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第十六章 二次根式 重难点检测卷
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：二次根式全部内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）下列八个实数： ， ， ， ， ，3.14159265，
，0.101001000100001…，其中无理数的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间 （单位： ）和高度 （单位： ）近似满足公式 （不考虑风速的影响）．记从
高空抛物到落地所需时间为 ，从 高空抛物到落地所需时间为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合
运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．
规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）
A．小明和小丽 B．小丽和小红
C．小红和小亮 D．小丽和小亮
8．（24-25九年级上·四川乐山·期中） ， ，则 值是（ ）
A．6 B． C．3 D．
9．（24-25八年级上·全国·期中）已知实数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知 ， ，
，…， ，其中n为正整数．设 ，
则 值是（ ）A． B． C． D．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25七年级上·山东威海·期中）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（23-24八年级上·上海·期末）化简： ．
13．（23-24九年级上·四川资阳·期末）若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
14．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知 ， ，若x的整数部分是m ，y的小数部
分是n，则 的值为 ．
15．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“ ”为 ，其中a，b均为非负实
数，则 的算术平方根为 ．
16．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知 ，则代数式 的值是 ．
17．（24-25九年级上·福建泉州·期中）阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约
1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序
排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很
多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的
性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用 表示
（其中 ），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ．
18．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若 是整数，则根据可知m有最小值 ．设n为正整数，若 是大于1的整数，则
n的最小值为 ，最大值为 ， 的小数部分为 ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25八年级上·河南郑州·期中）计算：
(1) ； (2) ．
20．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）先化简，再求值： ，其中 ．
21．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）直角三角形的两条直角边长分别为 ，求这个直角三角
形的面积．
22．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知： ， ．求值：(1) ， ；
(2) ．
23．（24-25八年级上·云南昆明·期末）我们知道， 是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小
数部分．即 的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题：
(1)若a是 的整数部分，b是 的小数部分．则 _____， ______．
(2)若 ，其中x是整数，且 ，求 的值．
24．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，
它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方．
推理证明：
解：设 、 是连续的正整数，
， ，
对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方．
(1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明；
(2)【深入思考】若 （ ， 为两个连续奇数， ， ），求证： 一定是偶数．
25．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理
化因式．
例如： ，我们称 的一个有理化因式是 的一个有理
化因式是 ．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中
不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如： ； ．
解答下列问题：
(1)根据以上概念直接在横线上写出 的一个有理化因式 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)请在以下问题①和②任选一个题作答：
①设实数 ， 满足 ，求 的值．
②化简： ．26．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题．
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 即 ，当且仅当 时
取等号，此时 有最小值为
【实例展示1】已知 ，求式子 最小值．
解： 当且仅当 即 时，式子有最小值为6．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大
的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大
于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分
式”．
【实例展示2】如： 这样的分式就是假分式；如： 这样的分式就是真分式，假分数
可以化成 带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知 ，则当 ______时，式子 取到最小值，最小值为______；
(2)分式 是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式 可化为带分式形式为______；如果分式
的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个；
(3)用篱笆围一个面积为 的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，
最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
