文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷04
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式化简集合M，然后根据交集运算和补集运算求解即可.
【详解】由题意得 ，又 ，
则 所以 .
故选：D
2．已知复数 ， 的共轭复数为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算即可求解.
【详解】因为 ， 是复数 的共轭复数，所以 ，
则 ，
∴故选：A.
3．若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出可行域变形目标函数，平移直线可知当直线经过点 时，z取最大值，代值计算可得.
【详解】由约束条件作出可行域，如图中阴影 ，其中 ，
变形目标函数 为 ，平移直线 可知，当直线过点 时，在 轴上的截距 最小，
即 有最大值.
则 的最大值在 处取得， ．
故选：C
4．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，，
两式相加得 ，得 ，
故选：C
5．某程序框图如图，该程序运行后输出的值是（ ）
A．-3 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据给定的程序框图，逐项计算，得出输出的周期性，进而得到输出结果.
【详解】根据给定的程序框图，可得：
第1次循环，满足判断条件S球表= 28
3
π ， ， ，执行循环；
第2次循环，满足判断条件 ， ， ，执行循环；
S球表= 28
3
π
第3次循环，满足判断条件 ， ， ，执行循环；
S球表= 28
3
π
第4次循环，满足判断条件S球表= 28
3
π ， ， ，执行循环；
第5次循环，满足判断条件S球表= 28
3
π ， ， ，执行循环；
第6次循环，满足判断条件 ， ， ，执行循环；
S球表= 28
3
π
可得 的输出，构成以 项 为周期的周期性输出，
当 时，输出的结果为 .故选：D.
6．某校高一（3）班的40位同学对班内一名准备参加学校绘画比赛的同学的绘画作品进行打分（满分100
分，分数均在 内），并绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（ ）
A．打分在 内的有2人 B．中位数在 内
C．众数是90 D．平均数大于90
【答案】B
【分析】根据频率分布直方图逐个分析判断即可.
【详解】对于A，根据频率分布直方图可知，打分在 的人数为 ，故A错误．
对于B，前三组的频率之和为 ，前四组的频率之和为
，故中位数在 内，故B正确．
对于C，众数为最高小长方形底边中点的横坐标，故众数是89，故C错误；
对于D，根据频率分布直方图得平均数为
，
故D错误．
故选：B
【点睛】方法点睛：频率分布直方图中：（1）平均数为每个小长方形面积与小长方形底边中点横坐标的
乘积之和；（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；（3）众数
为最高小长方形底边中点的横坐标．
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小.
【详解】依题意， ， ，
，故 .
故选：C
8．已知函数 的定义域为 为偶函数， ，则（ ）
A．函数 为偶函数 B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的对称性，可求出周期，可证得函数为偶函数.
【详解】已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，则 ，
函数图像关于直线 对称，有 ，
又 ，则 ，
令 ，有 ，所以函数周期为2.
，函数为偶函数，A选项正确；
，C选项错误；
已知中没有可以求函数值的条件，BD选项错误；
故选：A
9．如图所示为某高中校内伫立于教学楼前的“孔子像”的底座模型图，该底座可看作正方体
与直三棱柱 的组合体，且 为等腰直角三角形，则直线 与直线 所成
的角为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，易知 ，所以 为直线 与直线 所成的角或其补角，设 ，从
而得出 ， ，在 中，利用余弦定理即可求出结果.
【详解】如图，连接 ，易知 ，所以 为直线 与直线 所成的角或其补角，
设 ,则 ，在 中， ，
在 中，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，又直线 与直线 所成角范围为 ，
所以直线 与直线 所成的角为 ，
故选：D.
10．已知函数 的两个零点分别为 ，若 三个数适当调整顺序后可为
等差数列，也可为等比数列，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到 是 的两个实数根据，可得 ，不妨设 ，
得到 ，求得 ，得到 ，结合分式不等式的解法，即可求解.
【详解】由函数 的两个零点分别为 ，
即 是 的两个实数根据，则
因为 ，可得 ，
又因为 适当调整可以是等差数列和等比数列，
不妨设 ，可得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
则不等式 ，即为 ，解得 ，所以不等式的解集为 .
故选：A.
11．平面直角坐标系 中，定点A的坐标为 ，其中 .若当点 在圆 上
运动时， 的最大值为0，则（ ）
A． 的最小值为B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最小值为
【答案】C
【分析】设 ， ，根据数量积的坐标运算结合两角和差公式可得
，再结合余弦函数的有界性分析求解.
【详解】设 ， ，
则 ，
可得 ，
对任意 ，可知当 时， 的最大值为 ，
可得 ，且 ，所以 ，
且当 时， 的最小值为 .
故选：C.
12．已知 ， ， 是抛物线 上三个动点，且 的重心为抛物线的焦点 ，若 ， 两点均在
轴上方，则 的斜率恒有 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用点差法得到 ，再利用 重心的性质与基本不等式得到 ，由此
得解.【详解】依题意，设 ， ， ，由 ， 在 轴上方，故 ， ，
因为抛物线为 ，所以 ，
则 ，所以 ，则 ，
注意到 ，故 ，即 ，
又 ，代入可得 ，
故 ，即 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，而 ，故等号不成立，
因而 ，故 ，则 的最大值为 .
故选：B.
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数 的图象在点 处的切线与直线 垂直，则实数 ．
【答案】0
【分析】根据导数得几何意义，先求导 ，所以在点 处的切线斜率为，再根据直线的垂直关系，即可得解.
【详解】由题可得， ，
所以在点 处的切线斜率为 ，
又切线与直线 垂直，
所以 ，解得 ．
故答案为：
14．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，且它们的离心率互为倒
数， 是 与 的一个公共点，则 的面积为 .
【答案】6
【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的 值，根据椭圆与双曲线定义可求出 的值，
根据三边关系即可求出面积.
【详解】由题可知， 的离心率为2，则 的离心率为 ，则 .
根据对称性，不妨设 在第一象限，则 ，解得 ，
则 ，所以 为直角三角形，
则 的面积为 .
故答案为：6.
15．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 为线段 上的一点，且
二面角 的正切值为3，则三棱锥 的外接球的体积为 .【答案】
【分析】根据题意，由条件可得 是二面角 的平面角，再将三棱锥 补为长方体，
则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果.
【详解】
如图，作 ，交 于 ，则 ，
过 作 交 于点 ，连接 .
因为 为直三棱柱，则 平面 ，且 ，
则 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
则 是二面角 的平面角，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 ， .
可把三棱锥 补成棱长为 ， ， 的长方体，则三棱锥 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的体积为 .
故答案为：
16．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ，当 的面积取最大值
时，则 .
【答案】
【分析】根据同角三角函数之间得关系和正弦定理将a表示出来，再根据面积公式将 的面积表示出
来，结合题中条件展开化简式子即可得出 的面积取最大值时 的取值，再根据正弦定理即可得到a
的取值.
【详解】 ，由正弦定理可得 ，
即 ，由正弦定理可知
整理可得 ，当 的面积取最大值时， ，
带入 得 ，即 ，则 ，
根据正弦定理 可得，此时 .
故答案为： .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）某学校现有1000名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了 名学生
某周使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.将数据分为6组： ，
并整理得到如下的频率分布直方图：
附： .
0.1 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)估计该校学生一周平均使用手机上网时间（每组数据以该组中点值为代表）；
(2)将一周使用手机上网时间在 内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在 内
定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有 名学生不近视.请补充完成该周使用手机上网
时间与近视程度的列联表，若有 以上的把握认为“该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有
关”.那么本次调查的人数至少有多少？
近
不近视 合计
视
长时间使用手机
不长时间使用手机
合计
【详解】（1）解：根据频率分布直方图得：
；.......2分估计该校学生每周平均使用手机上网时间为 小时；..................................................................4分
（2）根据题意填写 列联表如下，
近视 不近视 合计
长时间使用手机
不长时间使用手机
合计
.................................................................................................................................................................9分
由表中数据，计算 ， 11分
所以 ，
所以本次调查的人数至少有50．........................................................................................................12分
18．（12分）数列 的前 项和 满足 ．
(1)令 ，求 的通项公式；
(2)令 ，设 的前 项和为 ，求证： ．
【详解】（1）因为 ，所以当 时， ，解得 ；............1分
当 时， ，
两式相减得 ，即 ．.........................................................................3分
所以当 时， ，
即当 时， ，且 ，
所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，..............................................................................5分
所以 ．..........................................................................................................................6分
（2）由（1）知 ，则 ，.............................................................8分
所以
．........................................10分
因为 ，所以 ．........................................................................................................12分
19．（12分）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)若 ，点 在 上，且 ，求点 到平面 的距离．
【详解】（1）因为 ，所以 ，故 ．.................................1分
连接 ， ，如图．.......................................................................................................................2分
因为 为 的中点，所以 ．
又因为 ，易得 ．
由 ， 为 的中点，得 ， ．
所以 ， ．.........................................................................................................4分
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ．......................................5分
因为 平面 ，所以平面 平面 ．.......................................................................6分（2）因为 ， ，所以 ， ．
由 ， ，
得 ，所以 ．
易知 ．..........................................................................................................7分
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 为等边三角形，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ．同理可得 ...................................................................................................9分
则 ，连接 ，则 ．
所以 ．
所以 ．
设点 到平面 的距离为 ，则由 ，................................................................10分
得 ，解得 ．
所以点 到平面 的距离为 ．............................................................................................12分
20．（12分）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调递增区间；
(2)若 存在极小值点 ，且 ，求 的取值范围．【详解】（1） ，
当 时， ，..............................................................1分
由 得 或 ，...................................................................................2分
所以函数 的单调递增区间为 和 ．.....................................................................4分
（2） ．
当 时，令 ，得 ，
则当 时， ，当 时， ，
所以函数 仅有唯一的极小值点 ，
此时 ，显然符合题意．.....................................................................................6分
当 时，令 ，得 或 ，
若 ，即 ，则 ，
此时 单调递增，无极值点，不符合题意；..............................................................................7分
若 ，即 ，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的极小值点 ，
由 得 ，所以 ；..........................................................................9分
若 ，即 ，则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的极小值点 ，
由 得 ．..........................................11分
综上所述， 的取值范围为 ．.........................................................................12分
21．（12分）已知椭圆 的长轴长为4，且椭圆 经过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过点 的直线与椭圆 交于 两点，直线 与弦 交于点 ，求证：
．
【详解】（1）因为椭圆 的长轴长为4，所以 ，得 ，..............................................1分
所以椭圆 的方程为 ，
将 代入上式，得 ，得 ，..............................................................................3分
故椭圆 的标准方程为 ．..................................................................................................4分
（2）设 ，
因为 四点共线，
所以要证 ，即证 ，
即证 ．................................6分
设直线 的方程为 ，即 ，
易知 ，由 ，
可得 ．..................................................................................................................................7分
由 ，可得 ，
此时 ，即 ，
从而 ，...............................................................................9分
因此
．.......................................................................................................................................................11分
所以 ．................................................................................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）（ 2023·四川宜宾·统考一模）在平面直角坐标系 中，射线l的方程为 ，曲线
C的方程为 ．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求射线l和曲线C的极坐标方程；
(2)若射线l与曲线C交于点P，将射线 绕极点按逆时针方向旋转 交C于点Q，求 的面积．
【详解】（1）将 代入 得 ，
所以 ，所以射线l的极坐标方程为 ,.................................................................2分
将 代入 得 ,
所以曲线C的极坐标方程为 ;....................................................................................4分
（2）由题可知，可以设 ， ，..............................................................................5分
则 ， ，...............................................................................7分
所以 ,.............................................................................................................................8分
所以 ................................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求实数m的取值范围．
【详解】（1）由题知，当 时，原不等式即 ，当 时，不等式为 ，解得 ；.............................................................1分
当 时，不等式为 ，恒成立；...................................................................2分
当 时，不等式为 ，解得 ，.......................................................................3分
综上，不等式 的解集为 ；..................................................................................5分
（2）因为 ，...........................................................................7分
当且仅当 时不等式取等号，即 ，
所以 ，解得 ，..........................................................................................9分
所以 的取值范围是 .........................................................................................10分
