文档内容
[A 基础达标]
1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D.∶2
解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝r.所以S ＝πrl＝πr2，
侧
S ＝πr2，S ∶S ＝1∶.
底 底 侧
2.如图，ABCA′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥CAA′B′B的
体积是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为V
CA′B′C′
＝V ＝，
ABCA′B′C′
所以V ＝1－＝.
CAA′B′B
3．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O ，O ，过直线OO 的
1 2 1 2
平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12π B．12π
C．8π D．10π
解析：选B.设所截正方形的边长为 a，则 a2＝8，即 a＝2.所以圆柱的母线长为 2，
底面圆半径 r＝，所以圆柱的表面积为 2π×2＋π()2×2＝8π＋4π＝12π.
4.如图，正方体ABCDABC D 的棱长为1，点P是面ABC D
1 1 1 1 1 1 1 1
内任意一点，则四棱锥PABCD的体积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为正方体ABCDABC D 的棱长为1，
1 1 1 1
点P是面ABC D 内任意一点，
1 1 1 1
所以点P到平面ABCD的距离d＝AA＝1，
1
S ＝1×1＝1，
正方形ABCD
所以四棱锥PABCD的体积为：
V ＝×AA×S ＝×1×1＝.
PABCD 1 正方形ABCD
故选B.
5．(2019·临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处
于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，
F，F，E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
1 1A. B.
C．2 D.
解析：选 D．因为 E，F，F ，E 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCBEFC B 的
1 1 1 1 1 1
体积 V＝S ×3＝S ×3＝S .设甲中水面的高度为 h，则 S ×h＝S ，解得
梯形EFCB △ABC △ABC △ABC △ABC
h＝，故选 D.
6．已知圆柱 OO′的母线 l＝4 cm，表面积为 42π cm2，则圆柱 OO′的底面半径 r＝
______cm.
解析：圆柱 OO′的侧面积为 2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积为 2×πr2＝2πr2(cm2)，
所以 2πr2＋8πr＝42π，
解得 r＝3 或 r＝－7(舍去)，
所以圆柱的底面半径为 3 cm.
答案：3
7．表面积为 3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为
________．
解析：设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且 πl＝
2πr.解得 r＝1，即直径为 2.
答案：2
8．圆柱内有一个内接长方体 ABCDABC D ，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱
1 1 1 1
的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100π cm 2，则圆柱的底面半径为______cm，高为
______cm.
解析：设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，则圆柱轴截
面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：
所以
即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm.
答案：5 10
9．如图，已知正三棱锥 SABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，求
此正三棱锥的表面积．解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h′，过点 O 作
OE⊥AB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SE⊥AB，
SE＝h′.
因为 S ＝2S ，
侧 底
所以 3×·a·h′＝a2×2.
所以 a＝h′.
因为 SO⊥OE，
所以 SO2＋OE2＝SE2.
所以 32＋＝h′2.
所以 h′＝2，所以 a＝h′＝6.
所以 S ＝a2＝×62＝9，
底
S ＝2S ＝18.
侧 底
所以 S ＝S ＋S ＝18＋9＝27.
表 侧 底
10．若 E，F 是三棱柱 ABCABC 侧棱 BB 和 CC 上的点，且 BE ＝CF，三棱柱
1 1 1 1 1 1
的体积为 m，求四棱锥 ABEFC 的体积．
解：如图所示，
连接 AB，AC .
1 1
因为 BE ＝CF，
1
所以 梯形 BEFC 的面积等于梯形 BEFC 的面积．
1 1
又四棱锥 ABEFC 的高与四棱锥 ABEFC 的高相等，
1 1
所以 V ＝V
ABEFC AB1EFC1
＝V .
ABB1C1C
又 V ＝S ·h，
A A1B1C1 △A1B1C1
V ＝S ·h＝m，所以
ABCA1B1C1 △A1B1C1
V ＝，
AA1B1C1
所以 V ＝V －V ＝m.
ABB1C1C ABCA1B1C1 AA1B1C1
所以 V ＝×m＝，
ABEFC
即四棱锥 ABEFC 的体积是.
[B 能力提升]
11．(2018·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单
位：cm3)是( )A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选 C．由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几
何体的体积 V＝×(1＋2)×2×2＝6.故选 C.
12．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信
的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多
面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现
了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的
表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6个面都在正方体的
表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面
体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面
体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
答案：26 －1
13．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所
需纸的最小面积是________．
解析：如图①为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平
面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长
为 2，其面积为 8.答案：8
14．如图所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′
的距离是a，求证：三棱柱ABCA′B′C′的体积V＝Sa.
证明：法一：如图所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱柱分割成
了两个棱锥．
显然三棱锥A′ABC的体积是V，而四棱锥A′BCC′B′的体积为Sa，
故有V＋Sa＝V，
所以三棱柱ABCA′B′C′的体积V＝Sa.
法二：如图所示，将三棱柱 ABCA′B′C′补成一个四棱柱 ACBD-
A′C′B′D′，其中AC∥BD，AD∥BC，即ACBD为一个平行四边形，显然三
棱柱ABDA′B′D′的体积与原三棱柱ABCA′B′C′的体积相等．
因为四棱柱ACBDA′C′B′D′以BCC′B′为底面，高为点A′到面BCC′B′的
距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa，于是三棱柱ABCA′B′C′的体积V＝Sa.
[C 拓展探究]
15．某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)．已建的仓
库的底面直径为12 m，高为4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．
现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底
面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济些？
解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V，V.
1 2
方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V＝×π××4＝π(m3)；
1
方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V＝×π××8＝96π(m3)．
2
(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S，S.
1 2
方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
此时圆锥的母线长为l＝＝4(m)，
1则仓库的表面积S＝π×8×(8＋4)
1
＝(64＋32)π(m2)；
方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l＝＝10(m)，
2
则仓库的表面积S＝π×6×(6＋10)
2
＝96π(m2)．
(3)因为V＞V，S＜S，
2 1 2 1
所以方案二比方案一更加经济．
