文档内容
平面向量及其应用
第六章
6.1 平面向量的概念
课后篇巩固提升
基础巩固
1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案C
解析因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有
方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.
2.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a,a,a,…,a,则这n个向量( )
1 2 3 n
A.都相等 B.都共线
C.都不共线 D.模都相等
答案D
解析因为是正n边形,所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等.
3.
如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量⃗PQ相等的向量是 (
)
A.⃗PR与⃗QR
B.⃗AR与⃗RC
C.⃗RA与⃗CR
D.⃗PA与⃗QR
答案B
解析向量相等要求模相等,方向相同,因此⃗AR与⃗RC都是和⃗PQ相等的向量.
4.若|⃗AB|=|⃗AD|且⃗BA=⃗CD,则四边形ABCD的形状为 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
答案C解析由⃗BA=⃗CD知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为|⃗AB|=|⃗AD|,所以四边
形ABCD为菱形.
5.设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是 ( )
A.⃗AO=⃗OC B.⃗BO∥⃗DB
C.⃗AB与⃗CD共线 D.⃗AO=⃗BO
答案D
解析如图,∵⃗AO与⃗OC方向相同,长度相等,∴选项A正确;
∵B,O,D三点在一条直线上,
∴⃗BO∥⃗DB,选项B正确;
∵AB∥CD,∴⃗AB与⃗CD共线,
∴选项C正确;
∵⃗AO与⃗BO方向不同,
∴⃗AO≠⃗BO,∴选项D错误.
6.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的
是( )
A.|⃗AB|=|⃗EF|
B.⃗AB与⃗FH共线
C.⃗BD与⃗EH共线
D.⃗DC与⃗EC共线
答案C
解析依题意知,直线BD与EH不一定平行,因此⃗BD不一定与⃗EH共线,C项错误.
7.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若⃗AC的模为2,⃗BC的模为3,⃗AD的模为1,则
⃗DB的模为 .
3
答案
2解析如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD=∠BCD=∠AED,
所以|⃗AC|=|⃗AE|.
因为△ADE∽△BDC,
|⃗AD| |⃗AE| |⃗AC|
所以 = = ,
|⃗DB| |⃗BC| |⃗BC|
3
故|⃗DB |= .
2
8.
如图所示,4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试
问:
(1)与⃗AB相等的向量共有几个?
(2)与⃗AB平行且模为❑√2的向量共有几个?
(3)与⃗AB方向相同且模为3❑√2的向量共有几个?
解(1)与向量⃗AB相等的向量共有5个(不包括⃗AB本身).
(2)与向量⃗AB平行且模为❑√2的向量共有24个.
(3)与向量⃗AB方向相同且模为3❑√2的向量共有2个.
能力提升
1.如图,四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形,已知下列说法:
①⃗AE,⃗AB,⃗AD,⃗CD,⃗CB,⃗DE都是单位向量;
②⃗AB∥⃗DE,⃗DE∥⃗DC;
③与⃗AB相等的向量有3个;
④与⃗AE共线的向量有3个;
⑤与向量⃗DC大小相等、方向相反的向量为⃗DE,⃗CD,⃗BA.
其中正确的是 .(填序号)
答案①②④⑤解析①由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与⃗AB相等的向量是⃗ED,⃗DC,故③错误;④与⃗AE
共线的向量是⃗EA,⃗BD,⃗DB,故④正确;⑤正确.
2.已知在四边形ABCD中,⃗AB=⃗DC,且|⃗AB|=|⃗AC|,tan D=❑√3,判断四边形ABCD的形状.
解∵在四边形ABCD中,⃗AB=⃗DC,
∴ABDC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵tan D=❑√3,∴∠B=∠D=60°.
又|⃗AB|=|⃗AC|,∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC,故四边形ABCD是菱形.
3.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的
顶点,且|⃗AC|=❑√5.
(1)画出所有的向量⃗AC;
(2)求|⃗BC|的最大值与最小值.
解(1)画出所有的向量⃗AC如图所示.
(2)由(1)所画的图知,
①当点C位于点C 或C 时,|⃗BC|取得最小值❑√12+22=❑√5;
1 2
②当点C位于点C 或C 时,|⃗BC|取得最大值❑√42+52=❑√41.
5 6
∴|⃗BC|的最大值为❑√41,最小值为❑√5.
