文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（天津专用）
黄金卷07
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号，
2，本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么 ．
•如果事件A、B相互独立，那么 ．
•球的体积公式 ，其中R表示球的半径．
•圆锥的体积公式 ，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高。
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知全集U=R，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解： ，
所以 ．
故选：B.
2．下列命题中正确的是（ ）
A．若 为真命题，则 为真命题
B．“ ， ”是“ ”的充分必要条件C．命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 或 ，则 ”
D．命题 ，使得 ，则 ，使得
【答案】D
【详解】对于A选项，若 为真命题，则 、 中一真一假或全真，故 为假命题或真命题，A错；
对于B选项，由 可得 ，
因为 ，则 ，
故“ ， ”是“ ”的充分不必要条件，B错；
对于C选项，命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 且 ，则
”，C错；
对于D选项，由特称命题的否定可知D对.
故选：D.
3．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万
事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图
象特征．则函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 的定义域为 ，，所以函数 为奇函数，排除A,B选项，
又因为当 时， ，排除C选项，选项D满足题意，
故选:D.
4．某校200名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布
直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中 的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的下四分位数为75分
C．估计某校成绩落在 内的学生人数为50人
D．估计这20名学生考试成绩的众数为75分
【答案】D
【详解】对于选项A，由频率分布直方图，得： ，解得 ，故A错误；
对于选项B，前两个矩形的面积和为 ，所以估计这20名学生数学考试成绩的下四分位数
为70，故B错误；
对于选项C，总体中估计成绩落在 内的学生人数为 ，故C错误.
对于选项D，估计这20名学生数学考试成绩的众数为最高矩形中点横坐标75，故D正确.
故选：D
5．设 ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：A.
6．某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x（万元）与销售利润y（万元）的
统计数据如表，由表中数据，得回归直线l的方程为： ，则下列结论正确的是（ ）
广告费用x（万元） 2 3 5 6
销售利润y（万元） 5 7 9 11
A．直线l过点 B．直线l过点
C． D．变量y和x负相关
【答案】A
【详解】由表中数据计算 ， ，
所以线性回归直线经过样本点的中心 ，所以A选项正确；
，所以C选项错误；
回归直线l的方程为： ，当 时， ，所以B选项错误；
由 ，所以变量y和x呈正相关，故D选项错误；
故选：A
7．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为V，它的内切
1
球的体积为V，则 （ ）
2A． B． C． D．
【答案】D
【详解】四边形 为该几何体的轴截面，
则四边形 的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，
设内切球的半径为 ，
由 ，得 ，
则 ，
，
所以 .
故选：D.
8．双曲线 的离心率为 ，抛物线 的准线与双曲线 的渐近线
交于 点， （ 为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知该双曲线是等轴双曲线，故渐近线方程是 ，而抛物线的准线方程为 ，由题设可得 ，则 ，所以 （ 为坐标原点）的面积为
，应选答案C．
9．已知函数 （ 且 ），设T为函数 的最小正周期， ，
若 在区间 有且只有三个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知 为函数 的最小正周期，故 ，
由 得 ，即 ，
由于 ，故 ，
在区间 有且只有三个零点，故 ，
且由于 在 上使得 的x的值依次为 ，
故 ，解得 ，即 ，
故选：D
第II卷
注意事项
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给
3分，全部答对的给5分．10．设复数 满足 ，则 ．
【答案】
【详解】设 ， ，则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，解得 ，所以 ，则 .
故答案为：
11．已知二项式 的展开式中的常数项为15，则 .
【答案】
【详解】由题设，二项式展开式通项为 ，
令 ，故 .
故答案为：
12．已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是 ，第75百分位数为 ，则
．
【答案】
【详解】由题意得 ， ，
所以 ．
故答案为： .
13．给出下列命题：①直线 与线段 相交，其中 ，则 的取值范围是 ；
②圆 上恰有3个点到直线 的距离为1；
③直线 与抛物线 交于 两点，则以 为直径的圆恰好与直线 相切.
其中正确的命题有 .（把正确的命题的序号填上）
【答案】②③
【详解】由 过定点 ，该点与 所成直线斜率为 ，与 所成直线斜率为 ，
如下图示，要使直线 与线段 相交，则 ，①错；
圆心 且半径 ，则 到直线 距离 ，
在直线 左上方圆弧存在一点到直线距离为1，右下方圆弧存在两点到直线距离为1，
所以圆C上恰有3个点到直线 的距离为1，②对；
将直线代入抛物线整理得 且 ，则 ， ，
所以 ，故以 为直径的圆C的半径为 ，
又圆心C的横坐标为 ，故C到 的距离为 ，
综上，以 为直径的圆恰好与直线 相切，③对.
故答案为：②③
14．假设某市场供应的一种零件中，甲厂产品与乙厂产品的比是 ，若甲厂产品的合格率是 ，乙厂
产品的合格率是 ，则在该市场中随机购买一个零件，是次品的概率为 ；如果买到的零件是
次品，那么它是乙厂产品的概率为 （结果精确到 ）．
【答案】 /【详解】设事件 为购买的零件是甲厂产品，事件 为购买的零件是乙厂产品，事件 为购买的零件是次
品，
则 ， ， ， ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
故答案为： ； ．
15．在菱形 中， ，已知点 在线段 上，且
，则 ，若点 为线段 上一个动点，则 的最小值为 .
【答案】 7
【详解】解：因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
因为点 在线段 上，
可设 ，
而 ，所以 ，解得 ， ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
因为点 为线段 上一个动点，
可设 ， ，所以 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为：7， ．
三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。
16．在 中， 分别是角 的对边，若 ，且
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【详解】解：（1）因为
所以 ，即所以
因为 ，所以
（2）因为 ，
所以
（3）因为 ，所以 ，
所以
17．如图，四棱锥 的底面 是矩形， ⊥平面 ， ， .
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 余弦值的大小；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析 (2) (3)
【详解】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，则 、 、 ．
在 中， ， ，
∴ ．
∴ 、 ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
即 ， ，
又 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
（2）由（1）得 ， ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，故平面 的法向量可取为 ，
∵ 平面 ，
∴ 为平面 的一个法向量．
设二面角 的大小为 ，由图易得 为锐角，
依题意可得 ，即二面角 余弦值为 ．（3）由（1）得 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
∴ ，故可取为 ．
∵ ，
∴ 到平面 的距离为 .
18．已知 是数列 的前 项和， 且 ， ，数列 中， ，且
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 项和 ；
（3）证明：对一切 ，
【答案】（1） 或 ；（2） ；（3）见解析
【详解】（1） 时，可得 ，
时， ， ，两式相减，
得 ， ，
，数列 的奇数项和偶数项分别成以4为公差的等差数列，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
， .
（2） ,
，即 ，
整理为： ，
，
，
，
…………………………,
， 时，
这 个式子相加可得 ，
，当 时， 成立，
， ，
，，
，
两式相减可得：
，
（3） 表示求数列 的前 项和，设前 项和为 ，
当 时， 成立，
当 时，
.
综上可知 ，
对一切 ， .
19．已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，离心率为 ， 的
面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 为 轴上的两个动点，且 ，直线 和 分别与椭圆 交于 两点．（ⅰ）求 的面积最小值；
（ⅱ）证明： 三点共线．
【答案】（Ⅰ） ；
（Ⅱ）（ⅰ）2；
（ⅱ）证明过程见解析.
【详解】（Ⅰ）由题意可知： ，离心率为 ，
因为 的面积为 ，所以 而 ，
所以 ，因此 ，椭圆 的方程为 ；
（Ⅱ）设 ，
,所以 .
（ⅰ）设 的面积为 ， ，
，当且仅当 时，取等号，所以 的面积
最小值为2；
（ⅱ） ,直线 的方程为： 与椭圆的方程联立得
，
设 所以有 ， ，
设 ,同理求出 ，所以 ，
， 所以 ，直线 过同一点，斜率相等，所以 三点共线．
20．已知函数 ，
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)设函数 ，求函数 的单调区间；
(3)若存在 ，使得 成立，求a的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(3)
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
令 得： ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
故 是函数 的极小值点， 的极小值为 ，无极大值
（2） ，定义域为
因为 ，所以 ，令 得： ，令 得： ，所以 在
单调递增，在 单调递减.
综上： 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）存在 ，使得 成立，等价于存在 ，使得 ，即在 上
有由（2）知， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，所以
当 ，即 时， 在 上单调递减，故 在 处取得最小值，由
得： ，因为 ，故 .
当 ，即 时，由（2）知： 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上的最小值为
令
因为 ，所以 ，则 ，即 ，不满足题意，舍去
综上所述：a的取值范围为
