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第十章 二元一次方程组 单元重难点题型归纳与训练
题型归纳
题型讲解
一.二元一次方程(组)定义
【题型解读】此种题主要是根据二元一次方程(组)的概念，会识别，会求字母的取值或取
值范围.
例1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x+2=1 B．x2+2y=2 C．y2+ y=4 D．x+5 y=0
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
此题考查二元一次方程的定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方
程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
【详解】解：A、该方程中只有一个未知数，属于一元一次方程，故本选项错误；
B.该方程中未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项错误；
C.该方程中未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项错误；
D.该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确；
故选：D．
例2．已知方程mx−5 y=5x+ny−1化简后是关于x，y的二元一次方程，则m，n的取值
范围分别是（ ）A．m≠0,n≠0 B．m≠n C．m≠5,n≠5 D．m≠5,n≠−5
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程的概念，理解含有两个未知数，含未知数的项的次数最高
为1的整式方程为二元一次方程是解题关键．
根据二元一次方程的定义进行解答即可．
【详解】解：方程mx−5 y=5x+ny−1可化为(m−5)x−(5+n)y=−1，
∵方程(m−5)x−(5+n)y=−1是关于x、y的二元一次方程，
∴m−5≠0,5+n≠0，
∴m≠5,n≠−5，
故选：D．
例3．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【答案】D
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的概念．二元一次方程是指含有两个未知数，并
且所含未知数的项的次数都是1的整式方程．两个结合在一起的共含有两个未知数的一次
方程叫二元一次方程组．利用二元一次方程组的定义逐一选项判断即可．
1
【详解】解：A、方程组¿中方程 +2y=6不是整式方程，
x
∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意．
B.∵方程组¿中方程xy=1是二次方程，
∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意；
C.∵方程组¿含有三个未知数，
∴该方程组不是二元一次方程组，不符合题意；
D.方程组¿是二元一次方程组，符合题意．
故选：D．
例4已知方程组¿是关于x，y的二元一次方程组，则m= ．
【答案】−8
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关
键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方
程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．其一般形式是¿，其中a ，a 不同时为0，b ，
1 2 1
b 不同时为0；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，
2但这两个方程必须一共含有两个未知数．如¿也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程
中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各
个方程应是整式方程．
由(m−8)x=2可得m−8≠0，解得m≠8；由二元一次方程组的定义可得|m|−7=1，解得
m=±8；综合以上，即可求出m的值．
【详解】解：由(m−8)x=2可得：m−8≠0，
解得：m≠8；
由二元一次方程组的定义可得：
|m|−7=1，
解得：m=±8；
∴m=−8，
故答案为：−8．
对应练习：
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．x+ y=2 B．x2+ y=0 C．xy=2 D．x−y=2z
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的识别，解题的关键是掌握：含有两个未知数，并且所含
未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程．
【详解】解：A．该方程是二元一次方程，故此选项符合题意；
B．该方程所含未知数的项的次数不都是1，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程所含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D．该方程含有三个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意．
故选：A．
2. 下列选项是二元一次方程的是（ ）
x+2y 2 1
A．x+ y2=2 B． =0 C．x− =1 D．x+ y
3 y 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的
次数为1的整式方程叫作二元一次方程，据此可得答案．
【详解】解：A、x+ y2=2未知数的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意；
x+2y
B. =0是二元一次方程，符合题意；
32
C.x− =1不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；
y
1
D.x+ y不是方程，不是二元一次方程，不符合题意；
2
故选：B．
1 x−2 3
3．下列方程：① 3x+ =8；② +2y=4；③3x+ =1；④ x2=5 y+1；⑤
3 3 y
y=x．其中是二元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．
根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
1
【详解】解：① 3x+ =8，不是二元一次方程；
3
x−2
② +2y=4，是二元一次方程；
3
3
③3x+ =1，不是二元一次方程；
y
④ x2=5 y+1，不是二元一次方程；
⑤ y=x，是二元一次方程；
综上所述，共有2个二元一次方程，
故选：B．
4．若3xm+1+2y2n−3=−5是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m=0,n=2 B．m=0,n=−2 C．m=2,n=−2 D．m=−2,n=1
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义得到m+1=1,2n−3=1，
进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：m+1=1,2n−3=1，
∴m=0,n=2；
故选A．
5.若x|2m−3|+(m−2)y=6是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（ ）
A．1或2 B．1 C．2 D．3【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．
【详解】根据题意得，|2m−3|=1且m-2≠0 ，
所以，2m-3=1或2m-3=-1且m≠2，
解得m=2或m=1且m≠2，
所以m=1 ．
故正确选项为B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项
的次数是1的整式方程，要注意未知项的系数不等于0．
6．若x|2m−6|+(m−2)y=8是关于x、y的二元一次方程，则m的值是（ ）
A．1 B．3.5 C．2 D．3.5或2.5
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可．
【详解】根据题意得出：|2m﹣6|＝1且（m﹣2）≠0，
∴2m－6＝1或2m－6＝﹣1且m≠2
解得：m＝3.5或m＝2.5
故选：D
【点睛】本题考查二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的
次数是1的整式方程，要注意未知项系数不等于0，解题的关键是据此特点列方程．
7．若方程(a−5)x|a|−4+5 y=1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A．−5 B．±5 C．±4 D．5
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义可得|a|−4=1，且a−5≠0，再解即可得到答案．
【详解】解：依题意得：|a|−4=1，且a−5≠0，
解得a＝−5．
故答案选：A.
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方
程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
8．若方程(a+3)x|a|−2+3 y=1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为A．－3 B．±2 C．±3 D．3
【答案】D
【分析】试题分析：依题意知|a|−2=1且a+3≠0.解得x=3或x=-3（舍去）.故选D
考点：二元一次方程
点评：本题难度较低，主要考查学生对二元一次方程性质知识点的掌握．
【详解】请在此输入详解！
【解法提炼】
根据定义，通过未知数的次数为1，未知数系数不等于0，建立方程求字母的取值
二. 解二元一次方程组
【题型解读】此种题型主要考查选择适当的方法求解二元一次方程组
例1． 解方程组
(1)¿
(2)¿
(3)¿
(4)¿
【答案】(1)¿
(2)¿
(3)¿
(4)¿
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可；
（3）利用代入消元法解方程组即可；
（4）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：¿，
①×2得，6x+4 y=8③，
②+③得，11x=22，
解得：x=2，
把x=2代入①，得6+2y=4，
解得：y=−1，
∴方程组的解为¿．
（2）解：¿，①×2得，6x+2y=2③，
②+③得，7x=14，
解得：x=2，
把x=2代入①，得6+ y=1，
解得：y=−5，
∴方程组的解为¿．
（3）解：¿，
由②得，y=2−x③，
x+1 2−x−1
把③代入①得， − =−1，
5 2
解得：x=−1，
把x=−1代入③得，y=3，
∴方程组的解为¿．
（4）解：¿，
①×2得，x+1.4 y=70③，
③−②得，y=30，
把y=30代入②，得x+12=40，
解得：x=28，
∴方程组的解为¿．
对应练习：
1.解方程组(1)8−3(2x−4)=2(x+2)；
3 y−1 5 y−7
(2) −1= ；
4 6
(3)¿；
(4)¿．
【答案】(1)x=2
(2)y=−1
(3)¿
(4)¿
【分析】本题主要考查了解一元一次方程和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解一
元一次方程的基本步骤和解二元一次方程组的方法．
（1）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可；（2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可；
（3）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（4）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：8−3(2x−4)=2(x+2)
去括号得：8−6x+12=2x+4，
移项，合并同类项得：−8x=−16，
系数化为1得：x=2；
3 y−1 5 y−7
（2）解： −1= ，
4 6
去分母得：3(3 y−1)−12=2(5 y−7)，
去括号得：9 y−3−12=10 y−14，
移项，合并同类项得：−y=1，
即y=−1；
（3）解：¿，
由①得：y=−3x−3，
把y=−3x−3代入②得：2x+5(−3x−3)=11，
解得：x=−2，
把x=−2代入y=−3x−3得：y=3，
∴原方程组的解为：¿；
（4）解：¿，
①×5+②×3得：44 y=88，
解得：y=2，
把y=2代入①得：3x+14=11，
解得：x=−1，
∴原方程组的解为：¿．
2．解方程组：
(1)¿
(2)¿
【答案】(1)¿
(2)¿
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的
关键．（1）利用代入消元法，将方程①代入②，得3x−2(2x−3)=8，解得x的值，进而求得y
的值即可；
（2）利用加减消元法，将方程①×3−②×4，得y=3，然后将y=3代入②，得
3x−4×3=3，求得x的值即可．
【详解】（1）解：¿ ，
将①代入②，得3x−2(2x−3)=8，
解得x=−2，
将x=−2代入①，得y=2×(−2)−3=−7，
∴原方程组的解为¿；
（2）解：¿，
①×3−②×4，得y=3，
将y=−3代入②，得3x−4×3=3，
解得x=5，
∴原方程组的解为¿．
3．解下列方程组：
(1)¿
(2)¿
【答案】(1)¿
(2)¿
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的
方法，准确计算．
（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：¿，
把②代入①得：4x−3(7−5x)=17，
解得：x=2，
把x=2代入②得：y=7−5×2=−3，
∴原方程组的解为：¿；
（2）解：¿，
①×2+②×3得：13x=65，
解得：x=5，
把x=5代入②得：15−2y=−5，解得：y=10，
∴原方程组的解为：¿．
【解法提炼】1.当相同未知数的系数相等或互为相反数时，首选加减消元；
2.当位置数系数为±1时，可选择代入消元；
3.当未知数系数较大，直接用两种消元法解题较为麻烦，可先通过加减减小未知数的系数
再适当的选取方法.
三.特殊加减法解二元一次方程组
【题型解读】系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，
那么计算量很大，且易出现运算错误.
例1．解方程组¿
解：②−①，得3x+3 y=3，所以x+ y=1，③
③×14，得14x+14 y=14，④
①−④，得y=2，从而得x=−1，所以原方程组的解为¿．
对应练习：
1.解方程组¿；
解：①¿；
②−①得：4x+4 y=4，
两边除以4，得：x+ y=1③，
③×28−①得：−5 y=10，
解得：y=−2；
把y=−2代入③，解得：x=3；
故原方程组的解为：¿；
2.解方程组 ¿
解：¿，
①−②，得2x−2y=2，即x−y=1③，
①+②，得64x−48 y=80，即4x−3 y=5④，
联立③④，得¿，
解得¿，
故原方程组的解为¿；
3.解方程组¿；
解¿
②−①得：9x+9 y=9，
两边除以9，得：x+ y=1③，③×1999−①得：−16x=−32，
解得：x=2；
把x=2代入③，解得：y=−1；
故原方程组的解为¿；
4.求关于x，y的方程组¿的解
解：¿，
②−①得：(n−m)x+(n−m)y=n−m，
两边除以n−m，得：x+ y=1③，
③×m−①得：y=2，
把y=2代入③，解得：x=−1；
故原方程组的解为¿．
故答案为：¿．
【解法提炼】主要通过两个方程加减，将未知数的系数变小或化成±1,以达到简化计算的
目的
四. 整体法求二元一次方程组的解
【题型解读】此类题型两个方程组的未知数系数相同或者两个方程中有相同的整体部分.
例1． 若关于x，y的方程组¿的解为¿，则方程组¿的解为 ．
【答案】¿
【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解是
解题的关键．
令x−2=X，3 y=Y，得到关于X和Y的二元一次方程组的解，再代入并求出x和y即可求
解．
【详解】解：令x−2=X，3 y=Y，则方程组¿可变形为：
¿，
∵方程组¿的解为¿，
∴¿，
∴¿，
解得：¿，
故答案为：¿．
例2．解方程组¿
解：把②代入①，得x+2×1=3，解得x=1．
把x=1代入②，得y=0．所以原方程组的解为¿例3. 解方程组¿
解：设2x−y=m，x+3 y=n，原方程组可化为¿，解得¿，
即¿，所以原方程组的解为¿
对应练习：
1．已知关于x，y的二元一次方程组¿的解为¿，则关于x，y的二元一次方程组¿的解为
．
【答案】¿
【分析】首先把关于x，y的方程组¿整理为¿，再根据关于x，y的二元一次方程组¿解为¿，
对比后解方程即可．
【详解】解：方程组¿整理为¿，
∵关于x，y的二元一次方程组¿解为¿，
∴¿，
解得¿，
故答案为：¿．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的
方法，其中方程的转化是解题关键．
2．已知关于 x，y 的方程组¿的解为¿，则关于x，y的方程组¿的解为 ．
【答案】¿
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据原方程组变形得，¿，可得¿，即可求解．
【详解】解：把¿变形得，¿，
∵关于 x，y 的方程组¿的解为¿，
∴¿，
∴¿，
故答案为：¿．
3．若方程组¿的解为¿，则方程组¿的解为 ．
【答案】¿
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
设x+2=m.y−1=n，则方程组¿可化为¿，根据题意得出¿，即可求出x,y的值．
【详解】解：设x+2=m.y−1=n，则方程组¿可化为¿，
∵方程组¿的解为¿，
∴方程组¿的解为¿，
∴x+2=5，y−1=−2，∴x=3，y=−1，
∴方程组¿的解为¿，
故答案为：¿
4. 解方程组¿
解：将方程②变形为4x+10 y+ y=5，即2(2x+5 y)+ y=5③
把①代入③，得2×3+ y=5．
∴y=−1．
把y=−1代入①，得x=4．
∴方程组的解为¿
5.解方程组¿
解：¿，
把②代入①，得2×1+6=2a，解得a=4．
把a=4代入②，得b=3．
所以原方程组的解为¿；
6.已知¿，求3x+5 y+z的值．
解：¿，
将方程①变形为2(3x+5 y−2z)+5z=5③，
将②代入③，得2×10+5z=5，
解得z=−3．
把z=−3代入②，得3x+5 y=4．
所以3x+5 y+z=1．
7.解二元一次方程组¿；
解：设x−y=e，2x+ y=f，则原方程组可化为¿，
解得¿，即¿，
解得¿．
8. 解方程组：¿
解：设2x+ y=m，x−2y=n，则原方程组可化为¿，解方程组得¿，所以¿，解方程组得¿
9. 解方程组¿ ．
解：设x+ y=a,x−y=b，
则原方程组化为¿，
解得¿，
∴¿，解得¿；
【解法提炼】1.将两个方程组相同未知数构造为一样，然后整体替换未知数部分
2.两个方程中构造相同整体，整体代入解题
3.构造相同整体，整体换元求解
五.利用整体思想求代数式的值
【题型解读】这种一般是两个不含参的二元一次方程组，常规做法是直接解方程，但一
般不是最优方法，一般是构造整体解决问题.
例1． 已知二元一次方程组¿，则x−y的值为（ ）
A．2 B．−2 C．4 D．−4
【答案】B
【分析】本题考查解二元一次方程组，两个方程相减即可得出结果．
【详解】解：¿，
①−②，得：x−y=−2；
故选B．
对应练习：
1．已知x，y满足方程组¿，则x+ y的值为（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和整体思想．
两个方程相加，可得5x+5 y=75，即可求出的值．
【详解】解：¿，
①+②，得5x+5 y=75；
即x+ y=15；
故选：A
2.已知二元一次方程组¿，则x+ y的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和
或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的
具体值．把两个方程的左右两边分别相加，再都除以4047即可求解．
【详解】解：¿
①+②，得
4047x+4047 y=8094∴x+ y=2
3.已知二元一次方程组¿，则x−y的值为_______
解：¿由①−②得x−y=−1．
【解法提炼】此种题一般是通过加减法构造代数式整体求值
六.二元一次方程组同解问题
【题型解读】这种一般是两个含参二元一次方程组.
例1 .方程组¿和方程组¿的解相同，则ab=
【答案】4
【分析】将两方程组中的第一个方程联立求出x与y的值，进而得到关于a与b的方程组，
求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出ab的值．
【详解】解：根据题意得：¿ ，解得：¿ ，
可得 ¿，
①-②得：-6b=-6，即b=1；
①+②得：4a=16，即a=4，
则ab=4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未
知数的值．
对应练习：
1．已知方程组¿与方程组¿的解相同，求(2a+b) 2025的值．
【答案】−1
【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，理解题意掌握二
元一次方程组的解法是解题的关键．
根据题意得到方程组¿，解出x，y的值再代入¿可得出a，b的值，然后代入(2a+b) 2025求
解即可．
【详解】解：由题意可得：¿
解得¿
把¿代入¿，得¿
解得¿∴(2a+b) 2025=(2−3) 2025=−1．
2．关于x,y的方程组¿与¿有相同的解，求(−a) b的值
【分析】这道题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的概念，解题的关键是
通过重新联立方程组求出两个方程组的公共解．将两个方程组中的方程3x−y=5与
2x+3 y=−4重新联立方程组成方程组，求出相同解，然后将这个解代入到方程
4ax+5by=−22和方程ax−by=8中，得到关于a和b的方程组，最后解这个方程组，得到
a和b的值，然后计算(−a) b即可．
【详解】解：解方程组¿，解得¿，
将¿代入方程组¿，得¿，
解这个方程组得，¿，
∴(−a) b=(−2) 3=−8，
3．已知关于x、y的方程组¿和¿的解相同，求(3a+b) 2025的值
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使
方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的
解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可．
【详解】解：由题意得：¿，
解得：¿，
则有¿，
解得：¿，
∴(3a+b) 2025=[3×(−1)+2] 2025 =−1，
故选：B．
4．若关于x，y的两个方程组¿与¿有相同的解，则(a,b)在第_______象限
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．先由方程组¿求得
3x−2y=a+b，结合3x−2y=b+1，得到a+b=b+1，解得a=1，再分别求得x、y的
值，即可求得b的值，最后判断点(a,b)所在的象限．
【详解】解：方程组¿，
①+②得3x−2y=a+b，∵3x−2y=b+1，
∴a+b=b+1，
解得a=1，
∴x−y=1，即x=1+ y，
∵3 y−5x=a−8，
∴3 y−5(1+ y)=−7，
解得y=1，
∴x=1+1=2，
∵2x−y=b，
∴b=4−1=3，
∴点(a,b)即(1,3)在第一象限，
【解法提炼】通过联立不含参方程求解未知数的值，然后再求字母的取值
七. 二元一次方程组错解问题
【题型解读】这类题型一般涉及两个人，因为看错系数而错解引发的问题
例1 .甲、乙两人同时解方程组¿；甲看错了b，求得的解为¿；乙看错了a，求得的解为¿；
你能求出原题中正确的a，b吗？
【答案】能，a=2，b=−1
【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出a=4，
把乙求得的解代入②，求出b=−1，即可得到答案．
【详解】解：能．
甲看错了b，把甲求得的解¿代入①，
得a=2，
乙看错了a，把乙求得的解¿代入②，
得b=−1，
即a=2，b=−1．
对应练习：
1.甲、乙两人共同解方程组¿由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为¿，乙看错了方
程②中的b，得到方程组的解为¿，则10a+b的值 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．
根据方程的解的概念得出¿是方程②的解，¿是方程①的解，从而得到a、b满足−12+b=−2，5a+20=15，解之求出a、b的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：将¿代入4x−by=−2，
可得：−12+b=−2，5a+20=15，
解得：b=10，
将¿代入ax+5 y=15，
可得：5a+20=15，
解得：a=−1，
当a=−1，b=10时，10a+b=−10+10=0．
故答案为：0．
2．甲，乙两名同学解方程组¿．甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为¿；乙看错了方
程②中的b，得到方程组的解为¿．
(1)求a，b的值；
(2)求 (1 a ) 2024 −2b2023 的值．
2
【答案】(1)a=2，b=−1
(2)3
【分析】本题主要考查了代数式求值，二元一次方程组的错解复原问题：
（1）根据题意可得甲求出的方程组的解满足方程②，乙求出的方程组的解满足方程①，据
此可得¿，解之即可得到答案；
（2）根据（1）所求，代值计算即可．
【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的a，
∴甲求出的方程组的解满足方程②，
同理乙求出的方程组的解满足方程①，
∴¿，
解得a=2，b=−1；
（2）解：∵a=2，b=−1，
∴ (1 a ) 2024 −2b2023
2
= (1 ×2 ) 2024 −2×(−1) 2023
2=12024−2×(−1)
=1+2
=3．
3．甲乙两人同时解方程组¿ ，甲正确解得¿ ；乙因为抄错c的值，解得¿ ．求a，b，c的
值．
【答案】¿
【详解】试题分析：把¿代入方程组，把¿代入方程组中的第一个方程，即可得到一个关于
a、b、c的方程组，解方程组即可求解．
试题解析：根据题意得：¿，
解得：¿.
【解法提炼】将方程组得解代入未看错得方程中求解
八.含参二元一次方程组
【题型解读】一般是三个方程，分为两种情况①一个含参方程②两个含参方程
例1如果方程组¿的解是二元一次方程3x−5 y−32=0的一个解，那么m的值为（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组，及二元一次方程的解，准确计算是解本题的关键．
先利用加减消元法把x,y用m表示，然后把x,y代入3x−5 y−32=0，解关于m的方程即
可．
【详解】解：①+②，得2x=14m，
解得，x=7m，
①−②，得6 y=6m，
解得，y=m，
将x=7m,y=m代入3x−5 y−32=0得，3×7m−5m−32=0，
解得，m=2，
故选：D．
对应练习：
1．已知¿是关于x，y的方程组，则x+ y的值为（ ）
A．2 B．5 C．13 D．-1
【答案】B
【分析】此题考查了加减法解二元一次方程组．由①＋②得，x+ y+1=6，即可得到x+ y的值．
【详解】解：¿
①＋②得，x+ y+1=6
∴x+ y=5，
故选：B
2．若关于x、y的二元一次方程组¿的解x、y互为相反数，则m=
【答案】m=2
【分析】x、y的值互为相反数则x+y=0，根据题意得：¿ ，解方程组求得x和y的值，然后
代入x-y=3m求得m的值．
【详解】x、y的值互为相反数则x+y=0，
根据题意得：¿，
解得：¿ ，
把¿代入x-2y=3m得2-2×（-2）=3m，
解得：m=2．
【点睛】此题考查二元一次方程组的解，正确求得x和y的值是解题的关键．
3．已知关于x、y的方程组¿的解x，y的和为6，则k的值为 。
【答案】10
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，两式相加得：
3x+3 y=2k−2，根据x,y的和为6，整体代入即可得到k的值，熟练掌握二元一次方程
组的解，解一元一次方程并知道将x+ y=6整体代入是解决此题的关键．
【详解】解：两式相加得：3x+3 y=2k−2，
2k−2
∴x+ y= ，
3
∵x,y的和为6，
∴x+ y=6，
2k−2
∴ =6，
3
∴k=10，
故答案为：10．
4．关于x，y的方程组¿，若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的值为 ．
【答案】﹣1或﹣22
【分析】利用加减法解关于x、y的方程组得到x = ，利用有理数的整除性得到
2m+3
2m+3=±1，±2，从而得到满足条件的m的值．
2
【详解】¿，①+2×②得（2m+3）x=2，解得：x = ．
2m+3
∵x为整数，m为整数，∴2m+3=±1，±2，∴m的值为﹣1，﹣2．
故答案为﹣1或﹣2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，
叫作二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．
【解法提炼】
① 构造整体
② 联立不含参方程
③ .解含参方程
④消参
九.二元一次方程组与行程问题
【题型解读】此种题型主要考查数学建模解决行程问题.
例1．（24-25七年级上·山东临沂·期末）小明和小伟分别从A、B两地同时出发，小明骑
自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小
伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达B地．求A、B两地间的距离
【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，设小明骑自行车的速度为x千米/分，小伟步
行的速度为y千米/分，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系
列方程组求解是解决问题的关键．
【详解】解：设小明骑自行车的速度为x千米/分，小伟步行的速度为y千米/分，
4
则¿，解得x= ，
15
4
∴ A、B两地间的距离为30x=30× =8（千米），
15
对应练习：
1．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时
出发．如果相向而行，两人0.5h后相遇；如果同向而行，两人2h后相遇；求甲从A地到B
地需要多少时间．
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是分情况讨论．设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意列出二元一次方程组
求解即可．
【详解】设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y
根据题意得，¿或¿
s 4 s 4
解得 = 或 =
x 5 x 3
4 4
∴甲从A地到B地需要 或 h．
5 3
2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的
磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动
车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，求这对轮胎最多可以行驶多少公里．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为
k k
，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为 ，
6000 4000
设一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，
由题意可得¿，
k(x+ y) k(x+ y)
两式相加可得 + =2k，
6000 4000
解得：x+ y=4800，
故这对轮胎最多可以行驶4800公里，
3.（2025七年级下·全国·专题练习）小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h的速度
走平路，而后又以4km/h的速度上坡到达景区，共用了1.5h；返回时，他先以12km/h的
速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min，求从出发点到
景区的路程．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元
一次方程组．
设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意得：¿，
解得：¿，
则x+ y=6+3=9（千米），
答：从出发点到景区的路程是9千米．【解法提炼】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意找到等量关系是解题的
关键．主要利用路程=速度×时间
十.二元一次方程组与工程问题
【题型解读】此种题型主要考查数学建模解决工程问题.
例1．（24-25七年级下·全国·课后作业） 某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为
某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天
后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙
工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天施工多少米．
【答案】 44.5 42.5
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天
施工y米，根据题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，由题意，得：
¿，解得：¿，
答：甲工程队每天施工44.5米，乙工程队每天施工42.5米；
故答案为：44.5，42.5．
对应练习：
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）有一项要生产154个零件的任务．若甲先做5天，乙
再加入合作，则再做3天可超产2个；若乙先做5天，然后两人合做3天，则还有13个零
件未完成．求甲、乙每天生产多少个零件．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是找出等量关系，列方
程组求解．
设甲每天做x个，乙每天做y个，等量关系为：甲5天生产的零件+甲乙3天生产的零件
=154+2，乙5天生产的零件+甲乙3天生产的零件=154−3，列方程组求解．
【详解】解：设甲每天做x个，乙每天做y个，
由题意得：¿，
解得：¿，
答：甲每天做15个，乙每天做12个．
2.（24-25七年级下·全国·课后作业）某电动车制造厂接受了在预定期限内生产一批电动车
的任务．若每天生产35辆，则差10辆完成任务；若每天生产40辆，则可超额生产20辆．
该制造厂生产这批电动车的预定期限是多少天，计划生产多少辆电动车．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，依据题意列出方程组是正确解答此题的关键．
设预定期限为x天，计划生产y辆汽车，然后依据每天生产35辆，则差10辆才能完成任务，
每天生产40辆，则可超额生产20辆，列出方程组，接下来解这个关于x、y的方程组即可．
【详解】解：设预定期限为x天，计划生产y辆汽车，
根据题意得：¿，
解这个方程组得：¿，
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）琳琳家准备装修一套新房．若甲、乙两
家装修公司合作，需6周完成，共需装修费5.4万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙
公司来做，还需9周才能完成，共需装修费5.1万元，琳琳的爸爸妈妈商量后决定只选一
家公司单独完成．
(1)如果从节约时间的角度考虑应该选择哪家公司？
(2)如果从节约开支的角度考虑呢？
【答案】(1)从节约时间的角度考虑应该选择甲公司
(2)从节约开支的角度考虑应该选择乙公司
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n．依题意
列出二元一次方程组，再解得¿，即可作答．
（2）设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元．依题意列出二元一次方程组，
再解得¿，即可作答．
【详解】（1）解：设工作总量为1，甲公司每周的工作效率为m，乙公司每周的工作效率
为n．
根据题意，得¿，
解得¿，
1 1
∵ > ，
10 15
∴甲公司的工作效率高．
故从节约时间的角度考虑应该选择甲公司．
（2）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元．
根据题意，得¿，
解得¿，
由（1）可知，甲公司单独完成需要10周，乙公司单独完成需要15周，3 3
∴甲公司共需 ×10=6（万元），乙公司共需 ×15=4.5（万元）．
5 10
∵4.5万元<6万元，
∴从节约开支的角度考虑应该选择乙公司．
【解法提炼】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意找到等量关系是解题的
关键．主要利用工作量=工作效率×时间
十一.二元一次方程组与销售问题
【题型解读】此种题型主要考查数学建模解决销售问题.
例1．某商场积极落实增收减支．具体目标是：今年总销售额比去年增加20%，总支出比
去年减少20%．设该商场去年总销售额为x亿元，总支出为y亿元．
(1)请用含x，y的代数式填表：（不用化简）
年
总销售额/亿元 总支出/亿元
份
去
x y
年
今
年
(2)已知该商场去年的利润为2亿元．要确保今年的利润比去年增加1亿元，则该商场今年
的总销售额和总支出分别为多少亿元？（注：利润=总销售额−总支出）
【答案】(1)见解析
(2)该商场今年的总销售额为4.2亿元，总支出为1.2亿元
【难度】0.85
【分析】本题考查了列代数式、二元一次方程组的应用，理解题意正确列出代数式和二元
一次方程组是解题的关键．
（1）根据题意，用含x，y的代数式分别表示今年总销售额和总支出即可；
（2）根据“去年的利润为2亿元”和“今年的利润比去年增加1亿元”，列出二元一次方
程组，解出x,y的值即可解答．
【详解】（1）解：根据题意，填表如下：
年
总销售额/亿元 总支出/亿元
份
去
x y
年今
(1+20%)x (1−20%)y
年
（2）解：由题意得，¿，
解得：¿，
则(1+20%)x=1.2×3.5=4.2，(1−20%)y=0.8×1.5=1.2，
答：该商场今年的总销售额为4.2亿元，总支出为1.2亿元．
对应练习：
1．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮
妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一
个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元．
(1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
(2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是40%，
( 利润 )
求一个“妮妮”的售价. 利润率= ×100%
进价
【答案】(1)商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个；
(2)一个“妮妮”的售价为21元
【难度】0.65
【分析】（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和
“妮妮”共1000个，总共花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设一个“妮妮”的售价为m元，根据商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润
率是40%，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【详解】（1）解：设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，
由题意得：¿，
解得：¿，
答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个．
（2）解：设一个“妮妮”的售价为m元，由题意得：(28−20)×600+(m−15)×400=18000×40%，
解得：m=21，
答：一个“妮妮”的售价为21元．
2．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：
类
进价 售价
型
A款 m元 120元
B款 n元 90元
若商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；
该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．
(1)求m和n的值；
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可
获利多少元？
【答案】(1)m的值为80，n的值为60
(2)该商场可获利1100元
【难度】0.65
【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用以及有理数四则运算的实际应用．
（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15
个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值；
（2）根据购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，列出二元一次方程，根据
x,y为正整数，求出x,y的值，再列式计算即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：
¿，
解得：¿，
答：m的值为80，n的值为60；
（2）解：根据题意得120x+90 y=3300，即40x+30 y=1100，
∴(120−80)x+(90−60)y=40x+30 y=1100（元）
答：该商场可获利1100元．
3．“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉
灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸
器共需1950元．(1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元；
(2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器
在进价的基础上加价30%进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出
后共可获利多少元．
【答案】(1)一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元
(2)全部售出后共可获利1480元
【难度】0.85
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关
键．
（1）设一个干粉灭火器的进价为x元，一个消防自救呼吸器的进价为y元，根据题意列出
方程组，解出x,y的值即可解答；
（2）设购进干粉灭火器m个，购进消防自救呼吸器n个，根据题意列出方程组，解出m,n
的值，再计算获利即可解答．
【详解】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为x元，一个消防自救呼吸器的进价为y元，
由题意得，¿，
解得：¿，
答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元．
（2）解：设购进干粉灭火器m个，购进消防自救呼吸器n个，
由题意得，¿，
解得：¿，
∴购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个，
∴全部售出后共可获利60×30%×60+10×40=1480（元），
答：全部售出后共可获利1480元．
【解法提炼】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意找到等量关系是解题的
关键．主要利用利润=售价−进价，总售价=售价×数量，总进价=进价×数量
十二.二元一次方程组与几何问题
【题型解读】此种题型主要考查数学建模解决几何问题..
例1．（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）把10个相同的长方形拼接成一个大长方形（尺寸
如图所示），这个小长方形的宽为 cm．【答案】12
【分析】设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意列出方程组，解方程组，即可得
出答案．
【详解】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：¿，
解得：¿ ，
∴这个小长方形的宽为12cm，
故答案为：12
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找
出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小长方形的长与宽的关系．
对应练习：
1．（22-23七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那
样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八
凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为1mm的小正
方形！”设这些小长方形的长和宽分别为xmm和ymm，则依题意可列二元一次方程组为
．
【答案】¿
【分析】设小长方形长为xmm，宽为ymm，由图1、图2中的数量关系列出二元一次方程
组即可．
【详解】解：设小长方形长为xmm，宽为ymm，
由题意得：¿，
故答案为：¿．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组是解题的关键．
2．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成
正方形，4个矩形纸片围成如图①的正方形，其阴影部分的面积为25；8个矩形纸片围成
如图②的正方形，阴影部分的面积为16；12个矩形纸片围成如图③的正方形，求其阴影部
分的面积．
【答案】9
【分析】图①中阴影部分的边长为❑√25=5，图②中，阴影部分的边长为❑√16=4；设小矩
形的长为a，宽为b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出a，b的值，即可得到图③中，
阴影部分的面积．
【详解】解：由图可得，图①中阴影部分的边长为❑√25=5，图②中，阴影部分的边长为
❑√16=4；
设小矩形的长为a，宽为b，
依题意得：¿，
解得：¿，
∴图③中，阴影部分的面积为(a−3b) 2=(6−3×1) 2=32=9，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有时设与要求的未知量相关的另一些量
为未知数，即为间接设元，无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程，确定数量关
系是解答的关键．
3．（24-25七年级上·福建三明·期末）问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘
米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折
合起来，已知AB=3AD，求该长方体纸盒的体积；
(2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明
想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，
求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
10125
【答案】(1)①484；② 立方厘米；
8
(2)4厘米，或7厘米，或8厘米
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，
长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开
图得出长方体长宽高．
（1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可；
②设AD=x，AE= y，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答
案；
（2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为30−4×2=22（厘米），
∴长方体纸盒的底面积=22×22=484（平方厘米）；
故答案为：484；
②如图，设AD=x，AE= y，∵能折成一个无盖长方体纸盒，且AB=3AD，
∴AB=3AD=3x，
∴BE=3x+ y=30，BF=2x+2y=30，
即¿，
∴¿，
10125
∴3x×x×y= ，
8
10125
∴该长方体纸盒的体积为 立方厘米；
8
（2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米，
展开方式1如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴8m+4(30−2m)=156，
该方程无解；
展开方式2如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，∴6m+6(30−2m)=156，
∴m=4；
展开方式3如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴4m+8(30−2m)=156，
∴m=7，
展开方式4如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴4m+8(30−2m)=156，
∴m=7，
展开方式5如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，∴2m+10(30−2m)=156，
∴m=8，
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米．
【解法提炼】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意找到等量关系是解题的
关键．主要利用小长方形边长与大长方形边长之间关系建立等式
十三.二元一次方程组与方案问题
【题型解读】此种题型主要考查数学建模解决方案问题.
例1．（24-25七年级下·全国·单元测试） 某中学准备去采购A、B
两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都
不变），如表：
A（件） B（件） 金额（元）
第一次 20 10 1100
第二次 25 20 1750
(1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？
(2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？
【答案】(1)A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元
(2)共有3种采购方案
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列
出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程．
（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，根据两次采购A、B两种
实验器材的金额列出方程组求解即可；
（2）设购买A种器材m台，B种器材n台，根据预算为600元，列出方程，再结合m,n为
正整数求解即可．
【详解】（1）解：设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，
依题意，得¿，
解得¿，
答：A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元；
（2）解：设购买A种器材m台，B种器材n台．
5
由题意，得30m+50n=600,m=20− n，
3∵m,n为正整数，
∴当n=3时，m=15；
当n=6时，m=10；
当n=9时，m=5，
答：共有3种采购方案．
对应练习：
1．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）解答：
设计烟花采购方案
为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长
已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟花
素材1
需要950元．
某烟花厂提供产品信息如下：
（1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发．
素材2 （2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发．
（3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为40s
）
素 （1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花．
材
（2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽
3 放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间．
问题解决
任 确定单
求A、B型烟花每箱多少元？
务1 价
确定方
若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？
案①
任
务2
确定方 若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采购
案② 使得燃放时间最长？．
【答案】（1）A型烟花每箱100元，B型烟花每箱150元；（2）3120s；（3）分别购买
A，B，C型烟花各15、38、3箱时，燃放时间最长．
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解决此类问题的关键是分清题中数量关系，
找出等量关系列出方程，求方程组的解或者求整数解即可．
任务1根据条件列出二元一次方程组即可解决．
任务2的第①问设分别购买A，B型烟花a，b箱，根据“支出7800元购买烟花”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，再用a，b表示出烟花的燃放时间，整体代入即
可求出燃放时间．
任务2的第②问沿用第①问的思路，设分别购买A，B型烟花a，b箱，表示出购买C型烟
a
花 箱，根据“支出7800元购买烟花”这一条件列一个关于a，b的二元一次方程，进而
5
确定a要满足的条件，再用含a的式子表示出时长即可得到结论．
【详解】解：任务1：设A，B型烟花每箱分别为x元，y元，
由题意得¿ ，
解得¿ ，
答：A型烟花每箱100元，B型烟花每箱150元．
任务2：①设分别购买A，B型烟花a，b箱，
由题意得100a+150b=7800，
整理得，2a+3b=156，
∴燃放时长为5(8a+12b)=20(2a+3b)=3120s．
答：若仅购买A，B型烟花，可以燃放3120s．
a
②设分别购买A，B型烟花a，b箱，则购买C型烟花 箱，
5
a
∴100a+150b+200× =7800，整理得，14a+15b=780，
5
780−14a
∴b= ，
15
a
∵a，b， 均为正整数，
5
∴780−14a必须是15的倍数，
∴a必须是15的倍数，
( a) 780−14a
∵燃放时长t=5 8a+12b+15⋅ =55a+60b=55a+60⋅ =3120−a，
5 15
∴当a越小时，燃放的时长越长，
∴a=15，
a
∴b=38， =3，
5
∴分别购买 A，B，C型烟花各15、38、3箱时，燃放时间最长．2．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）每年的4月23日是世界读书日，某校打算在世
界读书日当天举办“阅读分享演讲比赛”，张老师负责这次比赛的奖品采购工作，如下是
他整理的采购方案表，请结合相关数据，解决任务（1）~（3）的问题．
“阅读分享演讲比赛”奖项设置和奖品采购方案表
奖项设
设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需确定获奖人数以及奖品购买方案．
置
已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520
成本
元；1盒水笔有12支，1包笔记本有16本．
预算 学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
①计划设置一等奖a人，二等奖30人，三等奖b人，且a<30
