．
【变式训练】
1．已知，如图 中， ，边 、 的垂直平分线分别交 于 、 ，交 、 于 、
，连接 与 ，则 的周长＝______．
2．如图，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，
F，AE＝8，AC＝5，则BE的值为______．题型五 线段的垂直平分线的判定
例题：如图，已知 ，点P为 的平分线上一点， ， ，垂足分别为E、F
(1)求证∶
(2)若 ，求证：点P在 的垂直平分线上．
【变式训练】
1．如图， 为 平分线上一点， 于 ， 于 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 垂直平分 ．2．如图， 是 的角平分线， 分别是 和 的高．
(1)求证： 垂直平分 ；
(2)若 的面积是4，则 ．
题型六 坐标与图形变换——轴对称
例题：（2021·山东·单县湖西学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标
分别是 ， ， ．画出 关于x轴对称的 ，并写出点 、 的坐标．
【变式训练】
1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶
点均在格点上．(1)写出点A、B、C的坐标；
(2)写出△ABC关于x轴对称的 的顶点 、 、 的坐标；
(3)求 ．
2．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，
2）． △
(1)在图中作出 ABC关于x轴的对称图形 ．
△ △
(2)请直接写出点C关于y轴的对称点 的坐标： ．
(3)求 ABC的面积．
(4)在△x轴上画出点P，使QA＋QC最小．题型七 等腰三角形的定义
例题：等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．7或8
【变式训练】
1．在等腰 ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A．40° △ B．55° C．65° D．70°
2．已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（ ）
A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对
题型八 根据等腰三角形中三线合一求解
例题：如图， 中， ， 于点D， ，若 ，则 的度数为
_____．
【变式训练】
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DF
AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝ ，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD
的垂线，垂足为E，则CD DE＝_______．题型九 等腰三角形的性质与判定
例题：如图，已知在四边形ABCD中，AD BC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．
(1)求证：BD＝BC；
(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．
【变式训练】
1．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
(1)求证：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．2．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作
∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °；
(2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由；
(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．
题型十 等边三角形的性质与判定
例题：如图， 是 上一点，点 ， 分别在 两侧， ，且 ， ．
(1)求证 ；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．如图，在 ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__．
△2．如图，点O是等边 ABC内一点，D是 ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α， BOC≌△ADC，
∠OCD＝60°，连接OD△． △ △
(1)求证： OCD是等边三角形；
(2)当α＝1△50°时，试判断 AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时△， AOD是等腰三角形．
△
