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第05讲 将军饮马-最短路径问题
1. 通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间，线段最短和垂线段最短的性
质.
2. 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感
悟转化思想.
基本图模
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
2.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.
【题型1：两定一动-作图】
【典例1】（2021秋•沿河县期末）如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，
到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最
短的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023春•埇桥区期末）如图，要在街道 l设立一个牛奶站O，向居
民区A，B提供牛奶，下列设计图形中使OA+OB值最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春•金水区校级期末）如图，在所给正方形网格（每个小网格
的边长是1）图中完成下列各题．
（1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝ ；
（2）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A B C ；
1 1 1（3）在DE上画出点P，使PB+PC最小．
【变式2-1】（2022秋•天山区校级期末）如图，要在燃气管道 l上修建一个泵
站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管
线最短？
【变式2-2】（2022秋•东昌府区校级期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置
如图所示．
（1）请直接写出△ABC关于x轴对称的△A B C 三个顶点的坐标（其中A ，
1 1 1 1
B ，C 分别是A，B，C的对应点）；
1 1
（2）请直接写出△A B C 关于 y轴对称的△A B C 三个顶点的坐标（其中
1 1 1 2 2 2
A ，B ，C 分别是A，B，C的对应点）；
2 2 2
（3）在直线l上存在一点P，使得PA+PB最小．则P ．
【题型2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
【典例3】（2022秋•南川区期末）如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点E、F．若点D
为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值是（
）
A．11 B．13 C．18 D．24
【变式3-1】（2022秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC
＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则
PA+PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4.5
【变式3-2】（2023春•老城区校级月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC长
为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若
点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式3-3】（2022秋•德州期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积
是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC
边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）A．6 B．8 C．9 D．10
【变式3-4】（2023•新荣区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上
的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，
∠PCD的度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【题型3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
【典例 4】（2022 秋•香洲区期末）已知∠AOB＝30°，在∠AOB 内有一定点
P，点M，N分别是OA，OB上的动点，若△PMN的周长最小值为3，则OP
的长为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．
【变式4-1】（2023•紫金县校级开学）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝
6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最
小值是6cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60【典例5】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的
动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【变式5-1】（2023春•高州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝
12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，
则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
【变式5-2】（2022秋•黄埔区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC
＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上
的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
【题型4：一定两动-求角度】
【典例6】（2022秋•湖里区期末）如图，在四边形 ABCD中，∠C＝ °，∠B
＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF
α
的度数为（ ）A． B．2 C．180﹣ D．180﹣2
【变式6-1】（2022秋•东丽区期末）如图，在四边形 ABCD中，∠C＝72°，
α α α α
∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，
∠MAN的度数为（ ）
A．72° B．36° C．108° D．38°
【变式6-2】（2022秋•硚口区期末）如图，在四边形 ABCD中，∠B＝∠D＝
90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，
∠MCN的大小是（ ）
A．50° B．70° C．90° D．100°
【变式6-3】（2022秋•民权县期末）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝
90°，∠B＝ ，在AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF的周长最小．此时，
∠EDF＝（ ）
α
A． B．90°﹣ C． D．180°﹣2
α α α1．（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形 ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，
∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN
取得最小值时，AN＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2023•新荣区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点
E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠PCD的
度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
3．（2023•肇东市校级二模）如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，
CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、
EF，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4.8 B．2.4 C．6 D．54．（2023•海淀区一模）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，
现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，
使用电缆材料最少的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023•东明县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两
条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于 PB+PE最小值的是（
）
A．BD B．CE C．BC D．AD
6．（2023•浠水县校级模拟）如图，在等边△ABC中，D，E分别为边BC，AB
的中点，AD＝5，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值
为 ．
7．（2023•博兴县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝
8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则
PC+PQ的最小值是 ．8．（2023•荔湾区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC
＝12，AB＝15，AD是∠BAC的平分线，若点P、Q分别是AD和AC上的动点，
则PC+PQ的最小值是 ．
9．（2023•东莞市三模）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是30，腰
AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，
点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
10．（2023•淄川区一模）如图，在四边形 ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB
＝140°，M，N 分别是边 DC，BC 上的动点，当△AMN 的周长最小时，
∠MAN＝ °．
1．（2023春•兴宁市校级期末）如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（
）
A． B．
C． D．
2．（2022秋•潜江期末）如图，直线 l ，l 表示一条河的两岸，且 l ∥l ．现要
1 2 1 2
在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄 P经桥过河到
村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
3．（2023春•普宁市校级期中）如图，直线 m是△ABC中BC边的垂直平分线，
点P是直线m上一动点，若AB＝8，AC＝7，BC＝9，则△APC周长的最小
值是（ ）A．15 B．16 C．17 D．15.5
4．（2023•肇东市校级二模）如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，
CD为△ABC的中线，点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、
EF，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
5．（2023•容县一模）如图，已知点D、E分别是等边△ABC中BC、AB边上
的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．
6．（2022秋•无锡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝
8，如果点 D，E 分别为 BC，AB 上的动点，那么 AD+DE 的最小值是
（ ）A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
7．（2022秋•路北区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，有点 A（﹣2，
4）和B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，
则点P的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，﹣2） D．（0，3）
8．（2022秋•綦江区期末）如图所示，在△ABC 中，∠ABC＝68°，BD平分
∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当 AP+PQ的值最小
时，∠APB的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
9．（2022秋•路南区校级期末）如图，在五边形ABCDE中，∠AMN+∠ANM＝
84°，∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长
最小时，则∠BAE的度数为（ ）A．96° B．106° C．126° D．138°
10．（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边
AB上的一个定点，点M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长
最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．80°
11．（2022秋•西青区校级期末）如图，等边三角形 ABC的边长为2，A、B、
A 三点在一条直线上，且△ABC≌△A BC ．若D为线段BC 上一动点，则
1 1 1 1
AD+CD的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2023春•西峡县期末）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B
＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF
＝ ．13．（2022秋•广州期中）按要求完成作图：
①作△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
②在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标： ．
