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6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在四边形ABCD中,⃗AB+⃗AD=⃗AC,则四边形ABCD是 ( )
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
答案D
解析由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.
2.
如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AC与BD交于点O,则⃗OA+⃗BC+⃗AB=( )
A.⃗CD B.⃗OC
C.⃗DA D.⃗CO
答案B
解析⃗OA+⃗BC+⃗AB=⃗OA+⃗AB+⃗BC=⃗OC.
3.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向 ( )
A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同 D.不确定
答案A
解析若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而a的模大
于b的模,则它们的和的方向与a的方向相同.
4.
如图,在正六边形ABCDEF中,⃗BA+⃗CD+⃗FB等于( )
A.0
B.⃗BE
C.⃗ADD.⃗CF
答案A
解析∵⃗CD=⃗AF,
∴⃗BA+⃗CD+⃗FB=⃗BA+⃗AF+⃗FB=0.
5.向量(⃗PA+⃗MA)+(⃗AO+⃗AC)+⃗OM化简后等于( )
A.⃗AC B.⃗PA C.⃗PC D.⃗PM
答案C
解析(⃗PA+⃗MA)+(⃗AO+⃗AC)+
⃗OM=⃗PA+⃗AO+⃗OM+⃗MA+⃗AC=⃗PO+⃗OM+⃗MA+⃗AC=⃗PM+⃗MA+⃗AC=⃗PA+⃗AC=⃗PC.
6.如图,在平行四边形ABCD中,写出下列各式的结果:
(1)⃗AB+⃗AD= ;
(2)⃗AC+⃗CD+⃗DO= ;
(3)⃗AB+⃗AD+⃗CD= ;
(4)⃗AC+⃗BA+⃗DA= .
答案(1)⃗AC (2)⃗AO (3)⃗AD (4)0
解析(1)由平行四边形法则可知为⃗AC;
(2)⃗AC+⃗CD+⃗DO=⃗AD+⃗DO=⃗AO;
(3)⃗AB+⃗AD+⃗CD=⃗AC+⃗CD=⃗AD;
(4)⃗AC+⃗BA+⃗DA=⃗BA+⃗AC+⃗DA=⃗BC+⃗DA=0.
7.如图所示,若P为△ABC的外心,且⃗PA+⃗PB=⃗PC,则∠ACB= .
答案120°
解析因为P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC,因为⃗PA+⃗PB=⃗PC,由向量的线性运算可得四边形
PACB是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.
8.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明.
解存在,如图,⃗OA=a,⃗OB=b,
OA=OB=OC,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°.9.一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°
方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗?
解如图,用⃗AC表示船的第一次位移,用⃗CD表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知
⃗AD=⃗AC+⃗CD,
所以⃗AD可表示两次位移的和位移.由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
1
则BC= AC=1,AB=❑√3 .
2
在等腰三角形ACD中,AC=CD=2,
1
所以∠D=∠DAC= ∠ACB=30°,
2
所以∠BAD=60°,AD=2AB=2❑√3,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2❑√3
km.
能力提升
1.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是 ( )
A.⃗AB+⃗BC=⃗CA B.⃗AB+⃗AC=⃗BC
C.⃗AC+⃗BA=⃗AD D.⃗AC+⃗AD=⃗DC
答案C
解析因为四边形ABCD是菱形,所以也是平行四边形,于是⃗AC+⃗BA=⃗BC=⃗AD,故C项正确.
2.设a=(⃗AB+⃗CD)+(⃗BC+⃗DA),b是任一非零向量,则在下列结论中:
①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|.
正确结论的序号是( )
A.①⑤ B.②④⑤ C.③⑤ D.①③⑤
答案D
解析∵a=(⃗AB+⃗BC)+(⃗CD+⃗DA)=⃗AC+⃗CA=0,
又b为任一非零向量,∴①③⑤均正确.
3.如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F|=24 N.绳BO与墙壁垂直,所受拉力|
1
F|=12 N,则F 与F 的合力大小为 ,方向为 .
2 1 2
答案12❑√3 N 竖直向上解析以⃗OA,⃗OB为邻边作平行四边形BOAC,则F+F=F,
1 2
即⃗OA+⃗OB=⃗OC,
则∠OAC=60°,
|⃗OA|=24,|⃗AC|=|⃗OB|=12,
∴∠ACO=90°,∴|⃗OC|=12❑√3.
∴F 与F 的合力大小为12❑√3 N,方向为竖直向上.
1 2
4.
如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列三式:
(1)⃗BC+⃗CE+⃗EA;
(2)⃗OE+⃗AB+⃗EA;
(3)⃗AB+⃗FE+⃗DC.
解(1)⃗BC+⃗CE+⃗EA=⃗BE+⃗EA=⃗BA.
(2)⃗OE+⃗AB+⃗EA=(⃗OE+⃗EA)+⃗AB=⃗OA+⃗AB=⃗OB.
(3)⃗AB+⃗FE+⃗DC=⃗AB+⃗BD+⃗DC=⃗AD+⃗DC=⃗AC.
5.如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地,然后又从B地按南偏东55°的
方向飞行600 km到达C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°=0.6).
解设⃗AB,⃗BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行
600 km,则飞机飞行的路程指的是|⃗AB|+|⃗BC|;两次位移的和指的是⃗AB+⃗BC=⃗AC.依题意,有|⃗AB|+|
⃗BC|=800+600=1 400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt△ABC中,|⃗AC|=
=1 000(km),其中∠BAC=37°,所以方向为北偏东35°+37°=72°.从
❑√
|⃗AB|2+|⃗BC| 2=❑√8002+6002
而飞机飞行的路程是1 400 km,两次飞行的位移和的大小为1 000 km,方向为北偏东72°.
