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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）
黄金卷02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．若曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x−y+1=0垂直，则a的值为（ ）
1 1 1
A．− B．− C． D．1
4 2 2
2．甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，
若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（ ）
A．36 B．72 C．144 D．288
3．设 ，则 （ ）
(1+x)+(1+x) 2+⋯+(1+x) 7+(1+x) 8=a +a x+⋯+a x7+a x8 a =
0 1 7 8 2
A．84 B．56 C．36 D．28
4．某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检
验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检
验次数为ξ，当E(ξ)=10时，10名人员均为阴性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2
5．某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所
示的散点图．若去掉D(10,2)后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变小 B．决定系数R2变小
C．残差平方和变大 D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
6．已知事件A,B满足P(A)=0.5，P(B)=0.2，则（ ）
A．若B⊆A，则P(AB)=0.5
B．若A与B互斥，则P(A+B)=0.7
C．若A与B相互独立，则P(AB)=0.9
D．若P(B|A)=0.2，则A与B不相互独立
7．某人在n次射击中击中目标的次数为X，X∼B(n,p)，其中n∈N∗,0<p<1，击中奇数次为事件A，
则（ ）
A．若n=10,p=0.8，则P(X=k)取最大值时k=9
1
B．当p= 时，D(X)取得最小值
21
C．当0<p< 时，P(A)随着n的增大而增大
2
1
D．当 <p<1时，P(A)随着n的增大而减小
2
8．已知函数 ， ，若存在 ，使得 成立，则 的最小值为
f (x)=xlnx g(x)=xex t>0 f (x )=g(x )=t x −2x
1 2 1 2
（ ）
A．2−ln4 B．2+ln4 C．e−ln2 D．e+ln2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课
堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ）
喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂
男生 80 20
女生 70 30
参考公式及数据：①
χ2=
n(ad−bc) 2 ，
n=a+b+c+d
.②当
α=0.05
时，
x =3.841
.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) α
2
A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
5
9
B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
64
C．根据小概率值α=0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，
则参加测试的学生成绩的均值为85
10．随机变量ξ的分布列如表：其中xy≠0，下列说法正确的是（ ）
ξ 0 1 2
y 2y
P x
3 3
5 y
A．x+ y=1 B．E(ξ)=
3
C．D(ξ)有最大值 D．D(ξ)随y的增大而减小
11．设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再
从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，
则（ ）
9
A．事件A与事件B相互独立 B．P(B)=
14
1 13
C．P(A|B)= D．P(AB)=
5 1412．已知 ，则（ ）
a,b∈R,f (x)=ex−ax,g(x)=b√x2+1
A．对于任意的实数a，存在b，使得f (x)与g(x)有互相平行的切线
B．对于给定的实数 ，存在 ，使得 成立
x a､b g(x )≥f (x )
0 0 0
C．y=f (x)−g(x)在[0,+∞)上的最小值为0，则a+√5b的最大值为2√e
D．存在 ，使得 对于任意 恒成立
a､b |f (x)−g(x)|≤e2+2 x∈R
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享
自行车被租用的概率为 .
14．若 ，则 .
(3x−4) 5=a +a (x−1)+⋅⋅⋅+a (x−1) 5 a +2a +3a +4a +5a =
0 1 5 1 2 3 4 5
15．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布 ，从中抽取一个同学
N(100,102)
的数学成绩X，记该同学的成绩80<X≤100为事件A，记该同学的成绩70<X≤90为事件B，则在A事件
发生的条件下B事件发生的概率P¿ ．（结果用分数表示）
附参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.68，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.95.
16．若 ，则实数 最大值为 .
f (x)=xlnx+x2−mx+e2−x≥0 m
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单
位：cm）与父亲身高x（单位：cm）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如
下表：
父亲身高
160 170 175 185 190
x
儿子身高
170 174 175 180 186
y
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父
亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记 ，其中 为观测值， 为预测值， 为对应 的残差.求
e^ = y −^y = y −b^x −a^,(i=1,2,⋯,n) y ^y e^ (x ,y )
i i i i i i i i i i
（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加
以证明；若不成立说明理由.
5 5 5 5
参考数据及公式：
∑ x =880,∑ x2=155450,∑ y =885,∑ x y =156045
i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1n
∑(x −x)(y −y)
i i
b^= i=1 ,a^= y−b^x .
n
∑(x −x) 2
i
i=1
18．已知函数 ，其中 ．
f (x)=ex−a,g(x)=ln(x+a) a∈R
(1)讨论方程f (x)=x实数解的个数；
(2)当x≥1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
19．已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．
(1)现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产品恰
好是次品的概率；
(2)现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全部找
出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设X表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费
用（单位：元），求X的分布列与数学期望．
ax2
20．已知函数f (x)= −lnx−lna−1有三个零点.
ex−1
(1)求a的取值范围；
(2)设函数f (x)的三个零点由小到大依次是x ,x ,x .证明：aex 1 x 3>e.
1 2 3
21．5G网络是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.已知某精密设备制造企业加工5G零件，根据长期检
测结果，得知该5G零件设备生产线的产品质量指标值服从正态分布 .现从该企业生产的正品中随
N(μ,σ2)
机抽取100件､测得产品质量指标值的样本数据统计如图.根据大量的产品检测数据，质量指标值样本数据
的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.已知质量指标值
不低于70的样品数为25件.
附：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
(1)求x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若质量指标值在[54,84]内的产品称为优等品，求该企业生产的产品为优等品的概率；(3)已知该企业的5G生产线的质量控制系统由n(n∈N,n≥3)个控制单元组成，每个控制单元正常工作的
概率为p(0<p<1)，各个控制单元之间相互独立，当至少一半以上控制单元正常工作时，该生产线正常运
行生产.若再增加1个控制单元，试分析该生产线正常运行概率是否增加？并说明理由.
1
22．已知函数f (x)=lnx+ (a−x) 2，其中a∈R．
2
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
a=1 f (x) (1,f (1))
(2)讨论函数f (x)的单调性；
(3)若 存在两个极值点 的取值范围为(3 15 )，求 的取值
f (x) x ,x (x <x ),|f (x )−f (x )| −ln2, −2ln2 a
1 2 1 2 2 1 4 8
范围．
