第十九章一次函数（知识归纳+11题型突破）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第十九章 一次函数（知识归纳+11 题型突破） 1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图 象数形结合地分析简单的函数关系. 2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用 这些函数分析和解决简单实际问题. 3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习 过的方程（组）及不等式等内容的再认识. 4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力. 知识点一、函数的相关概念 x y x y 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定 x y x 的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数. y x x a y b b a 是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 知识点二、一次函数的相关概念 y kxb k b k b y kxb 一次函数的一般形式为 ，其中 、 是常数， ≠0.特别地，当 ＝0时，一次函数 y kx k 即 （ ≠0），是正比例函数. 知识点三、一次函数的图象及性质 1.函数的图象 如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是 这个函数的图象. y kxb y kx b b 要点诠释：直线 可以看作由直线 平移| |个单位长度而得到（当 ＞0时，向上平移；b y kxb y kx 当 ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数 与函数 的图象之间可以相互转化. 2.一次函数性质及图象特征 掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质） k b ykxb 要点诠释：理解 、 对一次函数 的图象和性质的影响： k y kxb  b y （1） 决定直线 从左向右的趋势（及倾斜角 的大小——倾斜程度）， 决定它与 轴交点的 k b ykxb 位置， 、 一起决定直线 经过的象限． l y k xb l y k xb （2）两条直线 1： 1 1和 2： 2 2的位置关系可由其系数确定： k k l l k k b b l l k k b b l l 1 2  1与 2相交； 1 2，且 1 2  1与 2平行； 1 2，且 1 2  1与 2重合； （3）直线与一次函数图象的联系与区别 xa y b 一次函数的图象是一条直线；特殊的直线 、直线 不是一次函数的图象. 知识点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于x、 y 的一元一次 确定直线 y axb与 x轴 x为何值时，函数 y axb的 方程axb＝0（a≠0） （即直线 y ＝0）交点的横坐 值为0？ 的解 标 求关于x、 y 的二元一次 ya xb， x为何值时，函数 y a xb 确定直线 y a xb 与直线 1 1 1 1 1 1 方 程 组  的 ya xb． 与函数y a xb 的值相等？ y a xb 的交点的坐标 2 2 2 2 2 2 解． 求关于 x 的一元一次不等 确定直线 y axb在 x轴 x为何值时，函数 y axb的 式axb＞0（a≠0）的 （即直线 y ＝0）上方部分的 值大于0？ 解集 所有点的横坐标的范围 【题型一 对函数概念的理解】 例题：（2023上·浙江·八年级专题练习）下列图象中，y不是x的函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022下·广东广州·八年级广州市第七十五中学校考期中）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023上·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 【题型二 用表格/表达式/图象表示变量之间的关系】例题：（2023上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通 话费每分钟 元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟 元）两种，设A套餐每月话费为 （元）， B套餐每月话费 （元），月通话时间为x分钟． (1)直接写出 与x， 与x的函数关系式； (2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？ (3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？ 【变式训练】 1．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂 物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 2 2 弹簧长度y/cm 18 20 24 28 2 6 (1)当所挂重物为 时，弹簧有多长？不挂重物呢？ (2)请写出弹簧长度y与所挂物体质量x之间的函数关系式；当重物为 时（在弹簧的允许范围内），你 能说出此时弹簧的长度吗？ 2．（2022下·福建漳州·七年级福建省诏安县第二实验中学校考期中）如图，是骆驼的体温随时间变化而变 化的的关系图，据图回答下列问题：(1)一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？ (2)从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？ (3)在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？ (4)A点表示的是什么？ 3．（2023上·河南焦作·八年级统考期中）新学期，两摞规格相同准备发放的课本整齐地叠放在讲台上，请 根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： (1)若 （本）表示课本数， 表示整齐叠放在桌面上的课本距离地面的高度，则 是 的一次函数， 请求出 关于 的函数表达式； (2)桌面上有55本与题（1）中相同的课本，整齐叠放成一摞，求这些数学课本距离地面的高度； (3)小马说：如果把我班60名学生的这种课本整齐叠成一摞放在地面上，则它离地面有 高．你认为 小马的说法正确吗？请说明理由． 4．（2023下·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v （千米/时）随时间t（分钟）的变化示意图，请根据图象回答下列问题：(1)汽车匀速行驶了______分钟，时速是______千米/时； (2)汽车在行驶途中在哪段时间停车休息？休息了多长时间？ (3)若司机从第28分钟开始先匀速行驶8分钟后，立即减速行驶2分钟，至停止．请你按照以上叙述在途中 补画出从第28分钟以后汽车的速度与行驶时间的关系图． 【题型三 判别是否一次函数】 例题：（2024上·甘肃兰州·八年级统考期末）下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，是一次函数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2023上·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考阶段练习）函数（1） （2） （3） （4） （5） 中一次函数有 （ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2023上·全国·八年级专题练习）函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ． 是一次函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型四 根据一次函数的定义求参数的值】 例题：（2023上·浙江·八年级期末）若函数 是一次函数，则m的值为 ．【变式训练】 1．（2024·全国·八年级假期作业）已知函数 是关于 的一次函数，则 ，若该函 数是正比例函数，则 ， ． 2．（2022上·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期末）已知函数 是关于x的一 次函数，则 ． 【题型五 画一次函数的图象】 例题：（2023上·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知函数 ． (1)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (2)结合所画图象，分别求出在函数图象上满足下列条件的点的坐标： ①横坐标是 ； ②和 轴的距离是2个单位长度． 【变式训练】 1．（2023上·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）已知，一次函数 的图像分别 与 轴， 轴交于点A，B．(1)请直接写出 两点坐标：A：__________，B：__________； (2)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； (3)点 是一次函数 上一动点，则 的最小值为___________． 2．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）已知函数 回答下列问题： (1)画出函数 的图象；当 _________时， ． (2)设直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，求出 的面积． (3)直线 上是否存在一点 （ 与 不重合），使 的面积等于8？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型六 一次函数的图象和性质】 例题：（2023上·广东深圳·八年级校考期中）下列关于函数 的结论中，错误的是（ ） A．图象经过点 B．点 ， 在该函数图象上，若 ，则 C．将函数图象向下平移2个单位长度后，经过点 D．图象不经过第四象限 【变式训练】 1．（2023下·广西南宁·八年级校考阶段练习）对于一次函数 ，下列说法正确的是（ ） A．图象不经过第三象限 B．当 时， C．图象由直线 向上平移2个单位长度得到 D．图象与x轴交于点 2．（2023上·安徽六安·八年级校考阶段练习）一次函数 ，下列结论错误的是（ ） A．若两点A( )，B( )在该函数图象上，且 ，则 B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向下平移4个单位长度得到 的图象 D．函数的图象与 轴的交点坐标是 【题型七 根据一次函数经过的象限求参数问题】 例题：（2023上·山东青岛·八年级统考期中）一次函数 的图象不经过第 象限． 【变式训练】1．（2023上·内蒙古包头·八年级校考期中）一次函数 的图象不经过第三象限，则m的取值 范围是 ． 2．（2024上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期末）已知直线 经过第二、四象限，则直 线 不经过第 象限． 【题型八 根据一次函数的增减性求参数问题】 例题：（2024上·陕西西安·八年级统考期末）在一次函数 中， 随 的增大而减小，则m的值可 以是 ．（写出一个即可） 【变式训练】 1．（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）一次函数 中，若y随x的增大而增大，则m 的取值范围是 ． 2．（2024上·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）若一次函数 的函数值随x的 增大而增大，且函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是 【题型九 一次函数的图象与坐标轴的交点问题】 例题：（2023上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）函数 的图象与 轴的交点是 ． 【变式训练】 1．（2023上·海南海口·九年级海南中学校考阶段练习）一次函数 与 轴交点的坐标为 ， 与 轴交点的坐标为 ． 2．（2023上·福建福州·八年级福建省福州格致中学校考期中）直线 与x轴的交点坐标是 ； 与y轴的交点坐标是 ；与坐标轴围成的三角形面积为 ． 【题型十 用待定系数法求一次函数的表达式】 例题：（2023上·江苏扬州·八年级扬州教育学院附中校考阶段练习）已知一次函数 ．当 时， ；当 时 ．(1)求该一次函数的表达式； (2)当 时，求x的值． 【变式训练】 1．（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）已知一次函数 的图象与直线 平行，且 与 轴交于点 ，求该一次函数的表达式． 2．（2024上·陕西榆林·八年级校考期末）如图，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ， 且经过点 ． (1)求一次函数的表达式． (2)求 的长． 3．（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）已知 与 成正比例，当 时， ． (1)求y与x之间的关系式； (2)求（1）中的函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．【题型十一 一次函数与三角形的面积问题】 例题：（2023春·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期末）如图，已知函数 的图象与 轴交于点 ，一次函数 的图象经过点 ，与 轴以及 的图象分别交于点 、 ，且点 的横 坐标为1． (1)点 的坐标是______直线 的解析式是_______ (2)连接 ，求 的面积． (3)点 是直线 上一点（不与点 重合），设点 的横坐标为 ， 的面积为 ，请直接写出 与 之间的关系式． 【变式训练】 1．（2023秋·陕西西安·八年级校考期末）已知一次函数 与 的图像都过点 ， 且与y轴分别交于点B，C． (1)求m，n的值； (2)求 的面积． 2．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）已知，一次函数 的图像与x轴、y轴分 别相交于A、B两点，点P的坐标为 ． (1)若一次函数 的图像经过点P，求m的值； (2)若点P在x轴上，求 的面积．3．（2022秋·山东东营·七年级统考期末）已知某一次函数的图象经过点 ，且与正比例函数 的图象相交于点 ，求： (1) 的值； (2)一次函数y与x的函数解析式； (3)这两个函数图象与 轴所围成的三角形 的面积．