文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（天津专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，M、N都是全集 的子集，则如图所示的韦恩图
中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． 或
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件得出阴影部分对应的集合为 ,利用补集和交集的定义即可求解.
【详解】由图可知阴影部分对应的集合为 ，
因为 ，
所以 .
所以 .
故选：A.
2．已知实数a，b满足 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【分析】根据充分性和必要性判断.
【详解】由 得 ，即 ，又 ，所以 ，所以 ，充分
性成立；
显然由 ，可得 ，必要性成立，
综上可知，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
3．已知函数 ，则其图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先观察选项图像，再分析原函数解析式，发现函数 有对称轴即可得出答案.
【详解】解：因为 ， 定义域为 ，
所以 ，
所以 的对称轴为 .
当 时，令 ，则 在 上单调递增，
而 且 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
结合选项：A选项为 时 的图像，B选项为 时 的图像，
D选项为 时 的图像，而C选项无对称轴，则图像不可能是C.
故选：C4．下列命题中错误的是（ ）
A．已知随机变量 ，则
B．已知随机变量 ，若函数 为偶函数，则
C．数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8
D．样本甲中有 件样品，其方差为 ，样本乙中有 件样品，其方差为 ，则由甲乙组成的总体样本
的方差为
【答案】D
【分析】由二项分布方差计算公式可判断A，由正态分布密度曲线的性质即可判断B，根据第 百分位数
定义可判断C，可按分层抽样样本方差的计算公式判断D.
【详解】对于A， ，A正确；
对于B，由函数 为偶函数，则 ，
所以 ，
所以区间 ， 关于 对称，则 ，B正确；
对于C， ，所以数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是第六个数据8，C正确；
对于D，由按分层抽样样本方差的计算公式可知选项缺少平均数的相关数据，D错误.
故选：D.
5．已知 则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指对数函数的性质和特殊值比较法判断 ， ， 的大小.
【详解】因为 ， ，所以 ，
，所以 ，所以 ，
故选：B.
6．已知等比数列 的首项 ，前 项和为 ，且 成等差数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得等比数列 的公比，然后根据等比数列前 项和公式求得正确答案.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由于 成等差数列，
所以 ，由于 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：B
7．已知函数 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得出 ， ，从而确定 ，它们关于对称，从而可得结论．
【详解】由已知 ，即 ，同理 ，
又 ，即 ， ， ， ，
当 时， ，
所以 ，所以 ，
故选：B．
8．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 过点 ，且与双曲线只有一个公
共点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的方程为
B．双曲线 的离心率为
C．双曲线 的实轴长为
D．双曲线 的顶点坐标为
【答案】A
【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判
断各选项.
【详解】由直线 过点 ，
得 ， ，
所以 ，
又直线 与双曲线只有一个公共点，
当直线 与双曲线渐近线平行时， ，可得 ，双曲线方程为 ，
当直线与双曲线渐近线不平行时，
联立直线与双曲线 ，得 ，
，即 ，
又 ，则 ，无解，
所以双曲线方程为 ，A选项正确；
离心率 ，B选项错误；
顶点坐标为 ，D选项错误；
实轴长为 ，C选项错误；
故选：A.
9．某五面体如图所示，下底面是边长为3的正方形 ，上棱 ， 平面 ， 与平面
的距离为 ，该五面体的体积为（ ）
A． B．6 C．9 D．
【答案】B
【分析】把五面体分割成一个柱体和两个椎体即可.
【详解】在平面 中，过 分别作 ，交点分别为 ，在平面 中，过 分别作 ，交点分别为 ，
连接 ，
， ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，同理可得： 平面 ，
所以平面 平面 ，
所以该几何体分成中间一个直三棱柱和左右两个四棱椎，且两个四棱锥可合为一个大的四棱锥，
平面 中过点 作 ，
因为 平面 ， 平面 ，
， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
设两个四棱锥合在一起的大四棱锥的体积为
所以五面体的体积
.
故选：B.
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10．已知复数 （其中 为虚数单位），则 .【答案】5
【分析】利用复数的乘法运算可计算出 ，再由共轭复数定义及模长公式即可得 .
【详解】易知
，
所以 ，可得 .
故答案为：5
11．已知 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则
.
【答案】14或23
【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可求得 或 .
【详解】由题意可得 成等差数列，则 ，
即 ，
即 ，即 ，
解得 或 .
故答案为：14或23
12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆 外切，写出一个圆C的标准方程：
．
【答案】 （答案不唯一，只要方程满足 即可）
【分析】求出圆 的圆心和半径，利用两圆外切即可求出一个圆C的标准方程.
【详解】由题意，
在 中，圆心 ，半径 ，因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M： 外切，
设半径为 ，则圆心
所以圆C的方程为 ．
∴一个圆C的标准方程：
故答案为： .
13．某同学高考后参加国内3所名牌大学 的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学
招生考试的概率分别为 ，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能
通过其中2所大学招生考试的概率为 ，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ；该同学恰
好通过 两所大学招生考试的概率最大值为 ．
【答案】 / /
【分析】根据恰好能通过其中2所大学招生考试的概率列方程，通过整体代入可得该同学至少通过1所大
学招生考试的概率，再利用基本不等式可得恰好通过 两所大学招生考试的概率最大值.
【详解】 该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，
∴该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率
所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ，
由 得， ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，即 或 ，
又∵ ， ，， ，
∴当 时，该同学恰好通过 两所大学招生考试的概率取得最大值 ．
故答案为： ．
14．在边长为2的正三角形 中，D是 的中点， ， 交 于F．①若 ，
则 ；② ．
【答案】
【分析】作辅助线，利用平行线的性质，确定出F点是AD的几等分点，利用平面向量的线性运算即可用
表示 ，求得x, y进而得解；再用 来表示 ，用平面向量的数量积即可 ，即可
得解.
【详解】
如图，过E作 交 于M，
由 ，得 ， ，
又D是 的中点，得 ， ，故 ，即 ，
所以
所以 ，故
易知由已知得
所以
故答案为： ，
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积的运算，解题的关键是利用平面
向量的线性运算用 表示 ， ，考查学生的分析与转化能力，及计算能力，属于中档题.
15．设 ，函数 恰有三个零点，则a的取值集合为 .
【答案】
【分析】先根据绝对值的性质分析可知 ，再讨论 的符号去绝对值，分别研究 的零点个
数，即可得结果.
【详解】因为 ，
1.若 ，则 ，显然等号不同时成立，
所以 恒成立，不合题意；
2.若 ，令 ，解得 ，即 有两个零点，不合题意；
3. 若 ，构建 ，
因为 ，即函数 有两个零点 ，
且 ，即 不是 的零点，
（1）当 ，即 时，则 ，令 ，解得 或 ，
且 ，即 ，
所以 在 有两个零点 ；
（2）当 ，即 或 时，则 ，
由题意可知： 在 内有且仅有一个零点，
（ⅰ）当 时，则 ，且 ，
此时 在 上的零点为 ，符合题意；
（ⅱ）当 且 时，令 ，解得 或 ，
且 ，
即 ，
①若 ，解得 ，所以 在 内的零点是 ，符合题意；
②若 ，则 在 内的零点是 ，不合题意；
综上所述： 或 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：根据 ，可得函数 有两个零点 ，结合二次不等式分类讨论去绝对值.
三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．在三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理边化角求解作答.
（2）利用（1）的结论及余弦定理计算作答.
（3）利用（1）（2）的结论，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦公式求解作答.
【详解】（1）在 中，由已知得 ，由正弦定理得 ，而 ， ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理得 ，即 ，而 ，解得 ，
所以 .
（3）在 中， ， ， ，有 ，
则 ， ，
由（2）知， ，即 ，
所以 .
17．如图，在三棱台ABC﹣ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，AA＝AB＝2，侧棱AA⊥平面ABC，
1 1 1 1 1 1 1
点D是棱CC 的中点.
1
(1)证明：BB⊥平面ABC；
1 1(2)求点B 到平面ABD的距离；
1
(3)求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建系，将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线；
（2）将点面距转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影的绝对值，再利用向量的数量积即可求解；
（3）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取
则 ，
所以 .（2）由（1）知 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，
所以点B 到平面ABD的距离为 ；
1
（3）由（1）知， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，
设平面BCD与平面ABD的夹角为 ，
则 .
18．已知椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ，
，四边形 的周长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设点F为椭圆 的左焦点，点 ，过点F作 的垂线交椭圆 于点P，Q，连接 与 交于点
H．试判断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
【答案】(1) ；
(2)是定值1.【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；
（2）分类讨论 是否为0，联立直线PQ与椭圆方程，直线OT方程，结合韦达定理判定 三点纵
坐标关系即可.
【详解】（1）由椭圆性质可知： ， ， ， ，
所以由题意可知： ，
即椭圆方程为： ；
（2）由上可知 ，
当 时，则 重合，此时由椭圆的对称性可知 ，则 ；
当 时，则 ，
由 ，可知直线 为 ，
设 ， ， 纵坐标 ，易知此时 ，
联立直线 与椭圆方程 可得 ，
所以 ，
联立直线 与 方程 ，即 ，
对于 ，综上可知 为定值1.
19．已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，是否存在 ，使得 ? 若存在，给出符合条件的一
组 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意利用构造关于数列的方程组，从而进行求解出通项公式；
（2）根据题意先求出数列 的公式，然后分情况讨论，从而求解；
【详解】（1）解：由题意知 ①，
得 ②
将②与①式相减得： ，所以得 ，
所以 ，当 时， 也满足；所以 的通项公式为： .
（2）解：不存在，理由如下：
设数列 的通项为 ，
则 ，
得 ，
所以得
即
即 ，
当 为偶数时： ，得 ，
当 为奇数时： ，得 ，
所以得：
当 ， 都为偶数时，得 ， ，
此时： ，此情况不符合题意；
当 ， 都为奇数时，得： ， ，
此时： ，此情况不符合题意；
当 为奇数， 都为偶数时，得： ， ，
此时： ，此情况不符合题意；当 为偶数， 都为奇数时，得 ， ，
此时： ，此情况不符合题意；
综上所述：不存在 ，使得 .
【点睛】思路点睛：用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未
被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
20．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线的方程；
(2)若函数 在 处取得极大值，求a的取值范围；
(3)若函数 存在最小值，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求导后求出切线的斜率 ，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；
（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；
（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.
【详解】（1） ，所以：切点为 ，
又 ，所以： ，
所以：切线方程为 .（2）定义域为R， ，
①当 时， ，令 得 ，所以： 单调递增区间为 ；
令 得 ，所以 单调递减区间为 ；所以： 在 取极大值，符合题意．
②当 时，由 ，得： ，
， ， 变化情况如下表：
0
－ 0 + 0 －
减 极小值 增 极大值 减
所以： 在 处取得极大值，所以： 符合题意．
③当 时，由 ，得： ， ，
（i）当 即 时， ， 变化情况如下表：
0
+ 0 － 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以： 在 处取得极小值，不合题意．
（ⅱ）当 即 时， 在R上恒成立，所以： 在R上单调递增，无极大值点．
（iii）当 ，即 时， ， 变化情况如下表：
0+ 0 － 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以： 在 处取得极大值，所以： 合题意．
综上可得： 的取值范围是 ．
（3）
详解如下：根据（2）知可分三种情况：① ，② ，③ ：
①当 时， 在区间 单调递减， 单调递增，在 上
单调递减，无最小值.
②当 时，当 ， 趋向 时， 趋向于 ，
当 ，要使函数 取得存在的最小值，
即： ，解得： ，
故 时，取得最小值，故 的取值范围为 .
③当 时， 在 趋向 时， 趋向于 ，
又因为 时， 取到极小值， ，故无最小值.
综上所述：函数 存在最小值， 的取值范围为： .
