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章末综合检测(十)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；
③“明天天津市要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.①④正确．
2．(2019·黑龙江省大庆中学月考)袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取
2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．至少有一个白球；红、黑球各一个
D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
解析：选C.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给
的选项：
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成
立；
在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故
B不成立；
在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，
是互斥而不对立的两个事件，故C成立；
在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故
D不成立；故选C.
3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下
的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2
种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根
据古典概型的概率计算公式，所求的概率为＝.故选C.
4．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为
162，153，148，154，165，168，172，171，173，150，151，152，160，165，164，
179，149，158，159，175
在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概
率约为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.从已知数据可以看出，在随机抽取的20位学生中，身高在155.5～170.5cm
之间的有8人，其频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽取一人，其身高在
155.5～170.5cm之间的概率约为.
5．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一
个目标，则他们都中靶的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，两人打靶相互独立，同时中
靶的概率为×＝.
6．一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子
的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设3只白兔分别为b ，b ，b ，2只灰兔分别为h ，h ，则所有可能的情况
1 2 3 1 2
有(b ，h)，(b ，h)，(b ，h)，(b ，h)，(b ，h)，(b ，h)，(h ，b)，(h ，b)，(h ，b)，
1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 1 2 1 1 2
(h ，b)，(h ，b)，(h ，b)，(b ，b)，(b ，b)，(b ，b)，(b ，b)，(b ，b)，(b ，b)，
2 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
(h，h)，(h，h)，共20种，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的情况有12种，
1 2 2 1
所以所求概率为＝.
7．任取一个三位正整数N，则对数log N是一个正整数的概率是( )
2
A. B.
C. D.
解析：选C.三位正整数有100～999，共900个，而满足log N为正整数的N有27，
2
28，29，共3个，故所求事件的概率为＝.
8．抛掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子
向上的点数为奇数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.P(A)＝，P(B)＝，P(A)＝，P(B)＝.A，B中至少有一件发生的概率为1－
P(A)·P(B)＝1－×＝，故选D.
9．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()
A. B.
C. D.
解析：选B.如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选
法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种
情况，故构成的四边形是梯形的概率为＝.
10．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不
发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由P(AB)＝P(B A)，
得P(A)P(B)＝P(B)P(A)，
即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
所以P(A)＝P(B)．
又P(A B)＝，
则P(A)＝P(B)＝.
所以P(A)＝.
11．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件A)的
概率为，取到方片牌(事件B)的概率是，则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌(事件
D)的概率分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：选A.因为C＝A＋B，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件，所以P(C)
＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
又C，D是互斥事件，且C＋D是必然事件，
所以C，D互为对立事件，则P(D)＝1－P(C)＝1－＝.
12．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球
的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.记3个红球分别为a ，a ，a ，2个白球分别为b ，b.从3个红球、2个白
1 2 3 1 2
球中任取3个，则所包含的结果有(a ，a ，a)，(a ，a ，b)，(a ，a ，b)，(a ，a ，b)，
1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 3 1
(a，a，b)，(a，a，b)，(a，a，b)，(a，b，b)，(a，b，b)，(a，b，b)，共10个．
1 3 2 2 3 1 2 3 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2由于每个结果发生的机会均等，因此这些结果的发生是等可能的．
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事件A表示“所取的3个球中
没有白球”，则事件A包含的结果有1个：(a，a，a)．
1 2 3
所以P(A)＝.
故P(A)＝1－P(A)＝1－＝.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字
1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上
的数字为y，来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝
－x2＋4x上的概率为________．
解析：根据题意，两人各掷立方体一次，每人都有6种可能性，则(x，y)的情况有36
种，即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线
上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为＝.
答案：
14．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，
甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种．
甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共4种．
所以甲，乙两人相邻而站的概率为＝.
答案：
15．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少
得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．
解析：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，
共有10种情况，没有得到白球的概率为，设白球个数为x，则黑球个数为5－x，那么，可
知白球有3个，黑球有2个，因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为.
答案：
16．(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁
列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点
率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．
解析：依题意知，经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.
答案：0.98
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，计算下列事件的概
率．
(1)所得的三位数大于400；
(2)所得的三位数是偶数．
解：1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．
(1)大于400的三位数的个数为4，所以P＝＝.
(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，
所以相应的概率为P＝＝.
18．(本小题满分12分)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛
中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题
的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若
各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
解：(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为
事件A，B，C，则P(A)＝，
且有
即
所以P(B)＝，P(C)＝.
(2)有0个家庭回答正确的概率为
P＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
0
有1个家庭回答正确的概率为
P＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝××＋××＋××＝.
1
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P－P＝1－－＝.
0 1
19．(本小题满分12分)(2019·河北省枣强中学期末考试)质量监督局检测某种产品的三
个质量指标x，y，z，用综合指标Q＝x＋y＋z核定该产品的等级．若Q≤5，则核定该产品
为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号 A A A A A
1 2 3 4 5
质量指标(x，
(1，1，2) (2，1，2) (2，2，2) (1，3，1) (1，2，3)
y，z)
产品编号 A A A A A
6 7 8 9 10
质量指标(x，
(1，2，2) (2，3，1) (3，2，1) (1，1，1) (2，1，1)
y，z)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在取出的2件产品中，每
件产品的综合指标均满足Q≤4”，求事件B的概率．
解：(1)计算10件产品的综合指标Q，如下表：
产品编号 A A A A A A A A A A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 5 6 5 6 5 6 6 3 4
其中Q≤5的有A，A，A，A，A，A 共6件，
1 2 4 6 9 10故该样本的一等品率为＝0.6，
从而估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为(A ，A)，(A ，A)，
1 2 1 4
(A ，A)，(A ，A)，(A ，A )，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A)，(A ，A )，(A ，A)，(A ，
1 6 1 9 1 10 2 4 2 6 2 9 2 10 4 6 4
A)，(A，A )，(A，A)，(A，A )，(A，A )共15种．
9 4 10 6 9 6 10 9 10
在该样本的一等品中，综合指标均满足Q≤4的产品编号分别为A，A，A ，
1 9 10
则事件B发生的所有可能结果为(A，A)，(A，A )，(A，A )共3种，
1 9 1 10 9 10
所以P(B)＝＝.
20．(本小题满分12分)(2019·辽宁省凌源三校联考)某研究机构为了了解各年龄层对高
考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]内的市民进行了调查，并将结
果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一～五组区间分别为[20，25)，[25，30)，[30，
35)，[35，40)，[40，45])．
(1)求选取的市民年龄在[40，45]内的人数；
(2)若从第3，4组用分层随机抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座
谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35，40)内的概率．
解：(1)由题意可知，年龄在[40，45]内的频率为P＝0.02×5＝0.1，
故年龄在[40，45]内的市民人数为200×0.1＝20.
(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2，
所以用分层随机抽样的方法在第3，4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3，4组中
分别抽取3人，2人．
记第3组的3名市民分别为A，A，A，第4组的2名市民分别为B，B，
1 2 3 1 2
则从5名中选取2名做重点发言的所有情况为(A ，A)，(A ，A)，(A ，B)，(A ，
1 2 1 3 1 1 1
B)，(A，A)，(A，B)，(A，B)，(A，B)，(A，B)，(B，B)，共有10种．
2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2
其中第4组的2名B，B 至少有一名被选中的有：(A，B)，(A，B)，(A，B)，(A，
1 2 1 1 1 2 2 1 2
B)，(A，B)，(A，B)，(B，B)，共有7种，
2 3 1 3 2 1 2
所以至少有一人的年龄在[35，40)内的概率为.
21．(本小题满分12分)A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，
每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个
试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只
小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．
解：(1)设A 表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2.B
i i
表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2.据题意有：P(A)＝
0
×＝，P(A)＝2××＝，P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，P(B)＝2××＝.
1 2 0 1
所求概率为P＝P(BA)＋P(BA)＋P(BA)＝×＋×＋×＝.
0 1 0 2 1 2
(2)所求概率P′＝1－＝.
22．(本小题满分12分)(2019·高考北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大
转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移
动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，
B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情
况如下：
支付金额
不大于2 000元 大于2 000元
支付方式
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的
概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机
抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B
的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30人，仅使用B的学生有24＋1＝
25人，
A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中，A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．估计该校学
生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为×1 000＝400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大
于2 000元”，则P(C)＝＝0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于
2 000元”．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，
P(E)＝0.04.
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付
金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法
确定有没有变化．
