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8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
课后篇巩固提升
基础巩固
1.如图所示,用符号语言可表示为( )
A.α∩β=l B.α∥β,l∈α
C.l∥β,l⊄α D.α∥β,l α
答案D
⊂
2.在长方体ABCD-A BC D 的六个表面与六个对角面(平面AAC C、平面ABCD、平面ADC B、
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平面BBDD、平面ABCD 及平面ABCD)所在的平面中,与棱AA 平行的平面共有( )
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A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案B
解析如图,结合图形可知AA∥平面BBC C,AA∥平面DD C C,AA∥平面BBDD.
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3.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 ( )
A.相交 B.异面
C.异面或相交 D.平行
答案C
解析如图有两种情况.
4.若直线a不平行于平面α,且a不在平面α内,则下列结论成立的是( )
A.a与α内的所有直线异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内存在唯一的直线与a平行
D.α内的直线与a都相交答案B
解析因为直线a与平面α不平行,也不在α内,所以直线a与平面α相交,所以a与α内的直线位置关
系是相交或异面,故选B.
5.如果空间的三个平面两两相交,那么( )
A.不可能只有两条交线 B.必相交于一点
C.必相交于一条直线 D.必相交于三条平行线
答案A
解析空间三个平面两两相交,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故
选A.
6.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一
个图是 ( )
答案C
解析易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线.
7.以下说法正确的是( )
A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交
B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交
C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行
D.若直线c平行直线a,直线b⊥a,则b⊥c
答案D
解析若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若
直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,
⊂
也可能异面,故C错误;若直线c平行直线a,直线b⊥a,则b⊥c,故D正确.故选D.
8.
如图,在正方体ABCD-A BC D 中,所在直线与BD 异面的棱有 条.
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答案6
解析由异面直线的定义,正方体ABCD-A BC D 中,所在直线与BD 异面的棱有
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CD,AB,AD,BC ,AA,CC 共6条.
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9.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是 .
答案相交或平行解析因为a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).
10.过三棱柱ABC-ABC 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABBA 平行的直线共有
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条.
答案6
解析如图,与平面ABBA 平行的直线有6条:DE,EE,ED,DD ,DE,DE.
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11.如图,在长方体ABCD-A BC D 中,面对角线BD 与长方体的六个面之间的位置关系如何?
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解∵B∈平面ABC D,D∈平面ABC D,
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∴BD 平面ABC D.
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∵B∈平面BBC C,D∉平面BBC C,
1 ⊂ 1 1 1 1 1
∴直线BD∩平面BBC C=B .
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同理直线BD 与平面AABB、平面AADD、平面CC DD都相交.在平行四边形BBDD 中,
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BD∥BD,BD 与BD无公共点,∴BD 与平面ABCD无公共点,∴BD∥平面ABCD.
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能力提升
1.下列命题正确的有 .(填序号)
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;
⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面.
答案①⑤
解析①显然是正确的;②中,直线l还可能与α相交,所以②是错误的;③中,直线l和平面α内过l与α
交点的直线都相交而不是异面,所以③是错误的;④中,异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能
具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以④是错误的;⑤中,直线l与平面α没有公
共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以⑤是正确的.
2.(多选题)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确的是( )A.AB⊥EF B.AB与CM所成的角为60°
C.EF与MN是异面直线 D.MN∥CD
答案AC
解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,
AB∥CM,MN⊥CD,只有AC正确.
3.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.
解a∥b,a∥β.
证明如下.由α∩γ=a知a α,且a γ,
由β∩γ=b知b β,且b γ.
⊂ ⊂
∵α∥β,a α,b β,∴a,b无公共点.
⊂ ⊂
又∵a γ,且b γ,∴a∥b.
⊂ ⊂
∵α∥β,∴α与β无公共点.
⊂ ⊂
又a α,∴a与β无公共点,∴a∥β.
⊂
