文档内容
第 03 讲 矩形的性质和判定
【题型1 利用矩形的性质求角度】
【题型2根据矩形的性质求线段长】
【题型3根据矩形的性质求面积】
【题型4矩形与折叠问题】
【题型5直角三角形斜边上的中线】
【题型6矩形的判定】
【题型7 矩形的性质与判定综合】
考点 1：矩形的性质
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2）对角线相等
（3）四个角都是直角。
注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）
【题型1 利用矩形的性质求角度】
【典例1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于
点O，AE平分∠BAD交BC于点E，如果BO=BE，那么∠BOE的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．67.5°
【答案】C1
【分析】根据矩形性质得出：∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD，AO=CO= AC，
2
1
BO=DO= BD，根据等腰三角形的判定得出AB=BE，证明△ABO为等边三角形，
2
180°−30°
得出∠ABO=60°，根据等腰三角形的性质得出∠BOE=∠BEO= =75°
2
即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD，AO=CO= AC，BO=DO= BD，
2 2
∴AO=BO=CO=DO，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴AB=BE，
∵BO=BE，
∴AB=BO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°−60°=30°，
∵BO=BE，
180°−30°
∴∠BOE=∠BEO= =75°，
2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判
定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
【变式1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于
点E，∠BAE:∠EAD=3:2，则∠CAE的度数是（ ）A．36° B．54° C．18° D．以上都不对
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由四边形
ABCD是矩形，则∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OD=OB，根据
∠BAE:∠EAD=3:2，得∠BAE=54°，∠EAD=36°，又AE⊥BD，则
∠BEA=∠DEA=90°，然后由三角形内角和定理得∠ABE=∠OAB=36°，最后由
角度和差即可求解，熟练掌握矩形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC，OD=OB，
∴OA=OB，
∴∠ABE=∠OAB，
∵∠BAE:∠EAD=3:2，
∴∠BAE=54°，∠EAD=36°，
∵AE⊥BD，
∴∠BEA=∠DEA=90°，
∴∠ABE=90°−∠EAB=∠OAB=36°，
∴∠CAE=∠BAE−∠OAB=54°−36°=18°，
故选：C．
【变式1-2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在
直线a，b上．若a∥b且∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】此题主要考查平行线的性质，矩形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线
进行求解． 作BF∥a，证明BF∥b，根据平行线的性质与矩形性质即可求解．【详解】解：如图，作BF∥a，
∴∠3=∠1=40°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠4=50°，
∵BF∥a，a∥b，
∴BF∥b，
∴∠5=∠4=50°，
∴∠2=180°−∠5−90°=40°，
故选B．
【变式1-3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形ABCD是矩形，分别以点A
1
和点C为圆心，大于 AC长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线MN分别交
2
AD，BC于点E，F，连接AF，CE，若∠ACB=28°，则∠BAF= ．
【答案】34°/34度
【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角
对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键．
由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，可得AF=CF，则
∠CAF=∠ACF=28°．结合矩形的性质可得
∠BAD=90°，∠DAC=∠ACB=28°，再根据
∠BAF=∠BAD−∠CAF−∠DAC即可解答．【详解】解：由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF=28°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=28°，
∴∠BAF=∠BAD−∠CAF−∠DAC=34°．
故答案为：34°．
【题型2根据矩形的性质求线段长】
【典例2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在矩形ABCD中，若对角线AC=4，
则BD= ．
【答案】4
【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形的对角线相等即可得解，熟练掌握矩形的性
质是解此题的关键．
【详解】解：∵在矩形ABCD中，对角线AC=4，
∴BD=AC=4，
故答案为：4．
【变式2-1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交
于点O，若AB=6cm，BC=8cm，则△ABO的周长是 cm．
【答案】16
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．由矩形的性质可得AC=BD，AO=CO，
BO=DO，∠ABC=90°，由勾股定理可求AC=10，进一步计算即可求△ABO的周
长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∠ABC=90°．
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴BD=AC=❑√AB2+BC2=10，
∴AO=BO=5，
∴△ABO的周长=AB+AO+BO=6+5+5=16(cm)．
故答案为：16．
【变式2-2】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形ABCD中，P,Q分别是
BC,DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点，BC=12，DQ=5，则线段EF的
长为 ．
【答案】6.5
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅
助线是解题关键．连接AQ，利用勾股定理解得AQ的值，然后根据三角形中位线的性
质求解即可．
【详解】解：连接AQ，如下图，
∵四边形ABCD是矩形，BC=12，DQ=5，
∴AD=BC=12，∠D=90°，
∴在Rt△ADQ中，AQ=❑√AD2+DQ2=❑√122+52=13，
∵E、F分别是AP、PQ的中点，
1
∴EF= AQ=6.5．
2
故答案为：6.5．
【变式2-3】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分1
别以点B和D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，②作直线
2
EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，若DM=5，CM=3，则MN= ．
【答案】2❑√5
【分析】如图，连接BM，由作图可知MN垂直平分线段BD，由垂直平分线的性质，
矩形的性质勾股定理可得BC=4,BD=4❑√5,OM=❑√5，再证
△MDO≅△BNO(ASA)，得到OM=ON=❑√5，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接BM，
由作图可知MN垂直平分线段BD，
1
∴BM=DM=5，BO=DO= BD，
2
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°,CD∥AB，CD=DM+CM=5+3=8，
∴BC=❑√BM2−CM2=❑√52−32=4，
∴BD=❑√CB2+CD2=❑√42+82=4❑√5，
∴OB=OD=2❑√5，
∵∠MOD=90°，
∴OM=❑√DM2−OD2=❑√52−(2❑√5) 2=❑√5，
∵CD∥AB，
∴∠MDO=∠NBO，在△MDO和△NBO中，
{∠MDO=∠NBO
)
OD=OB ，
∠MOD=∠NOB
∴△MDO≅△BNO(ASA)，
∴OM=ON=❑√5，
∴MN=2❑√5，
故答案为：2❑√5．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，尺规作垂直平分线及其性质，勾股定理，全等三
角形的判定和性质的综合．掌握垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形
的性质是解题的关键．
【题型3根据矩形的性质求面积】
【典例3】（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，矩形ABCD面积为40，点P在
边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．若AC=10，则PE+PF=
（ ）．
A．4 B．2.5 C．5 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积公式，令AC与BD相交于点O，连接OP，
1 1
由矩形的性质得出OA=OC=OB=OD= AC=5，S = S =10，结合
2 △COD 4 矩形ABCD
1 1 1
S =S +S = OD⋅FP+ OC⋅PE= ×5×(PE+PF)，计算即可得出
△COD △POC △DOP 2 2 2
答案，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，令AC与BD相交于点O，连接OP，，
∵四边形ABCD是矩形，
1
∴OA=OC=OB=OD= AC=5，
2
∵矩形ABCD面积为40，
1
∴S = S =10，
△COD 4 矩形ABCD
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
1 1 1
∴S =S +S = OD⋅FP+ OC⋅PE= ×5×(PE+PF)，
△COD △POC △DOP 2 2 2
1
∴ ×5×(PE+PF)=10，
2
∴PE+PF=4，
故选：A．
【变式3-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一
点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE=2，
PF=8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明
S =S ，即可求解．
△PEB △PFD
【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S =S ，S =S ，S =S ，S =S ，S =S ，
△ADC △ABC △AMP △AEP △PBE △PBN △PFD △PDM △PFC △PCN
1
∴S =S = ×2×8=8，
△DFP △PBE 2
∴S =8+8=16，
阴
故选：C．
【变式3-2】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，若将四根木条钉成的矩形木
框变形为平行四边形ABCD，并使其最小内角为30°，则这个四边形周长不变，面积
变为原来的 ．
1
【答案】一半/ /0.5
2
【分析】主要考查了平行四边形的面积公式和基本性质，直角三角形中，30°的角对
的直角边等于斜边的一半．作出高构造含有30°的直角三角形是解题关键．
1
过点A作AE⊥BC于点E，在直角三角形ABE中，∠ABE=30°，可得AE= AB，
2
再由平行四边形面积公式可得面积为矩形面积的一半．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
在直角三角形ABE中，
∵∠ABE=30°
1
∴AE= AB，
2
1 1
∴S =BC⋅AE= BC·AB= S ．
▱ABCD 2 2 矩形ABCD
故答案为：一半．【变式3-3】（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD上一
点K分别作MN∥AD，PQ∥AB，其中点M，N，P、Q分别在边AB、CD、AD、
BC上，记四边形AMKP的面积为S ，四边形CNKQ的面积为S ，则S 与S 的大小关
1 2 1 2
系是 ．
【答案】S =S /S =S
1 2 2 1
【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．由矩形的性质可得
AD∥BC，AB∥CD，S =S ，由题意可证四边形BMKQ是平行四边形，
△ABD △BCD
四边形PKND是平行四边形，可得S =S ，S =S ，即可求解．
△BQK △BMK △PKD △DNK
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，S =S ，
△ABD △BCD
∵MN∥AD，PQ∥AB，
∴四边形BMKQ是平行四边形，四边形PKND是平行四边形，
∴S =S ，S =S ，
△BQK △BMK △PKD △DNK
∵S =S −S −S ，S =S −S −S ，
1 △ABD △BMK △PKD 2 △BCD △BQK △DNK
∴S =S ，
1 2
故答案为：S =S ．
1 2
【题型4矩形与折叠问题】
【典例4】（23-24八年级下·山西·期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C
落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由矩形性
质得AB=CD，∠C=∠A=90°，再根据折叠的性质得C′D=CD=AB，
∠C′=∠C=∠A，证明△ABE≌△C′DE(AAS)，设DE=BE=x，则AE=8−x，然
后在直角三角形ABE中根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠C=∠A=90°，
由折叠的性质可得：C′D=CD=AB，∠C′=∠C=∠A，
在△ABE与△C′ED中，
{
C′D=AB
)
∠C′ED=∠AEB ，
∠C′=∠A
∴△ABE≌△C′DE(AAS)，
∴DE=BE，
设DE=BE=x，则AE=8−x，
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，
∴x2=(8−x) 2+16，
解得：x=5，
∴DE=5，
故选：B．
【变式4-1】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形ABCD中，AB=8、
AD=10，点E为DC边上的一点，将△ADE沿直线AE折叠，点D刚好落在BC边上的
点F处，则DE的长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，根据矩形的性质得DC=8，
AD=10，再根据折叠的性质得到AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾
股定理易得BF=6，设DE=x，则EF=x,EC=8−x,在Rt△CEF中，利用勾股定理
可求出x的值．
【详解】解：∵在长方形ABCD中，AB=8、AD=10，
∴DC=8，AD=10，∠D=∠B=∠C=90°
又∵将△ADE沿直线AE折叠，
∴AF=AD=10，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
在Rt△ABF中，BF=❑√AF2−AB2=❑√102−82=6，
∴FC=BC−BF=10−6=4，
设DE=x，则EF=x,EC=8−x,
在Rt△CEF中，EF2=FC2+EC2，
∴x2=42+(8−x) 2，
解得x=5，
即DE的长为5．
故选：C．
【变式4-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，将一个边长分别为AB=4,BC=8的
矩形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D翻折到点D′处，则折痕EF的长是（ ）A．❑√3 B．2❑√3 C．❑√5 D．2❑√5
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由折
叠的性质可得OA=OC，AE=CE，证明△AOF≌△COE得到OE=OF，由勾股定理
得到AC=4❑√5，则OA=OC=2❑√5，设AE=EC=x，则BE=8−x，由勾股定理得：
42+(8−x) 2=x2，解方程得到CE=5，则OE=❑√52−(2❑√5) 2=❑√5，弧
EF=2OE=2❑√5．
【详解】解：如图所示，连接AC交EF于点O，
由折叠可知，EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE
在矩形纸片ABCD中，AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE，∠OFA=∠OEC，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE=OF，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=8，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√42+82=4❑√5，
∴OA=OC=2❑√5，
设AE=EC=x，则BE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：42+(8−x) 2=x2，
解得：x=5，
∴CE=5，
在Rt△AOE中，OE=❑√52−(2❑√5) 2=❑√5，
∴EF=2OE=2❑√5，
故选：D．
【变式4-3】（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，BC=6，
CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段
DE的长为 ．
【答案】3.75
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，平行线的性质；解题的关键是
根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．首
先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，
解方程即可解决问题．
【详解】解： ∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，AB=CD=3，∠ABC=∠C=∠CDA=∠A=90°，
∴∠EDB=∠DBC，
设ED=x，则AE=6−x，
根据折叠可知：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x，
由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，
即x2=32+(6−x) 2，
解得：x=3.75，∴ED=3.75．
故答案为：3.75．
考点2：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
【题型5直角三角形斜边上的中线】
【典例5】（23-24八年级下·河南漯河·期中）如图，在△ABC中，AB=6，BC=12，点
D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，若
∠AFB=90°，则线段EF的长为 ．
【答案】3
1
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE= BC=6，根据直角三角形斜边中线的性
2
1 1
质可得DF= AB= ×6=3，由此可解EF=EF−DF=6−3=3．
2 2
【详解】解：因为：点D、E分别是边请AB、AC的中点，
所以：DE为△ABC中位线，
1
所以：DE= BC=6，
2
因为：∠AFB=90°，
所以：D为直角三角形斜边中线，
1 1
所以：DF= AB= ×6=3，
2 2
由此可解EF=EF−DF=6−3=3．故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是
掌握：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半；直角三角形斜边中
线等于斜边的一半．
【变式5-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是
∠BAC的平分线，且AD=8，BC=12，点E是AC的中点，则DE的值为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质．
1
根据等腰三角形“三线合一”的性质可得CD= BC=6，AD⊥BC，根据勾股定理
2
求出AC的长度，最后根据直角三角形斜边上是中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
1
∴CD= BC=6，AD⊥BC，
2
根据勾股定理可得：AC=❑√AD2+CD2=10，
∵点E为AC中点，
1
∴DE= AC=5，
2
故答案为：5．
【变式5-2】（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，公路AC，BC互相垂直，公路
AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1km，则M，C两点间的距离为
km．【答案】1
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半，即可得出结论．
【详解】解：∵公路AC,BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∵点M是AB的中点，
1
∴CM= AB=AM=1km；
2
故答案为：1．
【变式5-3】（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）如图，边长为2的正△ABC，两顶点
A、B 分别在直角∠MON的两边上滑动，点C在∠MON的内部，则OC的长的最大
值为 ；
【答案】❑√3+1/1+❑√3
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判
定出当O、D、C三点共线时，OC最长是解题的关键．取AB的中点D，连接CD，
OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OD的长度，再根据等边三角
形的性质求出CD的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD+CD>OC，
判定当O、D、C三点共线时，OC最长，然后求解即可．
【详解】解：如图，取AB的中点D，连接CD，OD，
∵∠AOB=90° D AB
，点 为 的中点，
1
∴OD=AD=BD= ×2=1，
2
∵等边三角形ABC的边长为2，CD为中线，
∴CD⊥AB，∴CD=❑√AC❑2 −AD2=❑√3，
在△ODC中，OD+CD>OC，
∴当O、D、C三点共线时，OC最长，最大值为❑√3+1，
∴OC的最大值为：❑√3+1，
故答案为：❑√3+1
考点3：矩形的判定
※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）四个角都相等的四边形是矩形。
【题型6矩形的判定】
【典例6】（2024·四川内江·二模）在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，点F在AB上，且
AF=CE，连接DF．
(1)求证：△ADF≌△CBE；
(2)连接CF，若CF平分∠BCD，且CE=3，BE=4，判断四边形BEDF的形状，并
求其面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形是矩形，32
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰
三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型．
（1）由平行四边形的性质得到AB=CD,∠A=∠BCE,BC=AD，结合AF=CE即
可证明；
（2）证明四边形BEDF是平矩形，由矩形的性质得DE=BF，由角平分线的定义得到∠DCF=∠BCF，由平行线的性质得到∠DCF=∠CFB，证出BF =BC=5，进
而解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,BC=AD,AB∥CD,AD∥BC，∠A=∠BCE，
∵AF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)；
（2）解：∵AF=CE，AB=CD，
∴AB−AF=CD−CE，即BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
又∵BE⊥CD，
∴∠BED=90°，
∴平行四边形BEDF为矩形；
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF,
∵AB∥CD，
∴∠BFC=∠DCF，
∴∠BCF=∠BFC，
∴BC=BF，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC=❑√CE2+BE2=❑√32+42=5，
∴BC=BF=5，
又∵AF=CE=3，
∴CD=AB=BF+AF=5+3=8，
∴S =CD⋅BE=8×4=32．
□ABCD
【变式6-1】（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于
O，将△ABO平移到△DCE，若AC=2，BD=4，AB=❑√5，求证：四边形OCED是
矩形．【答案】见解析
1 1
【分析】由平行四边形的性质可得出OB= BD=2， OA= AC=1，由勾股定理逆
2 2
定理可得出∠AOB=90°，由对顶角相等可得出∠COD=∠AOB=90°，由平行的
性质可得出四边形OCED是平行四边形， 进而可得出▱OCED是矩形．
【详解】证明：∵ABCD是平行四边形
1 1
∴OB= BD=2， OA= AC=1
2 2
∵AB=❑√5，
∴OB2+OA2=AB2
∴∠AOB=90°，
∴∠COD=∠AOB=90°，
由平移知：OC∥DE，OD∥CE，
∴四边形OCED是平行四边形
∴▱OCED是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定，勾股定理逆定理
的应用，以及平移的性质，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键．
【变式6-2】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，
∠DBC=90°，点E在CB的延长线上，且EB=BC，连接AE、DE．
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)若CD=10,CB=6，求四边形AECD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)72
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，证明
四边形AEBD是矩形是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得到AD∥EB，AD=EB，证明四边形AEBD是平行四边
形，又由∠DBC=90°即可证明四边形AEBD是矩形；1
（2）求出BD=❑√CD2−BC2=8，求出S = CB⋅BD=24，
△CBD 2
S =EB⋅BD=48，即可求出答案．
矩形AEBD
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥EC，AD=BC，
∴AD∥EB，
∵EB=BC，
∴AD=EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵∠DBC=90°，
∴∠DBE=180°−∠DBC=90°
∴四边形AEBD是矩形；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=10，
∵∠DBC=90°，
∴BD=❑√CD2−BC2=8
1 1
∴S = CB⋅BD= ×6×8=24
△CBD 2 2
∵EB=CB=6，
∴S =EB⋅BD=48
矩形AEBD
∴四边形AECD的面积=S +S =24+48=72
△CBD 四边形AEBD
【变式6-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在▱ABCD中，O是AD的中点，连
接BO，BO,CD的延长线相交于点E，连接AE,BD．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形．
(2)若∠BOD=2∠C，求证：四边形ABDE是矩形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质证明△BOA≌△EOD(ASA)，得到AB=DE．
又根据AB∥DE，即可证明；
（2）利用平行四边形的性质结合∠BOD=2∠C，证明∠BOD=2∠OAB，得到
∠OAB=∠OBA，进而推出OA=OB．再根据四边形ABDE为平行四边形，即可证
明．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD=∠EDA．
∵O是AD的中点，
∴AO=DO．
在△BOA和△EOD中，
{∠BAO=∠EDO,
)
AO=DO,
∠AOB=∠DOE,
∴△BOA≌△EOD(ASA)，
∴AB=DE．
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠OAB=∠C．
∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠BOD=2∠C，
∴∠BOD=2∠OAB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB．
∵四边形ABDE为平行四边形，
∴AD=2OA，BE=2OB，
∴BE=AD，
∴四边形ABDE是矩形．
【题型7 矩形的性质与判定综合】
【典例7】（2024·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相
交于点O，AD⊥DB，点E，F分别是CD，BC的中点．(1)求证：四边形OEFB是矩形；
(2)若AD=4，AC=10，求四边形OEFB的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理和勾股定理，
1
（1）根据题意得BO=DO= BD,AD∥BC．由三角形中位线定理得EO,EF是
2
△CDB的中位线，则EO∥BC,EF∥DB，那么，四边形OEFB是平行四边形，结合
垂直得∠CBD=∠ADB=90°，即四边形OEFB是矩形．
1 1 1
（2）由（1）可知OE= BC= AD,则OE=2，AO= AC．在Rt△ADO中求得
2 2 2
DO=❑√AO2−AD2，则OB=DO=3，即可求得四边形OEFB的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
1
∴BO=DO= BD,AD∥BC．
2
又∵点E,F分别是CD,BC的中点，
∴EO,EF是△CDB的中位线，
∴EO∥BC,EF∥DB，
∴四边形OEFB是平行四边形，
∵AD⊥DB,AD∥BC，
∴∠CBD=∠ADB=90°，
∴四边形OEFB是矩形．
1 1
（2）解：由（1）可知OE= BC= AD,
2 2
AD=4,
∵OE=2，
∵∴ AC=10．1
∴AO= AC=5．
2
在Rt△ADO中，AD=4,AO=5,∠ADO=90°，
∴DO=❑√AO2−AD2=3，
∴OB=DO=3，
∴四边形OEFB的面积是OE×OB=2×3=6．
【变式7-1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥CD，
延长CD至点E，使得DE=CD，连接AE．
(1)求证：四边形ABDE为矩形；
(2)连接BE，若∠CBD=30°，CD=2，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）结合四边形ABCD是平行四边形，知道AB∥CD，AB=CD，通过
DE=CD，先证明四边形ABDE是平行四边形，结合BD⊥CD，证明出来四边形
ABDE为矩形；
（2）通过30度所对的直角边等于斜边的一半，计算出BC的长度，再证明
△BCD≌△BED，从而推出BE的长度．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∵DE=CD
∴AB=DE
又∵AB∥DE
∴四边形ABDE是平行四边形
∵BD⊥CD
∴四边形ABDE是矩形
（2）∵ ∠CBD=30°，CD=2，BD⊥CD∴BC=2CD=4
∵CD=DE，BD⊥CD，BD=BD
∴△BCD≌△BED
∴BE=BC=4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，全等三角形的判定与性
质，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式7-2】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D
是AB上一点，AD=DC，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点
F，∠DFC=90°．
(1)求证：四边形CEDF是矩形；
(2)若∠B=30°，AD=2，连接BE，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)❑√13
【分析】本题考查矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三
角形以及勾股定理：
（1）先证明∠EDF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形即可得证；
（2）先求出∠A=60°，推出△ACD为等边三角形，根据含30度角的直角三角形的
性质，求出CE，BC的长，勾股定理求出BE的长即可．
【详解】（1）解：∵DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，
∴∠ADC=2∠CDE,∠CDB=2∠CDF，
∵∠ADC+∠CDB=180°，
∴∠CDE+∠CDF=90°即∠EDF=90°，
∵∠DFC=90°，∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形；
（2）连接BE，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠A=60°，
∵AD=DC，
∴△ACD为等边三角形，
∴AC=AD=2
∵四边形CEDF是矩形，
∴DE⊥AC，
∴AE=CE=1，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=4，BC=❑√42−22=2❑√3，
∴BE=❑√BC2+AE2=❑√13．
【变式7-3】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在四边形ABCD中，已知
AB∥DC,AD∥BC,∠BAD=∠D，点E为DC边的中点，点F为BC边的中点，延
长AF,DC交于点G．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若AB=6,∠AED=2∠BAF，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)36❑√2
【分析】（1）根据AB∥DC,AD∥BC判定四边形ABCD为平行四边形，
∠BAD+∠D=180°，结合∠BAD=∠D，得到∠BAD=∠D=90°，继而得证四
边形ABCD为矩形．（2）先证明△ABF≌△GCF(ASA)，得到AB=GC=6，结合点E为DC边的中点，
1 1
可以得到CE=DE= CD= AB=3，继而得到EG=EC+CG=9，结合
2 2
∠AED=2∠BAF，∠AED=∠G+∠EAG，∠G=∠BAF，可证∠G=∠EAG，
继而得到AE=EG=9，利用勾股定理，得AD=❑√AE2−DE2=6❑√2，根据矩形的面
积公式计算四边形ABCD的面积即可．
【详解】（1）∵AB∥DC,AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，∠BAD+∠D=180°，
∵∠BAD=∠D，
∴∠BAD=∠D=90°，
∴四边形ABCD为矩形．
（2）∵四边形ABCD为矩形，AB=6
∴AB=CD=6，∠B=∠D=∠GCF=90°，AB∥CD，
∴∠G=∠BAF；
∵点F为BC边的中点，
∴BF=CF，
{
∠B=∠GCF
)
∵ BF=CF ，
∠BFA=∠CFG
∴△ABF≌△GCF(ASA)，
∴AB=GC=6，
∵点E为DC边的中点，
1 1
∴CE=DE= CD= AB=3，
2 2
∴EG=EC+CG=9，
∵∠AED=2∠BAF，∠AED=∠G+∠EAG，
∴∠G=∠EAG，
∴AE=EG=9，
∴AD=❑√AE2−DE2=6❑√2，
∴四边形ABCD的面积AB·AD=36❑√2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，勾
股定理，熟练掌握判定和勾股定理是解题的关键．
一、单选题
1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2cm，点
D为AB的中点，则CD=（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
1
∴CD= AB=1cm，
2
故选A．
2．（23-24八年级下·广西防城港·期末）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对
边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩
形．其中的道理是（ ）A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的
判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，
根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对
角线是否相等；
【详解】解：如图，
∵两组对边的长度分别相等，AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵测量它们的两条对角线相等，AC=BD，
∴平行四边形ABCD为矩形．
故选择B．
3．（22-23八年级下·黑龙江绥化·期末）矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如
果∠ADO=75°，那么∠AOD的度数是（ ）
A．30° B．55° C．60° D．75°
【答案】A
【分析】根据矩形的性质证得OA=OD，根据三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴OA= AC，OD= BD，AC=BD，
2 2
∴OA=OD，
∵∠ADO=75°，
∴∠DAO=75°，
∴∠AOD=180°−75°−75°=30°．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知
识，掌握矩形的性质是解题的关键．
4．（22-23八年级下·广东韶关·期末）把一张长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B
和点D重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】D
【分析】根据长方形的性质得出∠C=90°，DC=AB=4，由折叠的性质可得：
BF=DF，设BF=DF=x，则CF=8−x，根据勾股定理得出：(8−x) 2+42=x2，解
方程即可得出答案．
【详解】解：∵长方形ABCD中AB=4，BC=8，
∴∠C=90°，DC=AB=4，
由折叠的性质可得：BF=DF，
设BF=DF=x，则CF=8−x，
根据勾股定理得出：(8−x) 2+42=x2，
解得：x=5，即DF=5，
故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题
5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，∠BOD=60°，BO=DO，点A在OB
上，四边形ABCD是矩形，且AB=3，连接AC,BD交于点E，连接OE．则OE=
．
【答案】3❑√3
【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性
质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
根据矩形性质得EA=EB=EC=ED，根据∠BOD=60°,BO=DO得△BOD为等边
三角形，则OE⊥BD,∠OBD=60°，由此△ABE为等边三角形，则
EA=EB=AB=3，进而得BO=DO=BD=6，然后在Rt△OBE中由勾股定理即可求
出OE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点E，
∴EA=EB=EC=ED，
∵∠BOD=60°,BO=DO，
∴△BOD为等边三角形，
∴OE⊥BD,∠OBD=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴EA=EB=AB=3，
∴EA=EB=EC=ED=3，
∴BD=BE+DE=6，
∴BO=DO=BD=6，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：
OE=❑√BO2−BE2=❑√62−32=3❑√3．故答案：3❑√3．
6．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出
两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB=CD、EF=GH；然后摆放成如图②
四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直
角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的
数学原理是： ．
【答案】 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形
【分析】本题考查的是平行四边形和矩形的判定，根据两组对边相等的四边形是平行
四边形和有一个角是直角的平行四边形是矩形，作答即可．
【详解】因为AB=CD、EF=GH，
所以窗框是平行四边形，
当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．
故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
7．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，过点A作AE⊥BD，点E恰好为BO的中点，BD=2cm，则矩形ABCD的面积为
cm2．
【答案】❑√3
【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握
矩形的对角线相等且平分，是解题的关键．先证明△ABO是等边三角形，求出
1 1
AB= AC= BD=1，进而求出BC=❑√3，利用BC⋅AB即可得解．
2 2
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD,OB=OD=OA=OC,∠ABC=90°，∵AE⊥BD，点E恰好为BO的中点，
∴AB=AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAC=60°,∠ACB=30°
1 1
∴AB= AC= BD=1，BC=❑√3，
2 2
∴矩形ABCD的面积为BC⋅AB=❑√3×1=❑√3；
故答案为：❑√3．
8．（2022·青海·中考真题）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线
分别交AD和BC于点E，F，AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明
1
△AOE≌△COF，由此可得出S = S ，则可求出答案．
阴影 4 矩形ABCD
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO,BO=DO,AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCF, S =S =S =S ,
△AOD △COD △AOB △BOC
又∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF，
∴S =S
△AOE △COF
1 1 1
∴S +S =S +S =S = S = AB×BC= ×3×4=3
△COF △DOE △AOE △DOE △AOD 4 矩形ABCD 4 4
故答案为：3
9．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在
对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则
BQ的长为 ．【答案】3❑√17
【分析】由矩形ABCD，可得AB∥CD，由勾股定理得，BD=❑√AB2+AD2=13，
则DP=BD−BP=8，∠BAP=∠DQP，由BP=BA，可得∠BAP=∠BPA，则
∠DQP=∠BPA=∠DPQ，DQ=DP=8，CQ=DQ−CD=3，由勾股定理得，
BQ=❑√BC2+CQ2，计算求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴AB=CD=5，AD=BC=12，AB∥CD，∠BAD=90°，
由勾股定理得，BD=❑√AB2+AD2=13，
∴DP=BD−BP=8，
∴∠BAP=∠DQP，
∵BP=BA，
∴∠BAP=∠BPA，
∴∠DQP=∠BPA=∠DPQ，
∴DQ=DP=8，
∴CQ=DQ−CD=3，
由勾股定理得，BQ=❑√BC2+CQ2=3❑√17，
故答案为：3❑√17．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边对等角，等角对等边．熟练掌握矩
形的性质，勾股定理，等边对等角，等角对等边是解题的关键．
三、解答题
10．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
BE⊥AC，CF⊥BD垂足分别为E，F．求证：BE=CF．【答案】见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线
互相平分且相等是解决问题的关键．
根据矩形的性质求出OB=OC，根据AAS推出△BEO≌△CFO即可证得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC．
∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠BEO=∠CFO=90°．．
∵∠BOE=∠COF，
∴△BEO≌△CFO(AAS)，
∴BE=CF．
11．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，已知点E、F在▱ABCD的对角线BD上，
且AE⊥CE于点E，∠BAE=∠DCF．
求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性
质．
（1）利用平行四边形的性质得到AB=CD，∠ABE=∠CDF，再利用ASA即可证明
△ABE≌△CDF；
（2）由△ABE≌△CDF，推出AE=CF，∠AEB=∠CFD，由邻补角的性质求得
∠AEF=∠CFE，得到AE∥CF，据此即可证明四边形AECF为矩形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)；
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AE⊥CE，
∴四边形AECF为矩形．
12．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D
作DE∥AC交BC的延长线于点E．
(1)求证：四边形ADEC是矩形；
(2)若AB=13，AC=12，求四边形ADEB的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)90
【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理：
（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质分析可得∠DAC=∠ACE=∠E=90°，
从而求证四边形ADEC是矩形；
（2）利用勾股定理求得BC的长度，从而利用矩形和平行四边形的性质求出
AD，CE的长度，再根据梯形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AC⊥BC，∴∠ACE=∠ACB=90°
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∵DE∥AC，
∴∠E=∠ACB=90°，
∴∠DAC=∠ACE=∠E=90°，
∴四边形ADEC是矩形；
（2）解：在Rt△ACB中，BC=❑√AB2−AC2=5，
在平行四边形ABCD中，AD=BC=5，
在矩形ADEC中，AD=CE=5，
AD+BE 5+5+5
∴四边形ADEB的面积= ⋅AC= ×12=90．
2 2
