文档内容
章末综合检测(九)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4，为检验该公司
的产品质量，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比
B种型号的轿车少8辆，则n＝( )
A．96 B．72
C．48 D．36
解析：选B.由题意得n－n＝8，所以n＝72.故选B.
2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15)，6；
[15，20)，8；[20，25)，13；[25，30)，35；[30，35)，46；[35，40)，34；[40，45)，28；
[45，50)，15；[50，55)，10；[55，60]，5.则样本在[35，60]上的频率是( )
A．0.69 B．0.46
C．1 D．不存在
解析：选B.由题可知，样本在[35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0.46.
3．2019年高考某题的得分情况如下：
得分(分) 0 1 2 3 4
百分率(%) 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2
其中众数是( )
A．37.0% B．20.2%
C．0分 D．4分
解析：选C.因为众数出现的频率最大．
4．如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过 21%
的为( )
A．网易与搜狗的访问量所占比例之和
B．腾讯和百度的访问量所占比例之和
C．淘宝与论坛的访问量所占比例之和
D．新浪与小说的访问量所占比例之和
解析：选A.本题考查扇形统计图中部分占总体的百分比的大小．由访问网站的扇形比
例图得，网易与搜狗的访问量所占比例之和为18%，不超过21%；腾讯和百度的访问量所占比例之和为23%，超过21%；淘宝与论坛的访问量所占比例之和为22%，超过21%；新
浪与小说的访问量所占比例之和为22%，超过21%.故选A.
5．(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)某宠物商店对30只宠物狗的体重
(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图如图所示，则这30只宠物
狗体重(单位：千克)的平均值大约为( )
A．15.5 B．15.6
C．15.7 D．16
解析：选B.由频率分布直方图可以计算出各组频率分别为 0.1，0.2，0.25，0.25，
0.15，0.05，频数分别为3，6，7.5，7.5，4.5，1.5，所以平均值为
＝15.6.故选B.
6．若数据x，x，…，x 的平均数为x，方差为s2，则3x＋5，3x＋5，…，3x＋5的平
1 2 n 1 2 n
均数和标准差分别为( )
A.x，s B．3x＋5，s
C．3x＋5，3s D．3x＋5，
解析：选C.因为x，x，…，x 的平均数为x，
1 2 n
所以3x＋5，3x＋5，…，3x＋5的平均数为3x＋5，
1 2 n
s′2＝[(3x＋5－3x－5)2＋…＋(3x＋5－3x－5)2]
1 n
＝×32[(x－x)2＋…＋(x－x)2]＝9s2.
1 n
所以s′＝3s.
7．某地区某村前三年的经济收入分别为100，200，300万元，其统计数据的中位数为
x，平均数为y，经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这四
年里收入的统计数据中，下列说法正确的是( )
A．中位数为x，平均数为1.5y
B．中位数为1.25x，平均数为y
C．中位数为1.25x，平均数为1.5y
D．中位数为1.5x，平均数为2y
解析：选C.依题意，前三年经济收入的中位数x＝200，平均数y＝＝200，第四年收入
为600万元，故这四年经济收入的中位数为＝250＝1.25x，平均数为＝300＝1.5y.故选C.
8．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为
优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是( )
①甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值；
②甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值；
③乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平；
④甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值．
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
解析：选B.对于①，甲的逻辑推理能力指标值为 4，优于乙的逻辑推理能力指标值为
3，故①正确；对于②，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以
乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，故②错误；对于③，甲的六维能力
指标值的平均值为×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝，乙的六维能力指标值的平均值为×(5＋4＋3＋5
＋4＋3)＝4，<4，故③正确；对于④，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指
标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故④错误．所以
正确为①③，故选B.
9．在一次20千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全部介于13分钟到18分钟之
间，将其比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，其频
率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)之间的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人
数为( )
A．39 B．35
C．15 D．11
解析：选D.由频率分布直方图知，成绩在[13，15)内的频率为1－0.38－0.32－0.08＝
0.22，所以成绩在[13，15)内的人数为50×0.22＝11，所以获奖的人数为11.故选D.
10．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
A．1% B．2%
C．3% D．5%
解析：选C.由图1所示，食品开支占总开支的30%.由图2所示，鸡蛋开支占食品开支
的＝，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×＝3%.故选C.
11．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄
金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩
形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确的结论是(
)
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
解析：选A.计算可得甲批次样本的平均数为 0.617，乙批次样本的平均数为0.613，由
此估计两个批次的总体平均数分别为0.617，0.613，则甲批次的总体平均数与标准值更接近．
故选A.
12．对“小康县”的经济评价标准：
①年人均收入不小于7 000元；
②年人均食品支出不大于收入的35%.
某县有40万人，调查数据如下：
年人
均收 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 16 000
入/元
人数/
6 3 5 5 6 7 5 3
万人则该县( )
A．是小康县
B．达到标准①，未达到标准②，不是小康县
C．达到标准②，未达到标准①，不是小康县
D．两个标准都未达到，不是小康县
解析：选B.由图表可知：年人均收入为7 050＞7 000，达到了标准①；年人均食品支出
为2 695，而年人均食品支出占收入的×100%≈38.2%＞35%，未达到标准②，所以不是小
康县．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴
趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
解析：由题意知，＝，解得a＝30.
答案：30
14．数据148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，
163的第25百分位数为________，第75百分位数为________．
解析：因为14×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以第25百分位数为第4个数据154，第
75百分位数为第11个数据161.
答案：154 161
15．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知该组数据
的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为________．
解析：由题意，可得该组数据的众数为2，所以＝×2＝3，解得x＝4，故该组数据的平
均数为＝4.所以该组数据的方差为×[(1－4)2＋(2－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]
＝9，即标准差为3.
答案：3
16．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整
数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次
考试的平均分为________．
解析：在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，
设[70，80)的小长方形面积为x，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，
解得x＝0.3，
即该组频率为0.3，
所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05
＝71.
答案：71
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某校高三年级在5月份进行了一次质量考试，考生成绩情况如下
表所示：
[0，400) [400，480) [480，550) [550，750]
文科考生 67 35 19 6
理科考生 53 x y z
已知用分层随机抽样的方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，
其中文科考生抽取了2名．
(1)求z的值；
(2)若不低于550分的6名文科考生的语文成绩分别为111，120，125，128，132，134.
计算这6名考生的语文成绩的方差．
解：(1)依题意＝，得z＝9.
(2)这6名文科考生的语文成绩的平均分为
＝125，
则这6名考生的语文成绩的方差为
s2＝×[(111－125)2＋(120－125)2＋(125－125)2＋(128－125)2＋(132－125)2＋(134－125)2]
＝×[(－14)2＋(－5)2＋02＋32＋72＋92]＝60.
18．(本小题满分12分)在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品
上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制
了频率分布直方图(如图所示)，已知从左到右各矩形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组
的频数为12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件，2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
解：(1)依题意知第三组的频率为＝.又因为第三组的频数为12，所以本次活动的参评作
品数为12÷＝60(件)．
(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有60×＝18(件)．
(3)第四组的获奖率是＝，
第六组上交的作品数量为60×＝3(件)．所以第六组的获奖率是＝＞，故第六组的获奖
率较高．
19．(本小题满分12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，
对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：
吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直
方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数．
解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]的频率分别为
0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，
解得a＝0.30.
(2)由(1)知，该市100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于 3吨的人数为300
000×0.12＝36 000.
(3)设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．
20．(本小题满分12分)某校高二期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分
组统计如下表．
(1)求出表中m，n，M，N的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率分布
直方图；
分组 频数 频率
[0，30] 3 0.03
(30，60] 3 0.03
(60，90] 37 0.37
(90，120] m n
(120，150] 15 0.15
合计 M N
(2)若全校参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中全校成绩在90分以上的人
数．
解：(1)由频率分布表得M＝＝100，
所以m＝100－(3＋3＋37＋15)＝42，n＝＝0.42，
N＝0.03＋0.03＋0.37＋0.42＋0.15＝1.
频率分布直方图如图所示．(2)由题意，知全校成绩在90分以上的学生的人数约为×600＝342.
21．(本小题满分12分)对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)
作统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据直方图完成以下表格；
成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数
(2)求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？
解：(1)填表如下：
成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 50 150 350 350 100
(2)平均数为 55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差 s2＝(－
23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.
(3)进入复赛选手的成绩为80＋×10＝82(分)，所以初赛成绩为82分及其以上的选手均
可进入复赛．
22．(本小题满分12分)甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：
环)如图所示：
(1)填写下表：平均数 方差 中位数 命中9环及以上
甲 7 1.2 1
乙 5.4 3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．
解：(1)乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.
所以x ＝×(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；
乙
乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，
所以中位数是＝7.5；
甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
所以中位数为7.
于是填充后的表格如表所示：
平均数 方差 中位数 命中9环及以上
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离
平均数的程度大．
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好．
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的
射靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状
态在提升，更有潜力．
