【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷03（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
z 1
1．已知 =1− ，则|z|=（ ）.
1+i i
√2
A．√2 B． C．2 D．1
2
2．集合A={−2,−1,0,1,2,3}，集合B={x|x=2k−1,k∈N}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知等差数列 的前n项和为 ，对任意的 ，均有 成立，则a 的值的取值范围是
{a } S n∈N∗ S ≤S 8
n n 5 n a
6
（ ）
A．(3,+∞) B．[3,+∞)
C．(−∞,−3)∪[3,+∞) D．(−∞,−3]∪[3,+∞)
4．为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设
有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点
都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（ ）种分配方式
A．540 B．660 C．980 D．1200
5．设函数 f (x)=√3cosωx+sinωx ，且函数 g(x)=[f (x)] 2 −4 在 x∈[0,5π] 恰好有5个零点，则正实数
ω的取值范围是（ ）
A．[13 16) B．[5 31) C．[11 14) D．[23 29)
, , , ,
15 15 6 30 15 15 30 30
6．如图所示， 是双曲线 x2 y2 的左、右焦点， 的右支上存在一点 满足
F ,F C: − =1(a>0,b>0) C B
1 2 a2 b2
sin∠AF F |BF |
BF ⊥BF ,BF 与双曲线 C 左支的交点 A 满足 2 1= 2 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
1 2 1 sin∠AF B |F F |
2 1 2A．√3 B．2 C．2√3 D．√13
7．已知函数f (x)=log |x|，设a=f(log
2
3),b=f(7−0.1 ),c=f(log
1
25)，则a，b，c的大小关系为
2
4
（ ）
A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b
8．设函数 ，直线 是曲线 的切线，则 的最小值为（ ）
f(x)=x−e−x y=ax+b y=f(x) 2a+b
1 1
A．2− B． −1
e e2
1 1
C．2− D．2+
e2 e2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在 的展开式中，各项系数的和为1，则（ ）
(1−2x3)(√x−a) 5
A．a=3 B．展开式中的常数项为−32
C．展开式中x4的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为−242
10．如图，正三棱柱ABC−A B C 的底面边长为1，高为3，F为棱A A 的中点，D,E分别在棱
1 1 1 1
BB ,CC 上，且满足A D+DE+EA取得最小值．记四棱锥A −B C ED、三棱锥F−A DE,A−≝¿
1 1 1 1 1 1 1
的体积分别为V ,V ,V ，则（ ）
1 2 33√3
A．V +V +V < B．V =V C．2V =3V D．V =V +V
1 2 3 4 2 3 1 2 1 2 3
11．已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于 ，
C:y2=2px(p>0) l:x=−1 P(x ,y )
1 1
两点， 于 ，则下列说法正确的是（ ）
Q(x ,y ) PP ⊥l P
2 2 1 1
A．若x +x =5，则|PQ|=7
1 2
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设 ，则
M(0,1) |PM|+|PP |≥√2
1
D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
12．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰
勒展开式
x2 x3 x4 xn
ex=1+x+ + + +⋯+ +⋯
2! 3! 4! n!
x3 x5 x7 x2n−1
sinx=x− + − +⋯+(−1) n+1 +⋯
3! 5! 7! (2n−1)!
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A．eix=cosx+isinx（i是虚数单位） B．eix=−i（i是虚数单位）
C． (xln2) 2 D． x2 x4
2x≥1+xln2+ (x≥0) cosx≤1− + (x∈(0,1))
2 2 24
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1
13．设向量⃗AB=(x,2x)在向量⃗AC=(3,−4)上的投影向量为− ⃗AC，则x= ．
5
14．四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=4，
AB=BC=2，鳌臑P−ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 ．15．已知圆 ，过点 的直线 交圆 于 两点，且 ，请写出一条满
O:x2+ y2=4 M(−√3,−3) l O A,B |MA|=|AB|
足上述条件的直线l的方程 .
16．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 为偶函数，
f (x) f'(x) R g(x)=f'(x) f (1−2x)+4x
，且 ( 1) ，则 (5) ．
g(x+2)=g(x−4) g − =0 g +g(4)=
2 2
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
ccosA
A+C tanC=
17．在（1）√3csin =bsinC；（2）√3⃗BA⋅⃗CB=2S ；（3） √3 这三个条
2 △ABC b+csin A
3
件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满
足
(1)求角B；
(2)若b2+c2=a2+√3bc,△ABC的外接圆周长为2√3π，求BC边上的中线长.
18．若数列 的前 项和 满足 ．
{a } n S S =2a +n
n n n n
(1)证明：数列 是等比数列；
{a −1}
n
(2)设 ，记数列{ 1 }的前 项和为 ，证明：对任意的正整数 ，都有 1.
b =log (1−a ) n T n T <
n 2 n+1 b b n n 2
n n+119．2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行．火炬传递
首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路—湖滨路—环城西路—北山街—西泠桥—孤山路传递，
在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与．
(1)组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：
年龄
性别 总计
满50周岁 未满50周岁
男 15 45 60
女 5 35 40
总计 20 80 100
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；
(2) 在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观
看足球比赛．某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？
20．如图，在直三棱柱 中， ， ，D为 的中点．
ABC−A B C AB=A A =√3 AB⊥AC A C
1 1 1 1 1 1(1)证明：AB ⊥BD；
1
(2)若点C到平面ABD的距离为√3，求平面ABC与平面BCD的夹角的正弦值．
x2 y2
21．已知双曲线C: − =1，直线l过双曲线C的右焦点F且交右支于A,B两点，点S为线段AB的中点，
2 2
点T在x轴上，ST⊥AB．
(1)求双曲线C的渐近线方程；
80
(2)若⃗TS⋅⃗TB= ，求直线l的方程．
9
cosx 1
22．已知函数f (x)= ,g(x)= −ax.
x x
π
( )
(1)若函数f (x)在点A ,0 处的切线与函数g(x)的图象有公共点，求实数a的取值范围；
2
(2)若函数f (x)和函数g(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围.
