文档内容
第 05 讲 勾股定理的逆定理【7 个必考点】
【人教版】
【知识点1 互逆命题与互逆定理】..........................................................................................................................1
【必考点1 判断逆命题的真假】..............................................................................................................................1
【知识点2 勾股定理的逆定理】..............................................................................................................................2
【必考点2 判断直角三角形的条件】.....................................................................................................................2
【必考点3 网格图中判断直角三角形】.................................................................................................................3
【知识点3 勾股数】..................................................................................................................................................4
【必考点4 勾股数的判断】......................................................................................................................................4
【必考点5 利用勾股定理逆定理在网格中求角的度数】.....................................................................................5
【必考点6 利用勾股定理逆定理求面积】.............................................................................................................6
【必考点7 利用勾股定理逆定理证垂直】.............................................................................................................7
【知识点1 互逆命题与互逆定理】
1.互逆命题
如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那
么另一个叫做它的逆命题.
2.互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理为互逆定理，其中一个定
理叫做另一个定理的逆定理.
【必考点1 判断逆命题的真假】
【例1】判断下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若a＞1且b＞1，则a+b＞2；③全等三角形对
应角相等；④直角三角形的两锐角互余．其中逆命题正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题
B．任何定理一定有逆定理
C．任何命题一定有逆命题
D．定理一定是命题，但不一定是真命题【变式2】下列命题的逆命题是真命题的个数是（ ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形；
②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；
③直角三角形的两个锐角互余；
④全等三角形的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】下列命题：
①全等三角形的对应角相等；
②一个正数的绝对值等于本身；
③若三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，则该三角形是直角三角形．
其中逆命题是真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【知识点2 勾股定理的逆定理】
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足 a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形
（1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边：
（2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方；
（3）比较二者是否相等；
（4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直
角三角形.
【必考点2 判断直角三角形的条件】
【例1】适合下列条件的△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则直角三角形的个数为（
）
①a： b：=1c：❑√3：2；
1 1
②∠A= ∠B= ∠C；
2 3
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
④a=❑√5，b=❑√12，c=❑√13；
⑤a＝82，b＝152，c＝172．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1】在△ABC中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①∠B＝∠C﹣∠A；②a2＝（b+c）（b﹣
c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：3；⑤a2：b2：c2＝1：2：3．其中，能判断
△ABC为直角三角形的条件有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】下面的三角形中：①△ABC中，∠C＝∠A﹣∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
1 1 1
③△ABC中，a：b：c＝5：12：13；④△ABC中，三边长分别为 ， ， ．其中，直角三角形的个
3 4 5
数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】如果△ABC的三边分别为m2﹣1，2m，m2+1，其中m为大于1的正整数，则（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边为m2﹣1
B．△ABC是直角三角形，且斜边为2m
C．△ABC是直角三角形，且斜边为m2+1
D．△ABC不是直角三角形
【必考点3 网格图中判断直角三角形】
【例1】如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在
格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式1】如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成三角形不是
直角三角形的是（ ）
A．△ABD B．△ADC C．△BCD D．△ABC
【变式2】如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（ ）
A．C B．C C．C D．C
1 2 3 4
【变式3】如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有 A、B、C、D、E、F、G七个点，则
在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点C B．点A、点D、点G
C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E
【知识点3 勾股数】
1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方.
3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数.
4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等.
【必考点4 勾股数的判断】
【例1】下列各组数据的三个数，是勾股数的有（ ）
①32，42，52
②6，8，10
③7，24，25
1 1 1
④ ， ，
3 4 5
⑤1.5，2，2.5A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
n n n
【变式1】当n为正整数时，下列各组数：①3n，4n，5n；② ， ， ；③2n﹣1，2n+1，2n+3．其中
3 4 5
是勾股数的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【变式2】如果m表示大于1的整数，设a＝2m，b＝m2﹣1，c＝2m2+2m，d＝m2+1，其中任选三个数能构
成勾股数的为（ ）
A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d
【变式3】观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，
32 +1 52 +1
144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ ．（提示：5= ，13=
2 2
，…）
【必考点5 利用勾股定理逆定理在网格中求角的度数】
【例1】如图，在2×3的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则∠AMB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
【变式1】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，则∠ACB＝（ ）
A．100° B．120° C．125° D．135°
【变式2】如图所示的网格是正方形网格，∠PAB﹣∠PCD＝（ ）°．（点A，B，C，D，P是网格线交
点）A．15 B．30 C．45 D．60
【变式3】如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【必考点6 利用勾股定理逆定理求面积】
【例1】某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形
状，经过同学共同努力，测得AB＝4m，AD＝3m，BC＝12m，CD＝13m，∠A＝90°．
（1）求B、D之间的距离；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式1】我区某校校园有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校拟对空地进行美化
施工，已知AB＝3米，BC＝4米，∠ABC＝90°，AD＝12米，CD＝13米，学校欲在此空地上铺草坪．
（1）求四边形的空地ABCD的面积；
（2）已知草坪每平方米160元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
【变式2】如图有一块等腰三角形菜地，其中AC＝BC＝26，AB＝20，点E为AB的中点．现需要开辟一块
△AEF的空地用于堆肥，已知AF＝8，EF＝6．（1）你能确定△AEF的形状吗，请说明理由；
（2）计算阴影部分的面积．
【变式3】某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所
示）已知AB＝12m，BC＝9m，CD＝8m，AD＝17m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．
（1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点 A到点C的小路，请问这条小路的
最短长度是多少m？
（2）这块绿化用地的面积是多少m2？
【必考点7 利用勾股定理逆定理证垂直】
【例1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，联结AD．
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（1）如果AC＝6，BD= ，CD= ，求证：∠C＝90°；
4 4
（2）如果∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝4，求AC的长．
【变式1】如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点E和D，且CB2＝AD2﹣CD2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝4，BC＝3，求CD的长．
【变式2】如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝AC由
于某种原因，由C到A的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占 H（A，H，B
在同一条直线上），并修建一条路CH，测得CB＝2.5千米，CH＝2千米，HB＝1.5千米，
（1）问CH是不是村庄C到河边最近的一条路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【变式3】如图，在△ABC中，BC＝2，AC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，且
AD=❑√5．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：∠BCA＝90°；
（2）求AF的长．
