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重难点突破17 圆锥曲线中参数范围与最值问题
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1、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．
求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
2、求参数范围问题的常用方法
构建所求几何量的含参一元函数，形如 ，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即
所求几何量的范围，常见的函数有：
（1）二次函数；（2）“对勾函数” ；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非
常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系．
③利用基本不等式求出参数的取值范围．
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
题型一：弦长最值问题
例1．（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知圆 的任意一条切线l与椭圆
都有两个不同交点A，B（O是坐标原点）
（1）求圆O半径r的取值范围；
（2）是否存在圆O，使得 恒成立？若存在，求出圆O的方程及 的最大值；若不存在，
说明理由.
【解析】（1）当 时，圆 在椭圆内部，切点在椭圆内，圆的每一条切线都过椭圆内部的点，切线
与椭圆总有两个不同交点，满足题意；当 时，圆的切线 和 都和椭圆最多只有一个公共点，
不满足题意；
故 的取值范围是 .
（2）当圆的切线的斜率存在时，设圆的切线为 ，设 ，由 消去 得：
，则 ， ，则
，由 得 ，即 ， ，又由 与圆
相切得 ，即 ，解得 ，此时圆 的方程为 .
当切线斜率不存在时，上述圆的切线为 或 ，这两条切线与椭圆的交点为 ，
或 ， ，也满足 ，故满足条件的圆 存在，其方程为
.
当切线斜率存在且不等于 时，因为
，当且仅当 时取等号；当切线斜率不存在或等于 时， ，则 ，又 ，故 ，则
.
例2．（2023·河北·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点A在 轴上滑动，点B在 轴上滑动，
A、B两点间距离为 ．点P满足 ，且点P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设M，N是C上的不同两点，直线MN斜率存在且与曲线 相切，若点F为 ，那么
的周长是否有最大值．若有，求出这个最大值，若没有，请说明理由．
【解析】（1）设点 坐标为 ，点 , 的坐标分别为 , ．
由题意 ，得
则 ， ，
又因为 、 两点间距离为 ，则
整理得点 的轨迹为椭圆，其方程 ： ．
（2）因为直线 的斜率存在，设 ， ，
设直线 ： ，因为 ， 是椭圆 上的不同两点，所以
由直线 与曲线 相切可得 ，得 ，
联立 可得 ，
所以 ， ，
所以
，
∵ ，同理
所以 的周长
当 时， 的周长
当 时， 的周长 ，
（法一）由
设 ，则 ， ，
当 ，即 时， 最大值为 ．
此时， ，所以 ，即 或 ，
此时直线 ： 或 ，
所以 的周长最大值为 ．
（法二）
当 ，即 时，等号成立，则 或 ，
此时直线 ： 或 ，所以 的周长最大值为 ．
例3．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）在椭圆 ）中，
，过点 与 的直线的斜率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为椭圆 的右焦点， 为直线 上任意一点，过 作 的垂线交椭圆 于 两点，求
的最大值.
【解析】（1）过点 与 的直线的斜率为 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程是 .
（2）由题知 ，作出图形如图所示
设点 ，则直线 的斜率为 .
当 时，直线 的斜率 ，直线 的方程是 ；
当 时，直线 的方程是 ，也符合 的形式，
将直线 的方程 代入椭圆 方程得
，且 ，
设 ，则 .
所以又 ，令 ，则
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
由 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，过 的
左焦点 的直线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)过点 作直线 的垂线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．求
的最大值．
【解析】（1）证明：设 、 ，因为椭圆 的焦距为 ，所以 ，解得 ．
又因为椭圆 的离心率 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
因为直线 经过 、 ， ，
所以，直线 的方程为 ，
设点 、 ，联立 可得 ，
由 ，得 ， .
所以 ，
，
因此， .（2）证明：若直线 、 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线 平行，不合乎
题意，
所以，直线 的斜率存在且不为零，设直线 方程为 ，
则直线 方程为 ，其中 ．
联立 可得 ，
设 、 ，则 ，
由韦达定理可得 ， ，
易知 且 ，将 代入直线 的方程可得 ，即点 ，
所以
，
同理可得 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最大值为 .
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为 ，
直线 与椭圆 交于 ， 两点.
(1)求椭圆的 的标准方程；
(2)若直线 ， 的斜率分别为 ， ，且 ，求 的最小值.【解析】（1）由题知，椭圆 的离心率为 ，左顶点为 ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）由（1）得， ，
因为直线 与椭圆 交于 ， 两点，
由题可知，直线 斜率为0时， ，
所以直线 的斜率不为0，
所以设直线 ，
联立方程 ，得 ，
所以 ，
，
所以
，解得 ，
此时 恒成立，
所以直线 的方程为直线 ，直线 过定点 ，
此时 ，所以
，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为3.
变式3．（2023·江西南昌·统考一模）已知双曲线 （b＞a＞0），O为坐标原点，离心率 ，
点 在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线 与双曲线交于P、Q两点，且 .求|OP|2+|OQ|2的最小值.
【解析】（1）由 ，可得 ，
∴ ，
∴ 双曲线方程为 ，
∵ 点 在双曲线上，
∴ ，
解得 ，
∴ 双曲线的方程为 ．
（2）①当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 消去 整理得 ，
∵直线 与双曲线交于 两点，
∴ ．
设 ， ，
则 ，由 得到： ，
即 ，
∴ ，
化简得 ．
∴ ，
当 时上式取等号，且方程（*）有解．
②当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ，则有 ，
由 可得 ，
可得 ，解得 .
∴ ．
∴ ．
综上可得 的最小值是24．
题型二：三角形面积最值问题
例4．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，
为椭圆上异于 、 的动点，设直线 、 的斜率分别为 、 ，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设动直线 与椭圆 相交于 、 两点， 为坐标原点，若 ， 的面积是否存在最小值？
若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）不妨设 的坐标为 ，则 ，则 ，
又 、 ，则 .
故可得 ，可得 ，故可得椭圆 的方程为 .
（2）因为 ，且 、 均为非零向量，则 .
当点 、 均为椭圆 的顶点时，则 ；
若直线 、 的斜率都存在时，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
联立 可得 ，所以， ，
同理可得 ，
此时，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
又因为 ，故当 时， 的面积存在最小值，且最小值为 .
例5．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）如图， 分别是矩形 四边的中点，
， .
(1)求直线 与直线 交点 的轨迹方程；
(2)过点 任作直线与点 的轨迹交于 两点，直线 与直线 的交点为 ，直线 与直线的交点为 ，求 面积的最小值.
【解析】（1）由已知， ， ， ，
当 时，直线 方程： ，
直线 方程： ，
联立上述两方程消去 得： ，
当 时，交点 符合上述方程，
又交点 不可能为 ，
故所求的轨迹方程为 且 .
（2）设 方程： （依题意 存在 ，
代入 得 ，
，设 ，
， ，
方程： ， 方程： ，
联立上述两方程消去得：
.
，
所以 ，其中 ，
同理直线 与直线 的交点 ，其中 ，
，
（当且仅当 时取等号），
故 的面积最小值为 ，此时直线 的方程为 .例6．（2023·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆 ．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)设点 是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为 ；
(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为 ，求△ 的面积
的最小值．
【解析】（1）椭圆 中， ，则 ，
则 ，则椭圆的离心率为
（2）当切线斜率存在时，其方程可设为 ，
由 ，整理得 ，
则 ，则
此时方程的根为 ，则切点横坐标 ，
切点纵坐标 ，
则 ， ，
则切线方程为 ，整理得 ；
当切线斜率不存在时，其切点为 或 ，
切线方程为 ，满足 .
综上，点 是椭圆C上一点时，
过点P的椭圆C的切线方程为（3）设 ， ，
则椭圆C在点 的切线方程分别为 ， ，
又 在两条切线上，则 ， ，
则直线 的方程为 ，即
由 整理得， ，
则 ，
则
，
又点M到直线 的距离 ，
则△ 的面积为
令 ，则 ， ，
则 ，
令 ， ，
则 恒成立，
则 在 上单调递增，则
当且仅当 即点M坐标为 时等号成立，
则△ 的面积的最小值为 .变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： 和圆 ： （其中原点
为圆心），过双曲线 上一点 引圆 的两条切线，切点分别为 、 ．
（1）若双曲线 上存在点 ，使得 ，求双曲线离心率 的取值范围；
（2）求直线 的方程；
（3）求三角形 面积的最大值．
【解析】（1）因为 ，所以 ，所以 ．
由 及圆的性质，可知四边形 是正方形，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
故双曲线离心率 的取值范围为 ．
（2）因为 ，
所以以点 为圆心， 为半径的圆 的方程为 ．
因为圆 与圆 两圆的公共弦所在的直线即为直线 ，
所以联立方程组 ，
消去 ， ，即得直线 的方程为 ．
（3）由（2）知，直线 的方程为 ，
所以点 到直线 的距离为 ．
因为 ，
所以三角形 的面积 ．
：因为点 在双曲线 上，
所以 ，即 ．
设 ，
所以 ．
因为 ，
所以当 时， ，当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．当 ，即 时，
，当 ，即 时， ．
综上可知，当 时， ；当 时， ．
变式5．（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知抛物线 为抛物线 上四点，
点 在 轴左侧，满足 .
(1)求抛物线 的准线方程和焦点坐标；
(2)设线段 的中点为 .证明：直线 与 轴垂直；
(3)设圆 ，若点 为圆 上动点，设 的面积为 ，求 的最大值.
【解析】（1）因为 所以 ，
所以准线是 焦点坐标是 .
（2）
设 ，由 可知， 为 中点，且点 在抛物线上，即
又
，
整理可得： ，
由 可知， 为 中点，且点 在抛物线上，
同理可得： ，
故 为方程 的两根，
D点的纵坐标为
所以直线的TD的斜率为0，即直线 与 轴垂直.
（3） ,
,
,
因为 在圆 上，所以
,
，
则当 时，
.变式6．（2023·河北·统考模拟预测）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 两
点，当直线 与 轴垂直时， （其中 为坐标原点）.
(1)求 的准线方程；
(2)若点 在第一象限，直线 的倾斜角为锐角，过点 作 的切线与 轴交于点 ，连接 交 于另一点
为 ，直线 与 轴交于点 ，求 与 面积之比的最大值.
【解析】（1）将 代入 ，则 ，
由 ，故 为等腰直角三角形，故 ，即 ，
所以 ，故准线方程为 .
（2）设 ，直线 ，联立抛物线得 ，
所以 ，则 ，故 ，
由 ，则 ，故 ，直线 ，
令 ，则 ，故 ，
设直线 ，联立抛物线得 ，
所以 ，则 ，故 ，
综上，直线 ，令 ，则 ，故 ，
由直线 的倾斜角为锐角，故 ，则 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
则 ，仅当 ，即 时等号成立，
所以 与 面积之比的最大值 .题型三：四边形面积最值问题
例7．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，直线 ，作
直线l的平行线 ，动点P满足到F的距离与到直线 的距离之和等于直线l与 之间的距离．
记动点P的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)过 作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且直线AB的倾斜角 ，
求四边形ACBD面积的最大值．
【解析】（1）过P分别作直线l， 的垂线，垂足为M，N，则由题意可得 ，即
，
则由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
则有 ， ，故E的方程为 ．
（2）由题目条件过 作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，
可知直线AB，CD的斜率互为相反数．设 ， ， ，由直线AB的倾斜角 ，且直线AB的斜率 ，
可知 ，解得 ．
联立 ,消去x可得 ，
则 ， ， ，
则
，
同理可得 ．
记直线AB，CD的夹角为 ，
则
，
又 ，
则 ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
则 ，
故四边形ACBD面积的最大值为 ．
例8．（2023·全国·高三专题练习）O为坐标原点椭圆 的左右焦点分别为 ，离
心率为 ；双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 ，已知 ，切
．
(1)求 的方程；
(2)过 作 的不垂直于y轴的弦 ，M为 的中点，当直线 与 交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）因为 ， ， ，
所以 ①
因为 ，所以 ②
由①得： ，解得： ，代入②式中，
解得： ，
所以 的方程为： ， 的方程为：
（2） ，因为直线 不垂直于y轴
所以设 方程为：
联立 得：
设 ， ，
则 ， ， ，
则 ，
因为点M在直线 上，所以 ，
直线 ：
联立 得：
解得： ，显然 ，故
当 时， ，当 时，
则 ，
， 点直线 距离分别是：
，
因为 ， 点直线 两侧，故
显然 ，所以
所以
则
则四边形 面积
当 时，四边形 面积 取得最小值，此时
此时 方程为： ，符合题意，故四边形 面积的最小值为1
例9．（2023·全国·高三专题练习）如图, 为坐标原点,椭圆 的左右焦点分别为
,离心率为 ;双曲线 的左右焦点分别为 ,离心率为 ,已知 ,且
.
(1)求 的方程;
(2)过 点作 的不垂直于 轴的弦 , 为 的中点,当直线 与 交于 两点时,求四边形
面积的最小值.【解析】(1)利用椭圆和双曲线 之间的关系可以用 分别表示双曲线和椭圆的离心率和焦点,由题目
和 即可得到 之间的两个方程,联立方程消元即可求出 的值,得到双曲线和椭圆
的标准方程.
(2)利用(1)求出焦点 的坐标,设出弦 的直线的方程 ,联立直线与椭圆消 得到关于 的一元二
次方程,再利用根与系数的关系得到 两点纵坐标之间的和与积,进而得到 点的纵坐标带入AB直线即
可得到 的横坐标,进而求出直线 的方程,即为直线 的方程,联立直线 的方程 得到 的取值范
围和求出点 的坐标得到 的长度,利用点到直线的距离得到 到直线 的距离表达式,进而用 表
示四边形的面积,利用不等式的性质和 的取值范围即可得到面积的最小值.
(1)由题可得 ,且 ,因为 ,且 ,所以
且 且 ,所以椭圆 方程为 ,
双曲线 的方程为 .
(2)由(1)可得 ,因为直线 不垂直于 轴,所以设直线 的方程为 ,联立直线与椭圆方程可
得 ,则 , ,则 ,因为 在直线 上,所以
,则直线 的方程为 ,联立直线 与双曲线可得
, 则 ,则 ,
设点 到直线 的距离为 ,则 到直线 的距离也为 ,则 ,因为 在直线
的两端,所以 ,
则 ,又因为 在直线 上,所以,
则四边形 面积
,因为 ,所以当 时,四边形 面积的最小值为 .
考点：弦长 双曲线 椭圆 最值
变式7．（2023·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 ，
，M为椭圆E的上顶点， ，点 在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过焦点 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的
面积的最小值.
【解析】（1）设 ，由 ，有 .
又由 ，有 （O为坐标原点），可得 ， ，
可得椭圆E的方程为 ，
代入点N的坐标，有 ，解得 ， ，
故椭圆E的标准方程为 ；
（2）①当直线AB的斜率不存在或为0时， 为长轴长或 ，
不妨设 ， ，
故 ；
②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB： ， ， ，
联立方程 ，消去y得 ，则 ， ，
所以
，
同理可得 ，
所以 ，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，而 ，
综上：四边形ACBD的面积的最小值为 .
变式8．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P
是椭圆C上异于左、右顶点的动点， 的最小值为2，且椭圆C的离心率为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l过 与椭圆C相交于A，B两点，A，B两点异于左、右顶点，直线 过 交椭圆C于M，N两
点， ，求四边形 面积的最小值．【解析】（1）设 ．由对称性，不妨设 ，
则 ，所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以当 时， 取得最小值 ，所以 ．
由 ，解得 ，
所以椭圆C的标准方程为 ；
（2）由题设直线l斜率存在，设 ，
由 得 ，∴ ，
所以
，
因为 ，所以 ，则 ，
所以四边形 面积：
，
，
当且仅当 时取等号，即 时， ，
当直线l的斜率不存在时， ，四边形 的面积为 ，又由 ，所以四边形 面积的最小值为 ．
变式9．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）平面内动点 与定点 的距离和它到定直线
的距离之比是 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 分别交轨迹 于点 和 ，求四边形 面积 的最小值.
【解析】（1）设 ，由题意有 且 ，
化简得 ，即 ．
（2）当其中一条直线的斜率不存在时，则 、 一条为长轴长、另一条为过 的通径长，
令 ，则 ，可得 ，故通径长为 ，而长轴长为 ，易得 ．
当 直线的斜率存在且不为0时，设直线 的斜率为 ，则直线 为 ，
，化简整理得 ，
设 ，则 ，
，
，则直线 的斜率为 ，同理 ，
，
令 ，则 ，当 ，即时等号成立，
而 ，则四边形 面积 的最小值为 .
题型四：弦长的取值范围问题
例10．（2023·河北·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心
在原点，点 在椭圆 上，且离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)动直线 交椭圆 于 ， 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ，
是线段 上一点，圆 的半径为 ，且 ，求 的范围.
【解析】（1）椭圆 的离心率为 ，则 ，解得 ，椭圆 的方程为
又点 在椭圆 上，则 ，解得
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）设 ，由 消去y并整理得： ，
显然 ，于是得 ， ，
则 ，
从而得圆 的半径 ，由 得 ，即直线 的方程为 ，由 得 ，则
，
所以
因 ，有 ，从而有 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
例11．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆 ，点 ，斜率不为0的直线 与椭圆 交于点
，与圆 相切且切点为 为 中点.
(1)求圆 的半径 的取值范围；
(2)求 的取值范围.
【解析】（1）如图所示，
由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为 （ ）， ， ，设圆N
的半径为r，
，
，
， ，所以 ，
又因为M为 的中点，所以 ，
又因为圆N与直线l相切于点M，所以 ，且 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
，解得： ，
所以 （ ），
所以 ，即 ，
所以圆N的半径r的取值范围为 .
（2）由（1）知， ，
所以 （ ），
令 ，则 （ ），
所以 ，
显然 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，
故 的取值范围为 .
例12．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解；
变式10．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解；
变式11．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
变式12．（2023·广东深圳·高三校联考期中）已知点 在运动过程中，总满足关系式：
.(1)点 的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
(2)设圆 ，直线 与圆O相切且与点 的轨迹交于不同两点 ，当 且
时，求弦长 的取值范围.
【解析】（1）由关系式 ，结合椭圆的定义，
点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆.
∴ ，
∴点M的方程为 .
（2）由题意，联立方程 ，则
设 ， ，
则 ， ,
因直线 与圆 相切，且 ，
∴ ，
，
， ①
②
将①代入② .
因为 ，所以 .变式13．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点是双曲线
的顶点， 的焦点到 的渐近线的距离为 .直线 与 相交于A，
B两点， .
(1)求证：
(2)若直线l与 相交于P，Q两点，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意得椭圆焦点坐标为 ，双曲线渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ，所以 的方程为 ，
由 ，消y得 ，
所以 得 ，
设 ， ，则 ，
所以
，
化简得 ，得证；
（2）由 消x，得 ，
所以 ，即 ，
结合 ，及 ，可得 ，设 ， ，则 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
变式14．（2023·陕西咸阳·校考三模） 已知双曲线 的离心率为 ，过双曲线
的右焦点 且垂直于 轴的直线 与双曲线交于 两点，且 .
(1)求双曲线 的标准方程;
(2)若直线 ： 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，与双曲线的渐近线分别交于 两
点，求 的取值范围.【解析】（1）由题可知， ，解得 ，所以双曲线 的标准方程为 ；
（2）由题可知，直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，
联立 消去 ，得 ，
所以 ，解得 ，
且 ，
所以
.
联立 可得 ，同理可得 ，
所以 ，
所以 ，
其中 ，则 ，所以 .
变式15．（2023·全国·高三校联考开学考试）已知双曲线 的渐近线方程为 ，
点 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 且垂直于 轴的直线与双曲线交于第一象限的点 ，且
的周长为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线的左支、右支分别交于 ， 两点，与直线 ， 分别交于P，Q两
点，求 的取值范围．【解析】（1）因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，因为点 在第一象限，所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）设 ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
所以 ，解得 ，
， ，
所以 ，
联立 ，解得 ，所以 ，
联立 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，其中 ，
因为 ，所以 ， .所以 的取值范围为 .
题型五：三角形面积的取值范围问题
例13．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知双曲线 ，其
左、右焦点分别为 、 ， 上有一点P满足 ， ．
(1)求b；
(2)过 作直线l交 于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为 时，求
的取值范围．
【解析】（1）由题意, ，
， ，
在 中,由余弦定理得 ，
，
则 ，即 ， .
（2）
双曲线 ， ，
设直线BC的方程为 ，
由 ，得 ，即 ，由题意 ， ，
设 ，则 ，
则 ，
则 ，
则 ， ，直线 的方程为 ，
由 ，得 ，由题意 ，解得 ，
设 ，则 ，
当BD与EH的夹角为 时， ，
则 ，得 ，可知 ，
所以
，
， ， ， ，
所以 ，
即 的取值范围是 ．例14．（2023·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习）椭圆 的离心率为 ，
左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，点 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 交双曲线 右支于点 ， ，点 在 上，求 面积的取值范
围.
【解析】（1）直线 方程为 ，即 ，
到直线 的距离 ，化简得 ，
又离心率 ，即 ，且 ，
解得 ， ， ，
所以 的方程为： .
（2）设直线 的方程为 ，由于 的渐近线的斜率为 ，所以 .
将 方程代入 ，化简得 .
设 ， ，则 ， ，
，
设平行于 与椭圆 相切的直线为 ，
由 得 ，
由 得 ，
直线 与 之间的较小距离 ，直线 与 之间的较大距离 ，
则 面积的较小值为 ，
面积的较大值为 ，
设 ， ， ，则 ， ， ，
∴ ， .
所以 面积的取值范围为 .
例15．（2023·浙江金华·模拟预测）P是双曲线 右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过
A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
(1)记P，Q的纵坐标分别为 ，求 的值；
(2)记 的面积分别为 ，当 时，求 的取值范围．
【解析】（1）由已知条件得： ，设PA，PB的斜率分别为 ，
则QA，QB的斜率分别为 ，
由 即有 ．由 即有
而 ，
．
（2）由于 ，
显然P，Q，B，A四点共圆，
PO为直径，PQ中点 为圆心，
又
则 ，
①，又 ②，
得： ，解得 ．
由 ，，而 ．．
因为 ，根据单调性，求得
变式16．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知 ， 为椭圆C：
的左、右顶点，且椭圆C过点 .
(1)求C的方程；
(2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），求 的取值范围.
【解析】（1）由题意得 ，把 代入 ，
解得 ，
所以C的方程为 ；.
（2）由（1）知： ， ，
①当l斜率不存在时，易知 ；
②当l斜率存在时，设l： ， ， ，
由 ，得 ，显然 ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ，因为 ，
所以 .
又 ，
设 ，则 ， ，解得 且 ，
所以 ，
因为 ，可得 的取值范围为 .
变式17．（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，以原点 为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，
设 为大圆上任意一点，连接 交小圆于点 ，设 ，过点 分别作 轴， 轴的垂线，两垂
线交于点 ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)点 分别是轨迹 上两点，且 ，求 面积的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
设 ，则 （ 是参数），消去 得 ，即曲线 的方程为 ；
（2） ，
，
当直线 或 的斜率不存在时，易得
当直线 和 的斜率都存在时，设 ，
则
由 得 ，
，
同理可得
，令
故 .
变式18．（2023·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆 的左焦点为 ，且
过点 .
(1)求C的方程；(2)不过原点O的直线 与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.
（i）求 的斜率；
（ii）求 的面积的取值范围.
【解析】（1）由题知，
椭圆C的右焦点为 ，且过点 ，
所以 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以C的方程为 .
（2）（ⅰ）由题知，直线l的斜率存在，且不为0.
设 ， ， ，
则 ，所以 ，
所以 ， ，
且 ，即 .
因为直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.
所以 ，即 ，
所以 ，且 .
因为 ，所以 ，所以 .
（ii）由（ⅰ）知 ， ，
所以 ，且 .设点O到直线PQ的距离为d，所以 .
因为 ，所以 ， ，
所以
，
又 ，且 .所以
即 的面积的取值范围 .
题型六：四边形面积的取值范围问题
例16．（2023·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知椭圆 ： （ ）左、右焦
点分别为 ， ，且 为抛物线 的焦点， 为椭圆 上一点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 ， 为椭圆 上不同两点，且都在 轴上方，满足 .
（ⅰ）若 ，求直线 的斜率；
（ⅱ）若直线 与抛物线 无交点，求四边形 面积的取值范围.
【解析】（1）依题意得 ，则 ， ，而 ，
于是 ，
从而 . 又 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）如图，设 直线交椭圆于另一点 ， 直线交椭圆于另一点 ，
由 ，故 ，由椭圆对称性， ，且四边形 为平行四边形.
（ⅰ）由题意直线 的斜率不为0，设直线 ： ，
由 ，消去 整理得 ，
设 ， ，则 ， ，由 （*）带入上式，解得： ，
故 ，由于 ， ，所以 ，
所以 ，故 的斜率为1.
（ⅱ）由 ，消去 整理得 ，由 得 .
所以 ，
与 间的距离 （即点 到 的距离），
故 ，
令 ，函数 在区间 上单调递增，
所以 ，
则 ，
所以四边形 的面积的取值范围为 .
例17．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，点
在椭圆上.直线 与椭圆交于 两点.且 ，其中 为坐标原点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过原点的直线 与椭圆 交于 两点，且过 的中点 .求四边形 面积的取值范围.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为 ，由题意可得： ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）当直线 斜率存在时，设其方程为 ， ， ，
联立 ，可得 ，
可得 ①，且 ②， ③
若以 为直径的圆过原点，则 ，
整理得 ，
代入②③两式得 ，整理得 ④，
将④式代入①式，得 恒成立，则 ，
由题意可设 ，所以 ，
因为 ，
且点 到直线 的距离 ，
可得 ，
又因为 ，则 点坐标为 ，
化简可得 ，
代入椭圆方程可得 ，整理得 ，则 ，
因为 ，则 ，
所以 ；
当直线 斜率不存在时，设 ， ，
则 ，且 ，解得 ，
可知 方程为 ，
因为直线 过 中点，即为 轴，
可知 ， ， ，
综上所述：四边形 面积的取值范围为 .
例18．（2023·全国·模拟预测）设椭圆 的左焦点为F，上顶点为P，离心率为 ，
O是坐标原点，且 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线，分别与C交于A，B，M，N四点，求四边形 面积的取值范围.
【解析】（1）设椭圆 的焦距为 ，则 ，所以
因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，即
所以
所以（2）当 ， 中有一条斜率不存在时，
设直线 的方程为 ，此时直线 与 轴重合，
即 ，所以 ；
当 ， 的斜率都存在时，设过点 的两条互相垂直的直线 ： ，直线 ：
由 得
此时 ， ，
则 .
把上式中的 换成 得：
则四边形 的面积为
令 ，则 ，且 ，
， ，
，
所以四边形 的面积的取值范围是 .
变式19．（2023·辽宁辽阳·高三辽阳县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线
过点 ，且 的渐近线方程为 ．(1)求 的方程；
(2)如图，过原点 作互相垂直的直线 ， 分别交双曲线于 ， 两点和 ， 两点， ， 在 轴同侧．
①求四边形 面积的取值范围；
②设直线 与两渐近线分别交于 ， 两点，是否存在直线 使 ， 为线段 的三等分点，若存
在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意有 ，则 ，
将点 代入双曲线方程得 ，
联立 解得 ，
故 的方程为 ；
（2）①，易知直线 ， 的斜率均存在且不为 ，
设 ，
的方程为 ，则 的方程为 ，
联立 ，消 整理得 ，
直线 与双曲线 交于两点，
故 且 ，则 ，
则 ，
则 ，
联立 ，消 整理得 ，
直线 与双曲线 交于两点，
故 且 ，解得 ，
则 ，则 ，
根据对称性可知四边形 为菱形，
其面积
，
，∴ ，∴ ，
∴ ，
；
②，假设满足题意的直线 存在，
易知直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，
，
联立 ，整理得 ，
则 且 ，
解得 且 ，
由韦达定理有 ，
则，
不妨设 为直线 与渐近线 的交点，
联立 ，解得 ，
，
同理可得 点的坐标为 ，
则 ，
因为 ， 为线段 的三等分点， ，
即 ，
整理得 ，①
， ，
则 ，即 ，
，
整理得 ,②
联立①②得 ，无解，
故没有满足条件的直线 ．
变式20．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，抛物线
的准线与 相交，所得弦长为 .
(1)求 的方程；
(2)若 在 上，且 ，分别以 为切点，作 的切线相交于点 ，点 恰好在
上，直线 分别交 轴于 两点.求四边形 面积的取值范围.【解析】（1）由题知 过点 ，则 ，解得 ，
.
（2）设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
，
则 ，而 ，则 ，
故以 为切点的切线为 ，即 ，
同理以 为切点的切线为 ，则 ，
由 ，故两式作差得： ，所以 ，
两式求和得： ，
所以点 由 在椭圆上 ，即 .
点 到直线 的距离 ，
所以 ， ，，
而 、 在 上递增且恒正，
则 在 上递增， .
题型七：向量数量积的取值范围问题
例19．（2023·吉林长春·长春市第八中学校考模拟预测）已知 ，直线 不过原点
且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ， ，线段 的中点为 ．
（1）若 ，点 在椭圆 上， 、 分别为椭圆的两个焦点，求 的范围；
（2）若 过点 ，射线 与椭圆 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求此时直线
斜率；若不能，说明理由．
【解析】（1） 时，椭圆 ，两个焦点 ， ， ， ，
设 ，可得 ，即 ，
， ， ， ，
，
因为 ，
所以 的范围是 ；
（2）设 ， 的坐标分别为 ， ， ， ，可得 ， ，
则 ，两式相减可得 ，
，即 ，
故 ，又设 ， ，直线 ，
即直线 的方程为 ，从而 ，代入椭圆方程可得， ，
由 与 ，联立得 ，
若四边形 为平行四边形，那么 也是 的中点，
所以 ，即 ，整理可得 ，
解得 ，经检验满足题意，
所以当 时，四边形 为平行四边形．
例20．（2023·安徽合肥·合肥市庐阳高级中学校考模拟预测）已知椭圆 的左，右焦
点分别为 ， ，焦距为 ，点 在 上.
(1) 是 上一动点，求 的范围；
(2)过 的右焦点 ，且斜率不为零的直线 交 于 ， 两点，求 的内切圆面积的最大值.
【解析】（1）由题意知 ，所以 .
将点 代入 ，解得 ，所以椭圆 的方程为： .
设点 ，则 .
又因为 ，所以 的范围是 .
（2）依题意可设直线 的方程为 ， ， .
联立 得 .
所以 ， ，
所以 ，
又因为 ，当且仅当 时等号成立.所以 .
又因为三角形内切圆半径 满足 .
所以 的内切圆面积的最大值为 .
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 经过点 ，一个焦点 的坐
标为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，求 的取值范
围.
【解析】（1）由题意得， ，
根据椭圆定义可得： ，解得
根据 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）设 ， ，
由 得： ，
，即 ，
， ， ，
所以 ，所以 ，
故 ，解得 ，
所以 .
故 的取值范围为
变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 经过点 ，一个焦点 的
坐标为 .（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 ： 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，求 的取值范
围.
【解析】（1） ， ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，
由 得： ，
，
即 ，
， ，
，
，
∴ 即 ，故 ，
.
故 的取值范围为 .
变式22．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考阶段练习）已知椭圆 经过点
，一个焦点 的坐标为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，求 · 的取值范围.
【解析】（1）由题意可知再焦点坐标 ， （-2，0），再由椭圆定义 .(2)椭圆与直线
组方程组， ，所以代入韦达，利用判别式控制范围．
试题解析题型八：参数的取值范围
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 表示焦点在 轴上的椭圆.
（1）求 的取值范围；
（2）设 ，过点 的直线 交椭圆于不同的两点 ， （ 在 ， 之间），且满足 ，
求 的取值范围.
【解析】（1）因为曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，
所以 解得： ，
所以m的取值范围是 ；
（2）因为 ，所以椭圆方程为： ；
当直线l的斜率不存在时，即直线 ，此时 ， ，
由 解得： ；
当直线l的斜率存在时，设直线 ， ， ，
联立直线l与椭圆 消 得 ，所以 ， ，即 ，解得 ，
由 ，得 ，
而 ，
即 ，
又 在 上单调递增，
所以 ，又 在 ， 之间，即 ，解得： ；
综上所述， 的取值范围是 .
例23．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率 ，且经过抛
物线 的焦点．若过点 的直线 斜率不等于零 与椭圆交于不同的两点E、 在B、F之间
，
求椭圆的标准方程；
求直线l斜率的取值范围；
若 与 面积之比为 ，求 的取值范围．
【解析】 设椭圆的方程为 ，则 ，
抛物线 的焦点为
由 解得 ， 椭圆的标准方程为 ；
如图，由题意知l的斜率存在且不为0，设l 方程为 ，
将 代入 整理得：
，由 得 ，
；
设 ，，则 令 ，则 ，
由此可得 ，且 ，
，即 ，
，
，解得 又 ，
，
与 面积之比的取值范围是 ．
例24．（2023·广东广州·高二执信中学校考期末）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点
，且它的离心率
（I）求椭圆的标准方程；（II）与圆 相切的直线 交椭圆于 、 两点，若椭圆上一点 满足
，求实数 的取值范围
【解析】（1）设椭圆的标准方程为 ，
由已知得 解得
所以椭圆的标准方程为 .
（2）因为直线 ：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，
所以 ＝1，
整理得 (t≠0)．
由 消去y整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，
因为直线 与椭圆交于M，N两点，
所以 ，
将 代入上式可得 恒成立．
设M(x ，y)，N(x ，y)，
1 1 2 2
则有x＋x＝－ ，
1 2
所以y＋y＝kx＋t＋kx＋t＝k(x＋x)＋2t＝ ，
1 2 1 2 1 2
因为 )，
所以可得C ，
又因为点C在椭圆上，
所以 ＋ ＝1,所以 ，
因为t2＞0，所以 ＋ ＋1＞1，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
变式23．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆： 的左顶点为 ，右顶点为 .已知椭圆
的离心率为 ，且以线段 为直径的圆被直线 所截得的弦长为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点 的直线 与椭圆交于点 ，且点 在第一象限，点 关于 轴对称点为点 ，直线 与
直线 交于点 ，若直线 斜率大于 ，求直线 的斜率 的取值范围.
【解析】（1）以线段 为直径的圆的圆心为： ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
直线 被圆截得的弦长为 ，
解得： ，又椭圆离心率 ，
∴ ， ，
椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，其中 ， ，则 ，
∴ ， ，
则直线 为： ；直线 为： ，
由 得： ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
令 ， ，则 ，
∴ ，
∵ ∴ ，
∴ ，
即 .
变式24．（2023·天津河西·天津市新华中学校考一模）设椭圆 的左顶点为 ，右顶点
为 ．已知椭圆的离心率为 ，且以线段 为直径的圆被直线 所截得的弦长为 ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 ，且点 在第一象限，点 关于 轴对称点为点 ，直线 与
直线 交于点 ，若直线 斜率大于 ，求直线 的斜率 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）以线段 为直径的圆的圆心为： ，半径
圆心到直线 的距离
直线 被圆截得的弦长为
解得： ，又椭圆离心率
，
椭圆的标准方程为：（Ⅱ）设 ，其中 ， ，则
，
则直线 为： ；直线 为：
由 得：
令 ， ，则
即
变式25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，过焦点且垂直于
长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点 的直线与椭圆 相交于不同的两点 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为椭圆 上一点，且满足 为坐标原点），试求实数 的取值范围.
【解析】（1） 椭圆 的离心率为 ，
过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，
，
又 ，
解得 ，
椭圆方程为 .（2）设 ， ， ， ， ，
设 ，
联立 得 ，
，
解得 ， ，
，
，
，
由点 在椭圆上得 ，
整理可得 ，
当 时， ；
当 时， ，
， ，
据此可得实数 的取值范围是 .
变式26．（2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中）已知椭圆 的离心率
为 ,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 ,过点 的直线与椭圆 相交于两点
(1)求椭圆 的方程;
(2)设 为椭圆上一点,且满足 ( 为坐标原点),当 时,求实数 的取值范围.
【解析】解(1) 由已知 ,所以 ,所以
所以
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为
所以所以
(2)设
设 与椭圆联立得
整理得
得
由点 在椭圆上得
又由 , 所以
所以
所以 由 得
所以 ,所以 或
