文档内容
6.2.3 向量的数乘运算
课后篇巩固提升
基础巩固
1.在△ABC中,D是线段BC的中点,且⃗AB+⃗AC=4⃗AE,则( )
A.⃗AD=2⃗AE B.⃗AD=4⃗AE
C.⃗AD=2⃗EA D.⃗AD=4⃗EA
答案A
解析由已知得⃗AB+⃗AC=2⃗AD,所以⃗AD=2⃗AE.
1
2.如图,在矩形ABCD中,点E为CD的中点,那么向量 ⃗AB+⃗AD等于 ( )
2
A.⃗AE B.⃗AC C.⃗DC D.⃗BC
答案A
1
解析∵E为CD的中点,∴ ⃗AB=⃗DE,
2
1
则 ⃗AB+⃗AD=⃗DE+⃗AD=⃗AE.
2
3.已知向量⃗AB=a+2b,⃗BC=5a+3b,⃗CD=-3a+b,则 ( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
答案A
解析∵向量⃗BD=⃗BC+⃗CD=2a+4b,⃗AB=a+2b,
∴⃗BD=2⃗AB,即点A,B,D三点共线.
4.已知在△ABC中,向量⃗AP=λ(⃗AB+⃗AC)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
答案D
解析设D为BC中点,则⃗AB+⃗AC=2⃗AD,
∴⃗AP=2λ⃗AD,即点P在中线AD上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.
5.若⃗AB=5e,⃗CD=-7e,且|⃗AD|=|⃗BC|,则四边形ABCD的形状是 .
答案梯形
5
解析由已知得⃗AB =- ⃗CD,因此⃗AB∥⃗CD ,且|⃗AB |≠|⃗CD |,所以四边形ABCD是梯形.
76.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为 .
1
答案-
3
解析由向量共线可得a+λb=k(b-3a),
{1=-3k, 1
即a+λb=kb-3ka,∴ 解得λ=- .
λ=k, 3
7.如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,
求证:M,A,N三点共线.
证明∵D为MC的中点,且D为AB的中点,
∴⃗AB=⃗AM+⃗AC.∴⃗AM=⃗AB-⃗AC=⃗CB.
同理可证明⃗AN=⃗AC-⃗AB=⃗BC.∴⃗AM=-⃗AN.
∴⃗AM,⃗AN共线,又⃗AM与⃗AN有公共点A.
∴M,A,N三点共线.
(1 ) 2
8.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求 a-b - a- b +(2b-a);
3 3
(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
1 2 (1 ) ( 2 ) 5 5
解(1)原式= a-b-a+ b+2b-a= -1-1 a+ -1+ +2 b=- a+ b.
3 3 3 3 3 3
5 5 ( 10) ( 10 5) 5
∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=- (3i+2j)+ (2i-j)= -5+ i+ - - j=- i-5j.
3 3 3 3 3 3
(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.
1 2
与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x= a+ b.
11 11
( 1 2 ) 3 5
∴y=3x-b=3 a+ b -b= a- b.
11 11 11 11
能力提升
1.已知O是△ABC所在平面上的一点,若⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,则点O是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
答案C解析作BD∥OC,CD∥OB,连接OD,OD与BC相交于点G,则BG=CG(平行四边形对角线互相平分),
∴⃗OB+⃗OC=⃗OD,
又⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,可得⃗OB+⃗OC=-⃗OA,∴⃗OD=-⃗OA,
∴A,O,G在一条直线上,可得AG是BC边上的中线,同理,BO,CO也在△ABC的中线上.∴点O为
三角形ABC的重心.
2.在△ABC中,O为其内部一点,且满足⃗OA+⃗OC+3⃗OB=0,则△AOB和△AOC的面积比是( )
A.3∶4 B.3∶2 C.1∶1 D.1∶3
答案D
解析取AC中点M,则由⃗OA+⃗OC+3⃗OB=0,得2⃗OM=-3⃗OB,所以2|OM|=3|OB|,O在线段BM上,因此
S ∶S =S ∶2S =|OB|∶2|OM|=1∶3.
△AOB △AOC △AOB △AOM
1
3.在平行四边形ABCD中,⃗DE= ⃗EC,⃗BF=⃗FC,若⃗AC =λ⃗AE +μ⃗AF ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .
2
7
答案
5
解析由平面向量的加法运算,有⃗AC=⃗AB+⃗AD.
因为⃗AC=λ⃗AE+μ⃗AF=λ(⃗AD+⃗DE)+μ(⃗AB+⃗BF)=λ (⃗AD+ 1 ⃗AB ) +μ (⃗AB+ 1 ⃗AD )
3 2
=
(λ
+μ
)⃗AB+ (
λ+
μ)⃗AD.
3 2
所以⃗AB+⃗AD= (λ +μ )⃗AB+ ( λ+ μ)⃗AD,
3 2
λ 3
{ +μ=1, {λ= ,
3 5 7
即 解得 故λ+μ= .
μ 4 5
λ+ =1, μ= ,
2 5
2 1
4.在△ABC中,点P是AB上一点,且⃗CP= ⃗CA+ ⃗CB,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且⃗CM
3 3
=t⃗CP,求t的值.
2 1
解∵⃗CP= ⃗CA+ ⃗CB,
3 3
∴3⃗CP=2⃗CA+⃗CB,即2⃗CP-2⃗CA=⃗CB-⃗CP.∴2⃗AP=⃗PB,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示.
∵A,M,Q三点共线,
x
∴设⃗CM =x⃗CQ +(1-x)⃗CA= ⃗CB+(x-1)⃗AC ,
2
又⃗CB=⃗AB-⃗AC,∴⃗CM= x ⃗AB+ (x -1 )⃗AC.
2 2
1
又⃗CP=⃗AP-⃗AC= ⃗AB-⃗AC,且⃗CM =t⃗CP ,
3
∴ x ⃗AB+ (x -1 )⃗AC=t (1 ⃗AB-⃗AC ) .
2 2 3
x t
{ = ,
2 3 3
∴ 解得t= .
x 4
-1=-t,
2
5.已知△OBC中,点A是线段BC的中点,点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设⃗AB=a,⃗AO
=b.
(1)用向量a与b表示向量⃗OC;
3
(2)若⃗OE= ⃗OA,判断C,D,E是否共线,并说明理由.
5
解(1)∵⃗AB=a,⃗AO=b,点A是BC的中点,
∴⃗AC=-a.
∴⃗OC=⃗OA+⃗AC=-a-b.
(2)假设存在实数λ,使⃗CE=λ⃗CD.
3 2
∵⃗CE=⃗CO+⃗OE =a+b+ (-b)=a+ b,
5 5
1 1
⃗CD=⃗CB+⃗BD=⃗CB+ ⃗BO=⃗CB+ (⃗BA+⃗AO)
3 3
1 5 1
=2a+ (-a+b)= a+ b,
3 3 32 (5 1 )
∴a+ b=λ a+ b ,
5 3 3
5
{ λ=1,
3
∴ 此方程组无解,
1 2
λ= ,
3 5
∴不存在实数λ,满足⃗CE=λ⃗CD.
∴C,D,E三点不共线.
