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6.2.2 向量的减法运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )
A.⃗EF=⃗OF+⃗OE B.⃗EF=⃗OF-⃗OE
C.⃗EF=-⃗OF+⃗OE D.⃗EF=-⃗OF-⃗OE
答案B
2.
已知六边形ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,则⃗EF=( )
A.a+b
B.b-a
C.c-b
D.b-c
答案D
解析⃗EF=⃗CB=⃗OB-⃗OC=b-c.
3.(多选题)下列能化简为⃗PQ的是( )
A.⃗QC-⃗QP+⃗CQ B.⃗AB+(⃗PA+⃗BQ)
C.(⃗AB+⃗PC)+(⃗BA-⃗QC) D.⃗PA+⃗AB-⃗BQ
答案ABC
解析D项中,⃗PA+⃗AB-⃗BQ=⃗PB-⃗BQ≠⃗PQ.
4.若四边形ABCD为正方形,且边长为2,则|⃗AB-⃗CB+⃗CD|= .
答案2
解析|⃗AB-⃗CB+⃗CD|=|⃗AB+(⃗CD-⃗CB)|=|⃗AB+⃗BD|=|⃗AD|=2.
5.
如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,⃗OA=a,⃗OB=b,⃗OC=c,则⃗OD= .
答案a+c-b解析由已知得⃗AD=⃗BC,则⃗OD=⃗OA+⃗AD=⃗OA+⃗BC=⃗OA+⃗OC-⃗OB=a+c-b.
6.已知O为四边形ABCD所在平面外的一点,且向量⃗OA,⃗OB,⃗OC,⃗OD满足⃗OA+⃗OC=⃗OB+⃗OD,则
四边形ABCD的形状为 .
答案平行四边形
解析∵⃗OA+⃗OC=⃗OB+⃗OD,
∴⃗OA-⃗OD=⃗OB-⃗OC,
∴⃗DA=⃗CB.∴|⃗DA|=|⃗CB|,且DA∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
7.
如图,已知正方形ABCD的边长等于1,⃗AB=a,⃗BC=b,⃗AC=c,试作向量:
(1)a-b;
(2)a-b+c.
解(1)在正方形ABCD中,a-b=⃗AB-⃗BC=⃗AB-⃗AD=⃗DB.连接BD,箭头指向B,即可作出a-b.
(2)过B作BF∥AC,交DC的延长线于F,连接AF,则四边形ABFC为平行四边形,
∴a+c=⃗AB+⃗AC=⃗AF.
在△ADF中,⃗DF=⃗AF-⃗AD=a+c-b=a-b+c,
∴⃗DF即为所求.
能力提升
1.平面上有三点A,B,C,设m=⃗AB+⃗BC,n=⃗AB-⃗BC,若m,n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在同一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形,且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形,且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
答案C
解析如图,因为m,n的长度相等,所以|⃗AB+⃗BC|=|⃗AB-⃗BC|,即|⃗AC|=|⃗BD|,
所以ABCD是矩形,故△ABC是直角三角形,且∠B=90°.
2.已知A,B,C为三个不共线的点,P为△ABC所在平面内一点,若⃗PA+⃗PB=⃗PC+⃗AB,则下列结论正确
的是 ( )
A.点P在△ABC内部 B.点P在△ABC外部
C.点P在直线AB上 D.点P在直线AC上
答案D
解析∵⃗PA+⃗PB=⃗PC+⃗AB,
∴⃗PB-⃗PC=⃗AB-⃗PA,
∴⃗CB=⃗AB+⃗AP,⃗CB-⃗AB=⃗AP,
即⃗CA=⃗AP.
故点P在边AC所在的直线上.
3.
如图,在正六边形ABCDEF中,与⃗OA-⃗OC+⃗CD相等的向量有 .
①⃗CF;②⃗AD;③⃗BE;
④⃗DE-⃗FE+⃗CD;⑤⃗CE+⃗BC;
⑥⃗CA-⃗CD;⑦⃗AB+⃗AE.
答案①④
解析因为四边形ACDF是平行四边形,
所以
⃗OA-⃗OC+⃗CD=⃗CA+⃗CD=⃗CF,⃗DE-⃗FE+⃗CD=⃗CD+⃗DE+⃗EF=⃗CF,⃗CE+⃗BC=⃗BC+⃗CE=⃗BE,⃗CA-⃗CD=⃗DA
因为四边形ABDE是平行四边形,
所以⃗AB+⃗AE=⃗AD.
综上知与⃗OA-⃗OC+⃗CD相等的向量是①④.
4.
如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且|⃗AB|=|⃗AD|=1,⃗OA+⃗OC=⃗OB+⃗OD
1
=0,cos∠DAB= ,求|⃗DC+⃗BC |与|⃗CD+⃗BC |.
2
解∵⃗OA+⃗OC=⃗OB+⃗OD=0,
∴⃗OA=⃗CO,⃗OB=⃗DO.∴四边形ABCD为平行四边形.
又|⃗AB|=|⃗AD|=1,∴ ▱ABCD为菱形.
1
∵cos∠DAB= ,∠DAB∈(0,π),
2
π
∴∠DAB= ,∴△ABD为正三角形.
3
∴|⃗DC+⃗BC|=|⃗AB+⃗BC|=|⃗AC|=2|⃗AO|=❑√3,
|⃗CD+⃗BC|=|⃗BD|=|⃗AB|=1.
