文档内容
重难点突破 17 圆锥曲线中参数范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：弦长最值问题........................................................................................................................2
题型二：三角形面积最值问题............................................................................................................4
题型三：四边形面积最值问题............................................................................................................6
题型四：弦长的取值范围问题............................................................................................................7
题型五：三角形面积的取值范围问题................................................................................................8
题型六：四边形面积的取值范围问题..............................................................................................10
题型七：向量数量积的取值范围问题..............................................................................................10
题型八：参数的取值范围..................................................................................................................12
03 过关测试.........................................................................................................................................141、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．
求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求参数范围问题的常用方法
构建所求几何量的含参一元函数，形如 ，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即
所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数” ；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非
常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在
或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
题型一：弦长最值问题
【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，上､
下顶点分别为 ，四边形 的面积为 且有一个内角为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若以线段 为直径的圆与椭圆 无公共点，过点 的直线与椭圆 交于 两点（点 在点 的
上方），线段 上存在点 ，使得 ，求 的最小值.【典例1-2】过点 的直线 与椭圆 交于点A和B，且 ．点 ，若O为
坐标原点，求 的最小值．
【变式1-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别是 ，双曲线 的顶
点恰好是 、 ，且一条渐近线是 ．
(1)求 的方程：
(2)若 上任意一点 （异于顶点），作直线 交 于 ，作直线 交 于 ，求 的最
小值．
【变式1-2】已知曲线 ： .
(1)若曲线 为双曲线，且渐近线方程为 ，求曲线 的离心率；
(2)若曲线 为椭圆，且 在曲线 上.过原点且斜率存在的直线 和直线 （ 与 不重合）与椭圆
分别交于 ， 两点和 ， 两点，且点 满足到直线 和 的距离都等于 ，求直线 和 的斜率
之积；
(3)若 ，过点A(0,−1)的直线与直线 交于点 ，与椭圆交于 ，点 关于原点的对称点为 ，
直线 交直线 交于点 ，求 的最小值.【变式1-3】（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且
，过点 作两条直线 ，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
(1)求 的方程；
(2)若 的面积为 ，求 的方程；
(3)若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
题型二：三角形面积最值问题
【典例2-1】已知椭圆C： ＝1（ ）的右焦点F的坐标为 ，且椭圆上任意一点到两点
的距离之和为4.
(1)求椭圆C的标准方程
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为 ，试问 的面积是否
存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【典例2-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，
下顶点所围成的三角形面积为 ．
(1)求 的方程．
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ．
（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 面积的最大值．【变式2-1】（2024·广东珠海·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，且
，点 在椭圆 上，直线 ．
(1)若直线 与椭圆 有两个公共点，求实数 的取值范围；
(2)当 时，记直线 与 轴， 轴分别交于 两点， 为椭圆 上两动点，求 的最大
值．
【变式2-2】点A，B分别是椭圆 的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点（不与右端点
重合），P的横坐标非负， 的中点是M，当P位于下顶点时 的面积为1，椭圆离心率为 .
(1)求椭圆方程；
(2)记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最小值.
【变式2-3】已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 的左，右焦点与短轴两个端点构成
的四边形面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两点，过点 作 轴的垂线交椭圆 交于
另一点 ，求 面积的最大值.题型三：四边形面积最值问题
【典例3-1】记椭圆 的左，右顶点和左，右焦点分别为 ， ， ， ，P是E上除左右顶
点外一点，记P在E处的切线为l，作直线 交l于点 ，作直线 交l于点 ，记直线
与 的交点为Q．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)求 ；
(3)求四边形 面积的最大值．附：椭圆 在点 处的切线为 （P
在椭圆上）．
【典例3-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，长
轴长为 ，焦距长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知点A(0,3)，点 为椭圆 上一点，求 周长的最大值；
(3)直线 与椭圆 交于 两点，且 关于原点的对称点分别为 ，若
是一个与 无关的常数，则当四边形 面积最大时，求直线 的方程.
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xoy中，动圆M与圆 外切，同时与圆
内切，记圆心M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为 ；
（i）求证：P，O，Q三点共线；
（ii）若 ，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值．【变式3-2】（2024·江苏镇江·三模）如图，椭圆C： ( )的中心在原点 ，右焦点 ，椭
圆与 轴交于 两点，椭圆离心率为 ，直线 与椭圆C交于点 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是椭圆C弧 上动点，当四边形 的面积最大时，求P点坐标.
题型四：弦长的取值范围问题
【典例4-1】已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分
别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同
侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时， PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
△
(2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程;
(3)求 的取值范围.
【典例4-2】（2024·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C： 上一点，O为坐标原点，线段OP的垂
直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线 与圆 的交点，求a；(2)求 的取值范围．
【变式4-1】（2024·高三·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线 ： 的一个焦点与抛
物线 ： 的焦点 重合，且 被 的准线 截得的弦长为 .
(1)求 的方程；
(2)若过 的直线与 的上支交于 ， 两点，设 为坐标原点，求 的取值范围.
题型五：三角形面积的取值范围问题
【典例5-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，离心
率为 ，且经过点 .
(1)求 的方程；
(2)过 且不垂直于坐标轴的直线 交 于 两点，点 为 的中点，记 的面积为 的
面积为 ，求 的取值范围.
【典例5-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线 ： 的离心率为2，点 在
上， 、 为双曲线的下、上顶点， 为 上支上的动点（点 与 不重合），直线 和直线 交于
点 ，直线 交 的上支于点 .
(1)求 的方程；
(2)探究直线 是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；(3)设 ， 分别为 和 的外接圆面积，求 的取值范围
【变式5-1】（2024·重庆·三模）设圆D： 与抛物线C： 交于E，F两点，
已知
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l： 与抛物线C交于A，B两点 点A在第一象限 ，动点 异于点A， 在抛物
线C上，连接MB，过点A作 交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线
l的左边时，求：
①点P的轨迹方程；
② 面积的取值范围.
【变式5-2】（2024·福建福州·模拟预测）在直角坐标系 中，已知抛物线C： 的焦点为
F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时， .
(1)求C的方程；
(2)设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点），线段MN的中点为R，若 ，求
面积的取值范围.
题型六：四边形面积的取值范围问题
【典例6-1】（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线
的距离之比为 ，记 的轨迹为曲线 ，直线 交 右支于 ， 两点，直线 交 右支于 ， 两点，
．
(1)求 的标准方程；
(2)证明： ；(3)若直线 过点 ，直线 过点 ，记 ， 的中点分别为 ， ，过点 作 两条渐近线的垂线，
垂足分别为 ， ，求四边形 面积的取值范围．
【典例6-2】（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线 ，点 、 分别为双曲线的左、右焦点，
A(x ,y )、B(x ,y )为双曲线上的点.
1 1 2 2
(1)求右焦点 到双曲线的渐近线的距离；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)若 ，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形 的面积
的取值范围.
题型七：向量数量积的取值范围问题
【典例7-1】椭圆的中心在原点，其左焦点 与抛物线 的焦点重合，过 的直线 与椭圆交于 、
两点，与抛物线交于 、 两点．当直线 与 轴垂直时， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 的最大值和最小值．
【典例7-2】（2024·福建厦门·二模）已知 ， ， 为平面上的一个动点.设直线 的斜
率分别为 ， ，且满足 .记 的轨迹为曲线 .
(1)求 的轨迹方程；
(2)直线 ， 分别交动直线 于点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 . 是否存在最大值？
若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点 与点 ，过
点 的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线 ， 分别交直线 于E，F两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线C上动点 到定点 与定直线
的距离之比为常数 ．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为 的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求 的最小
值，并求此时圆T的方程．
【变式7-3】已知椭圆 经过点 ， 为右焦点， 为右顶点，且满足
（ 为椭圆的离心率， 为坐标原点）
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 且斜率存在的直线 交椭圆 于 、 两点，记 ，若 的最大值和最小值分别为
、 ，求 的值．题型八：参数的取值范围
【典例8-1】如图，已知抛物线 的方程为 ，焦点为 ，过抛物线内一点 作抛物线准线的
垂线，垂足为 ，与抛物线交于点 ，已知 ， ， .
(1)求 的值；
(2)斜率为 的直线过点 ，且与曲线 交于不同的两点 ， ，若存在 ，使得
，求实数 的取值范围.
【典例8-2】（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C： 过定点 ，过点 的两条动直
线交椭圆于 ，直线 的倾斜角互补， 为椭圆C的右焦点.
(1)设 是椭圆 的动点，过点 作直线 的垂线 为垂足，求 .
(2)在 中，记 ，若直线AB的斜率为 ，求 的最大值.
【变式8-1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ， 分别为椭圆 的左、右顶点， 分别为椭圆 的上、下顶点，四边形 的面积为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且斜率不为 的直线 与椭圆 相交于 两点，直线 与 的交点为 ．
①若直线 的倾斜角为 ，求线段 的长度；
②试问 是否有最大值？如果有，求出 的最大值；如果没有，说明理由．
【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，且 在抛
物线 的准线上，点 是 上的一个动点， 面积的最大值为 .
(1)求 的方程；
(2)设经过 右焦点 且斜率不为0的直线交 于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，
求 的取值范围.
【变式8-3】已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率 ．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点，设点 是线段OF上的一个
动点，且 ，求m的取值范围．1．已知椭圆 的离心率 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 是坐标原点，求 面积的最大值.
2．（2024·新疆·三模）已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过抛
物线 ： 焦点的直线交抛物线于M，N两点， 的最小值为4.连接 ， 并延长分别交
于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限， 与 的面积分别记为 ，
.
(1)求 和 的方程；
(2)记 ，求 的最小值.
3．（2024·四川自贡·三模）已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 、 ，上、下顶点分
别为 、 ，四边形 的面积为 且 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 的直线与椭圆E相交于两点P、Q（P在Q上方），线段 上存在点M使得 ，
求 的最小值.4．在平面直角坐标系 中，已知椭圆E： 的离心率为 ，右焦点F到椭圆E上任意
一点的最小距离为1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接
， 交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设 ， ，求 的最大值．
5．（2024·江苏南京·二模）已知椭圆 ： 的左、右焦点别为 ， ，离心率为 ，
过点 的动直线 交 于 ， 两点，点 在 轴上方，且 不与 轴垂直， 的周长为 ，直线
与 交于另一点 ，直线 与 交于另一点 ，点 为椭圆 的下顶点，如图.
(1)求 的方程：
(2)若过 作 ，垂足为 .
（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 的最大值.
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知平面直角坐标系 中，椭圆 与双曲线
．
(1)若 的长轴长为8，短轴长为4，直线 与 有唯一的公共点 ，过 且与 垂直的直线分别交 轴， 轴于点 两点，当 运动时，求点 的轨迹方程；
(2)若 的长轴长为4，短轴长为2，过 的左焦点 作直线 与 相交于 两点（ 在 轴上方），分别
过 作 的切线，两切线交于点 ，求 面积的最小值．
7．（2024·辽宁·模拟预测）动点M到定点 的距离与它到直线 的距离之比为 ，记点M
的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)设A，B为 的左右顶点，点 ，点M关于x轴的对称点为 ，经过点M的直线与直线 相交
于点N，直线BM与BN的斜率之积为 ．记 和 的面积分别为 ， ，求 的最大值．
8．（2024·江西新余·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，经过 的直线 与
交于不重合的 两点.
(1)若 的离心率为2，求证：对于给定的 或 ，以 为直径的圆经过 轴上一定点.
(2)若 ， 为 轴上一点，四边形 为平行四边形，求其面积的最小值.
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平
分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.10．（2024·山东济南·二模）已知点 是双曲线 上一点， 在点 处的切线与 轴交于
点 .
(1)求双曲线 的方程及点 的坐标；
(2)过 且斜率非负的直线与 的左､右支分别交于 .过 做 垂直于 轴交 于 （当 位于左顶点
时认为 与 重合）. 为圆 上任意一点，求四边形 的面积 的最小值.
11．（2024·上海·模拟预测）已知点 在双曲线 的一条渐近线上， 为双曲线的左、
右焦点且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 恰有一个公共点，求直线 的方程；
(3)过点 的直线 与双曲线左右两支分别交于点 ，求证： .
12．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， 为动点，
满足 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知过点 的直线 与曲线 交于两点 ， ，连接 ， .
（ⅰ）记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
（ⅱ）直线 ， 与直线 分别交于 ， 两点，求 的最小值.13．（2024·山东日照·三模）已知双曲线 的中心为坐标原点，右顶点为 ，离心率为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线 交双曲线右支于 ， 两点，交 轴于点 ，且 ， .
（i）求证： 为定值；
（ii）记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，若 ，当 时，求实数
的范围.
14．已知双曲线 ： （ ）与双曲线 有相同的渐近线.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知点 ，点 ， 在双曲线 的左支上，满足 ，证明：直线 过定点；
(3)在（2）的条件下，求点 到直线 距离的最大值.
15．（2024·安徽·三模）已知双曲线 的离心率为2，动直线 与 的
左､右两支分别交于点 ，且当 时， （ 为坐标原点）.
(1)求 的方程；
(2)若点 到 的距离为 的左､右顶点分别为 ，记直线 的斜率分别为 ，求
的最小值
16．（2024·浙江宁波·二模）已知双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于
两点（ 在第一象限），与 轴交于点 .设直线 的倾斜角分别为 .(1)若 ，
（i）若 ，求 ；
（ii）求证： 为定值；
(2)若 ，直线 与 轴交于点 ，求 与 的外接圆半径之比的最大值.
17．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 与曲线 有4个交点
（按逆时针排列）
(1)当 时，判断四边形 的形状；
(2)设 为坐标原点，证明： 为定值；
(3)求四边形 面积的最大值．
附：若方程 有4个实根 ， ， ， ，则 ，
．
