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第十章 二元一次方程组（基础卷）
班级：________________姓名：_________________得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择12道、填空6道、解答6道.答卷
前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规
定的位置.
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)在每小题所给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
2
A．x2−2x=1 B．x−y=z C． + y=1 D．x−3 y=1
x
【答案】D
【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：①方
程中只含有2个未知数；②含未知数项的最高次数为1；③方程是整式方程．根据二元一
次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、x2−2x=1，含未知数项的最高次数为2，不符合题意，选项错误；
B、x−y=z，方程中含有3个未知数，不符合题意，选项错误；
2
C、 + y=1，不是整式方程，不符合题意，选项错误；
x
D、x−3 y=1，是二元一次方程，符合题意，选项正确；
故选：D
2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，把含有相同未知数的两个二元一次方程联立
在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得
出结果．1
【详解】解：A、y− =2不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
x
B、¿是二元一次方程组，故本选项符合题意．
C、xy=4含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
D、x2−1=0含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．已知一个二元一次方程组的解是¿则这个方程组可以是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．
将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案．
【详解】解：A.把¿代入得：x+ y=−1+(−2)=−3，x−y=−1−(−2)=1，故该选项符合
题意；
B. 把¿代入得：x+ y=−1+(−2)=−3，x−2y=−1−(−4)=3，故该选项不合题意；
C. 把¿代入得：y−x=−2−(−1)=−1，故该选项不合题意；
D. 把¿代入得：2x−y=−1×2−(−2)=0，故该选项不合题意．
故选：A．
4．二元一次方程x﹣2y＝1有无数多个解，下列四组值中，是该方程的解的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】将各项中x与y的值代入方程检验即可得到结果．
1
【详解】解：A、x＝0、y＝ 时，x﹣2y＝0﹣1＝﹣1≠1，不符合题意；
2
B、x＝1、y＝1时，x﹣2y＝1﹣2＝﹣2≠1，不符合题意；
C、x＝1、y＝﹣1时，x﹣2y＝1+2＝3≠1，不符合题意；
D、x＝1、y＝0时，x﹣2y＝1，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的
值．
5．已知方程 是关于x的二元一次方程，则m的值是（ ）
(m+1)x+2y|m|=0A．0 B．1 C．−1 D．0或1
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据只含有2个未知数，且含有未知数的项的次
数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此进行求解即可．
【详解】解：由题意得：|m|=1且m+1≠0，
∴m=1，
故选：B．
6．若¿，是二元一次方程5x−3 y=14的一个解，则m的值是（ ）
A．1.6 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的解，将¿代入方程5x−3 y=14中得到关于m的一元一次
方程，求解即可．解题的关键是掌握二元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知
数的值，叫做方程的解．
【详解】解：∵¿是二元一次方程5x−3 y=14的一个解，
∴5m−3×2=14，
解得：m=4，
即m的值是4．
故选：D．
7．（24-25七年级上·全国·期末）若∠A与∠B互补，且∠A−∠B=40°20'，则∠B的
度数为（ ）
A．69°20' B．69°50' C．110°10' D．110°40'
【答案】B
【分析】本题主要考查的是补角定义、二元一次方程组的应用等知识点，根据题意正确列
出方程组是解题的关键．
根据补角定义及已知条件列出方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：∵∠A与∠B互补，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A−∠B=40°20'，
∴¿，解得：¿．
故选：B．8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）某超市开展“购物满99元，减10元”的活动，
李奶奶想买排骨和大虾凑够99元．如果买3斤排骨和1斤大虾，还差3元；如果买2斤排
骨和2斤大虾，超出5元．设排骨单价为x元/斤，大虾单价为y元/斤，则可列出的二元一
次方程组为（ ）
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“买3斤排骨和1斤大虾，还
差3元；买2斤排骨和2斤大虾，超出5元” 列出相应的方程组，然后对比选项即可解答
本题．
【详解】解：由题意可得，¿，
故选：D．
9．方程组¿的解是¿．那么方程组¿的解是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】C
【分析】本题是仿照已知方程组的解，求复杂方程组的解，不需要解方程，只需将2x+4
和y+3看成整体，即可简便求解．
仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【详解】∵方程组¿的解是¿
∴¿中¿
∴方程组¿的解是¿．
故选：C．
10．对于非零的两个有理数m、n，定义一种新运算，规定m⊗n=2m+n．若
， ，则 的值为（ ）
x⊗(−y)=2 2y⊗x=−1 x+ y
1 1
A．1 B．−1 C． D．−
3 3
【答案】C
【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意列出方程组求解是解题的关键．根据新定义运算的公式，列出x，y的方程组计算即可．
【详解】解：∵m⊗n=2m+n，x⊗(−y)=2，2y⊗x=−1，
∴¿，
两式相加得：3x+3 y=1，
1
∴x+ y= ．
3
故选：C．
11.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古
代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、
每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则
的值为（ ）
2x+ y
A．−5 B．−4 C．4 D．5
【答案】B
【难度】0.94
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，列出二元一次方程组¿，
解方程组即可．
【详解】解：由题意得：¿，
解得：¿，
∴2x+ y=2×(−3)+2=−4，
故选：B．
12．若方程组¿的解中x+ y=2025，则k等于（
）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】B
【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解
题的关键．利用(①+②)÷5可得：x+ y=k−1，代入x+ y=2025求解即可．
【详解】解：¿，
①+②可得：5x+5 y=5k−5，
∴同除5可得：x+ y=k−1，
∵x+ y=2025，
∴k−1=2025，
解得：k=2026，
故选：B．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把答案直接填写在横线
上
13．已知二元一次方程x+2y=3，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式
子表示y为 ．
3−x
【答案】 x=3−2y y=
2
【分析】本题考查了解二元一次方程，等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解
此题的关键．
根据等式的性质得出x=3−2y即可；根据等式的性质得出2y=3−x，再根据等式的性质
方程两边都除以2即可．
【详解】解：∵x+2y=3，
∴x=3−2y；
∵x+2y=3，
∴2y=3−x，
3−x
∴y= ．
2
3−x
故答案为：x=3−2y；y= ．
2
14．若 ，则 的值为 ．
(x−y) 2+|5x−7 y−2|=0 x+ y
【答案】−2
【分析】本题考查了平方式和绝对值的非负性，解二元一次方程组．由可知 ， ，然后解方程组得到x和y的值
(x−y) 2+|5x−7 y−2|=0 x−y=0 5x−7 y−2=0
即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
(x−y) 2+|5x−7 y−2|=0
∴x−y=0，5x−7 y−2=0，
解方程组¿，得¿，
∴x+ y=−1+(−1)=−2，
故答案为：−2．
15．（24-25七年级上·广东江门·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对
两面的数字之和相等，则y的值为 ．
【答案】−8
【分析】本题考查了正方体的表面展开图、解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解
题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，“Z”字两端是对面，
可得：x与y是相对面，2与−x是相对面，3与−6是相对面，然后根据题意可得：
x+ y=−x+2=−6+3，从而进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：x与y是相对面，2与−x是相对面，3与−6是相对面，
∵相对两面的数字之和相等，
可得：¿，
解得：¿．
故答案为：−8 ．
16．关于x，y的二元一次方程2x+3y＝20的非负整数解的个数为___________
【分析】把x作为已知数表示出y，即可确定出非负整数解.
【详解】方程2x+3 y=20
20−2x
解得：y=
3
当x=1时，y=6
当x=4时，y=4
当x=7时，y=2当x=10时，y=0
综上，二元一次方程的非负整数解的个数有4个
【点睛】本题考查了二元一次方程的特殊解的解法，掌握方程的解法是解题关键.
17．若方程组¿无解，则a=
【答案】-6
【分析】把第二个方程整理得到y＝2x−1，然后利用代入消元法消掉未知数y得到关于x的
一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得解．
ax+3 y=9①
【详解】解：{ ，
2x−y=1②
由②得，y＝2x−1③，
③代入①得，ax＋3（2x−1）＝9，
即（a＋6）x＝12，
∵方程组无解，
∴a＋6＝0，
∴a＝−6．
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在
于明确方程组无解，未知数的系数等于0．
18．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，从A至B，步行走粗线道ADB需要35分钟，
坐车走曲细线道A−C−D−E−B需要22.5分钟，D−E−B车行驶的距离是D−B步行
粗线的3倍，A−C−D车行驶的距离是A至D步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6
倍，那么先从A至D步行，再从D−E−B坐车所需要的总时间是_____________分钟．
【答案】25
【分析】本题主要考查列代数式及方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．设
步行速度为v，则车速为6v，设AD=x，DB= y，则D−E−B的路程为3 y，A−C−D
的路程为5x，再根据题意列出方程组，进一步求解即可．【详解】解：设步行速度为v，则车速为6v，设AD=x，DB= y，
则D−E−B的路程为3 y，A−C−D的路程为5x，
根据题意知，¿，
解得¿，
x 3 y
则从A步行至D，再从D−E−B坐车所需总时间为 + =15+10=25（分钟），
v 6v
故答案为：25．
三、解答题(本大题共6小题，共46分。解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
19．(每题5分，共10分) 解方程组：
(1)¿
(2)¿
【答案】(1)¿
(2)¿
【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可．
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：¿
由①得x=2y+4．③．
把③代入②，得2(2y+4)+ y−3=0．
解得y=−1．
把y=−1代入③，得x=2×(−1)+4=2．
所以，方程组的解是¿ ．
（2）原方程组整理得¿
方程①＋②，得2x=−4．
解得x=−2．
把x=−2代入①，得3 y−2×(−2)=1．
解得y=−1．
所以，方程组的解为¿．20．(共7分) 甲、乙两人共同解方程组¿，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为
¿；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为¿．试计算a2010+ ( − 1 b ) 2011 的值.
10
【答案】0，过程见详解
【分析】将¿代入方程组的第二个方程，将¿代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的
值，即可求出所求式子的值．
【详解】解：将¿代入方程组中的4x−by=−2得：
4×(-3)−b×(-1)=−2，解得：b=10，
将¿代入方程组的ax+5 y=15得：
5a+5×4=15，解得：a=-1，
1 2011 1 2011
∴a2010+(- b) =(-1)2010+(- ×10) =0．
10 10
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未
知数的值．
21．(共7分) 已知a、b是有理数，若 ，求 的平方根．
a(❑√2−1)+b(3+❑√2)=5+3❑√2 a+b
【答案】(1)±❑√3
【分析】本题考查了实数的运算，平方根，二元一次方程组的解法，解题时注意一个正数
的平方根有2个，不要漏解．根据等式两边含无理数的项相等，有理数相等，列出方程组，
求出a，b，然后求出a+b，最后求出a+b的平方根．
【详解】
解：∵ ，
a(❑√2−1)+b(3+❑√2)=5+3❑√2
∴a❑√2−a+3b+b❑√2=5+3❑√2，
∴(−a+3b)+(a+b)❑√2=5+3❑√2，
∴¿，
解得¿，
∴a+b=1+2=3，
∴a+b的平方根为±❑√3．
22．(共7分)．若关于x、y的二元一次方程组¿和¿有相同的解，求a−b的值【答案】−3
【分析】本题考查了解二元一次方程组，方程运算，理解题意中方程组有相同解的意义是
解题的关键．将方程组中不含a,b的两个方程联立，求得x,y的值，代入，含有a,b的两个
方程中联立求得a,b的值，再代入代数式中求解即可．
【详解】解：根据题意¿，
①× 2+②×3得：x=3，
将x=3代入①得：y=−1，
将¿代入¿得：
¿，
③−④×3得：b=1，
将b=1代入④得：a=−2，
当a=−2，b=1时，
a−b=−3
故答案为：−3．
23．（共7分）一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；
若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修
各需多少天？
【答案】甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天．
【分析】本题考列二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组．
设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为y，根据题意，列二元一次方程组求解．
【详解】解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为y．
由题意，得¿，
解得¿，
1
甲单独完成装修天数： =12（天），
x
1
乙单独完成装修天数： =24（天）．
y
答：甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天．
24．(共8分)．（22-23七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普
及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，
计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：
1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以
安装22辆新能源汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？
(2)如果工厂招聘n（026400，
∴当n=6，a=3时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每
月支出的工资总额W（元）尽可能少．
