文档内容
第 03 讲 等腰三角形的性质和判定
知识点1：等腰三角形的概念和性质
知识点2：等腰三角形的判定
1. 等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹
角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其
中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合
一”．
【题型1：根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，若BD=3，则BC的长为
（ ）A．3 B．4 C．6 D．8
【变式1】一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则它的周长为（ ）
A．18 B．24 C．18或24 D．12或30
【变式2】等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，则它的底边是（ ）
A．4 B．9 C．4或9 D．17
【变式3】已知等腰三角形的两边长分别是4cm和6cm，则此三角形的周长是 ．
【题型2：根据等腰三角形的性质求角度】
【典例2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【变式1】如图，在△ABC中，∠C=90°，沿直线DE翻折，使得点A与点B重合，若
∠A=35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式2】如图，在△ABD中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，∠B=30°，AD=AC，
∠BAC的度数为（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=35°，点D为BC的中点，则∠CAD=
．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一
个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角
形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三
角形．
【题型3：判断等腰三角形的个数】
【典例3】如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，点D在AC的垂直平分线DF
上，AE平分∠BAD，则图中等腰三角形的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是△ABC的角平分线，则图中
的等腰三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个 B．3个 C．5个 D．1个
【题型4：根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【典例4】如图，在平面直角坐标系中，点A(4,3)，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点
的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等
腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．在直线BC或AC上取一点
P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）处．A．6 B．7 C．8 D．3
【变式3】如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，在直线BC或射线AC取一
点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【题型5：等腰三角形的判定】
【典例5】如图是正五边形ABCDE，连接AD，BD．
(1)求证：△DAB是等腰三角形；
(2)求∠ADB的度数．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且
AB=CE，连接AD．求证：△ACD为等腰三角形．【变式2】如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，
F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形．
【变式3】已知：△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点D，过D作
EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．求证：BE+CF=EF．
【题型6：等腰三角形的判定与性质】
【典例6】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC
于点E．(1)求证：△AED是等腰三角形；
(2)若∠C=110°，∠B=30°，求∠AED的度数．
【变式1】如图，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠4=72°．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若△ABD的周长比△ADC的周长大9，求AC的长．
【变式2】如图，已知△ABC和△ADE，AB=AD，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AD
与BC交于点P，点C在DE上．
(1)求证△ACE是等腰三角形；
(2)若∠B=25∘，∠APC=65°，求∠E的度数．【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线DE分别交AB，
AC于点D，E．
(1)求证：△BCD是等腰三角形：
(2)若△BCD的周长是13，BC=5，求CE的长．
【题型7： 等腰三角形的实际应用】
【典例7】如图，一艘船从海岛A处出发，以18海里/小时的速度向正北航行，经过5小时
到达海岛B处．分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°．求从海
岛B处到灯塔C的距离．
【变式1】为了测量一池塘两端A，B的距离，三个数学研究小组设计了不同的可行性方案，
如池塘示意图，他们在池塘西岸的点A处测得池塘点B恰好在点A的正东方向，测量
方案如下表
课 池塘示意图：
测量池塘两端A，B的距离
题
工 测量角度的仪器，标杆，皮尺，激光笔
具
小 第一小组 第二小组 第三小组
组①从A点出发， ①从A点出发，向北走到O点 ①将标杆垂直立在池塘岸边的
向北走到C 插上一根标杆； 点A处，再将激光笔固定在标
点；②测得 ②继续向北走相同的距离到达 杆的顶部F处；
∠ACB=45°
D点； ②调整激光笔与标杆的夹角，
测 ，CA=20m ③再向西走到E点，使B，O， 使其射出的光线正好落在池塘
对岸的点B；
量 E三点共线；
方 ④测得DE=20m ③保持标杆与激光笔的夹角不
案 变，转动标杆，使激光笔射出
的光线落在同岸的点G，此时
∠BFA=∠GFA；
④测得：数据1：AG=20m；
数据2：AF=2m．
测
量
示
意
图
(1)第一小组测得AC即AB的距离，证明方法如下：
证明：∵AC⊥AB ∴∠ABC=90°−∠ACB=90°−45°=45°
∴∠CAB=90° ∴∠ACB=∠ABC
∵∠ACB=45°(转右框) ∴AB=AC=20m(理由：______)
(2)请用第二小组的方案，求出池塘两端A，B的距离；
(3)其他小组的同学发现，第三小组方案的第④步只用其中一个数据就可以求出池塘两
端A，B的距离，请你在第④步中选择一个有效数据求出池塘两端A，B的距离．
【变式2】某天上午9时，一艘轮船从A处出发，以每小时20海里的速度自东向西航行，
11时到达B处，分别从A，B处望向灯塔C，测得∠BAC=30°，∠CBW=60°，求
B处到灯塔C的距离．【变式3】综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形ABCD中，
AB=AD,CB=CD．
(1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点A与∠PRQ的顶点R重合，
AB,AD分别放置在角的两边RP,RQ上，并过点A,C画射线AE，求证：AE是
∠PRQ的平分线；
(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，
在仪器上的点A处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B,D紧贴门框上
方，观察发现线绳恰好经过点C，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说
明理由．
一、单选题
1．等腰△ABC中，AB=AC，若∠A=36°，则∠B的度数为（ ）
A．36° B．72° C．108° D．144°2．如图，AB∥CD，若∠1=∠D,AC=3，则AD的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，点A，B为4×4方格纸中的两个格点，若以AB为边在方格中画点C（点C为格
点），使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，边AC的垂直平分线分别与边AB，AC交于
点D，E，连接CD，则∠BCD的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
5．如图，△ABC的周长为27，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作
DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BC=8，BF=6，CF=4，那么△ADE的
周长是（ ）A．18 B．19 C．21 D．23
6．已知△ABC是等腰三角形，它的两条边的长分别为2cm和5cm，则它的第三边的长是
（ ）
A．2cm B．3cm C．2cm或5cm D．5cm
7．△ABC为等腰三角形，其中顶角为40°，则该三角形的底角为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
8．若有理数 满足等式 ，且 恰好是等腰 的两条边长，
m,n |m−2)+(n−4) 2=0 m,n △ABC
则△ABC的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=45°，AD平分∠BAC，下列说法不正确的是
（ ）
A．∠BAC=90° B．AD⊥BC
C．BD=AB D．△ABD≌△ACD
二、填空题
10．等腰三角形的一个底角为55°，则它的顶角的度数为 ．
11．如图，△ABC中，BC=10，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作OE∥AB，
OF∥AC，分别交BC于点E、F，则△OEF的周长为 ．
12．如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知∠ABO=60°，OC=OD，
AB∥CD，则∠BOD的度数为 ．13．如图，在△ABC中，AB=6，AC=5，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
MN经过点O，且MN∥BC，MN分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长是
．
14．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，DE⊥AC于点E，若∠BAC=56°，
则∠CDE= °．
15．如图，∠BAC=100°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ ．
三、解答题
16．如图，点C在线段AD上，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC=62°，求∠ACE的度数．
17．如图，在 △ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于点 D．
(1)若 ∠A=32°，求 ∠BDC的度数；
(2)若AB=5cm，BC=3cm， 求△BCD的周长．
18．如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC=BE，AD=BC，
连接CD，CE．
(1)求证：∠ADC=∠BCE．
(2)若∠A=50°，∠ADC=30°，求∠CDE的度数．
