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章末综合检测(七)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．设i是虚数单位，则复数i3－＝( )
A．－i B．－3i
C．i D．3i
解析：选C.i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.
2．复数z＝3＋i，z＝1－i，则z·z 在复平面内对应的点位于( )
1 2 1 2
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.z·z＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，对应的点(4，－2)在第四象限．
1 2
3．已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i为虚数单位)，若z<6，则实数m＝( )
A．2 B．2或－4
C．4 D．－2或4
解析：选A.因为z<6，所以z∈R，则解得所以m＝2，故选A.
4．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，
且AC＝3 CB，则点C对应的复数是( )
A．4i B．2＋4i
C.i D．1＋i
解析：选C.两个复数对应的点分别为A(6，5)，B(－2，3)，设点C的坐标为(x，y)(x，
y∈R)，则由AC＝3CB，得AB＝4CB，即(－8，－2)＝4(－2－x，3－y)，得故点C对应的复
数为i，故选C.
5．设i为虚数单位，若复数z满足＝i，其中z为复数z的共轭复数，则|z|＝( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B.由题意得z＝i(1＋i)＝－1＋i，所以z＝－1－i，所以|z|＝＝，故选B.
6．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·zi＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选A.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，又z·zi＋2＝2z，所以(a2＋b2)i＋2＝2a
＋2bi，所以解得故z＝1＋i.
7．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝2a＋1＋i的模为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.＝＝.若为纯虚数，则，
解得a＝，则z＝2a＋1＋i＝2＋i，
则复数z的模为＝.
8．i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)满足z2＋z＝1－3i，则|z|＝( )
A.或 B．2或5
C. D．5
解析：选C.依题意，得z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i，所以解得a
＝－2，
所以|z|＝|－2＋i|＝＝.
9．复数cos＋isin经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于( )
A．3 B．12
C．6k－1(k∈Z) D．6k＋1(k∈Z)
解析：选C.由题意，得＝cos＋isin＝cos－isin由复数相等的定义，得解得＝2kπ－，
(k∈Z)，所以n＝6k－1(k∈Z)．故选C.
10．已知复数z 的实部为2，复数z 的虚部为－1，且为纯虚数，z·z 为实数，若z＋z
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对应的点不在第一象限，则z－z 对应的点在( )
1 2
A．第一象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第四象限
解析：选D.设z ＝2＋bi，z ＝a－i，a，b∈R，则＝＝为纯虚数，所以2a－b＝0且2
1 2
＋ab≠0.因为z·z ＝(2＋bi)(a－i)＝(2a＋b)＋(ab－2)i为实数，所以ab＝2.由解得或又z ＋
1 2 1
z ＝(2＋a)＋(b－1)i对应的点不在第一象限，所以不符合，于是z －z ＝(2－a)＋(b＋1)i＝3
2 1 2
－i对应的点在第四象限．
11．已知z 与z 是共轭复数，有4个命题：①z<|z|2；②zz ＝|zz|；③z ＋z∈R；
1 2 2 1 2 1 2 1 2
④∈R.其中一定正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①②③
解析：选B.z 与z 是共轭复数，设z＝a＋bi，z＝a－bi(a，b∈R，b≠0)．①z＝a2－b2
1 2 1 2
＋2abi，|z|2＝a2＋b2，虚数不能比较大小，因此不正确；
2
②zz＝|zz|＝a2＋b2，正确；
1 2 1 2
③z＋z＝2a∈R，正确；
1 2
④＝＝＝＋i不一定是实数，因此不一定正确，故选B.
12．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝( )
A．－2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．2－2i
解析：选D.因为x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，所以b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，
即b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0.根据复数相等的充要条件，得b2＋4b＋4＝0且a＋b＝0，解得a＝2，b＝－2.故复数z＝2－2i，故选D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．复数的共轭复数是________．
解析：＝＝＝－i，其共轭复数为＋i.
答案：＋i
14．已知z＝，z＝2，则zz 的代数形式为________．
1 2 1 2
解析：zz＝×2＝×2
1 2
＝3＝3i.
答案：3i
15．在复平面内，若复数 z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹为
________．
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
|x＋1＋yi|＝，
|1＋iz|＝|1＋i(x＋yi)|＝，
则＝.
所以复数z＝x＋yi对应点(x，y)的轨迹为到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线．
答案：到点(－1，0)和(0，1)距离相等的直线
16．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．
解析：|z－2|＝＝，所以(x－2)2＋y2＝3.如图所示，＝＝.
答案：
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)m为何实数时，复数z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)是实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或2，
即m＝1或2时，z为实数．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2时，z为虚数．
(3)由
得m＝－，
即m＝－时，z为纯虚数．18．(本小题满分12分)已知复数z＝2－3i，z＝，求：
1 2
(1)zz；(2).
1 2
解：因为z＝＝＝＝＝1－3i.
2
(1)zz＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
1 2
(2)＝＝＝＝＋i.
19．(本小题满分12分)已知复数z＝－2＋i，zz＝－5＋5i(其中i为虚数单位)．
1 1 2
(1)求复数z；
2
(2)若复数z ＝(3－z)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实
3 2
数m的取值范围．
解：(1)因为zz＝－5＋5i，
1 2
所以z＝＝＝3－i.
2
(2)z＝(3－z)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]
3 2
＝i[(m2－2m－3)＋(m－1)i]
＝－(m－1)＋(m2－2m－3)i，
因为z 在复平面内所对应的点在第四象限，
3
所以解得－1
