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8.6.2 直线与平面垂直
课后篇巩固提升
基础巩固
1.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是( )
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
答案C
解析取BD的中点O,连接AO,CO,
则BD⊥AO,BD⊥CO,
故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.
又BD,AC异面,
故选C.
2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定
答案C
解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.
同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.
3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方
形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有( )
A.AH⊥△EFH所在平面
B.AG⊥△EFH所在平面
C.HF⊥△AEF所在平面
D.HG⊥△AEF所在平面
答案A解析原题图中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥△EFH所在平
面.
4.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下面命题正确的是( )
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
C.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若m∥α,m∥β,则α∥β
答案B
解析选项A中,α⊥γ,β⊥γ α与β平行或相交,故A不正确;
选项C中,m∥α,n∥α m与n平行、相交或异面,
⇒
故C不正确;
⇒
选项D中,m∥α,m∥β α与β平行或相交,故D不正确.故选B.
5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=❑√6,则PC与平面
⇒
ABCD所成角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案C
解析如图,连接AC.
∵PA⊥平面ABCD,
PA ❑√6
∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=❑√2,PA=❑√6,∴tan∠PCA= = =❑√3.
AC ❑√2
∴∠PCA=60°.
6.
如图,在正方体ABCD-A BC D 中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面
1 1 1 1
BBO的位置关系是 .(填“平行”或“垂直”)
1
答案垂直
解析∵ABCD为正方形,∴AC⊥BO.
∵BB⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
1
∴AC⊥BB.
1 ⊂
又BO∩BB=B,∴AC⊥平面BBO.
1 1
∵EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC,∴EF⊥平面BBO.
17.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,
其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是 .
答案平行
解析∵DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,
∴DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA 平面PAC,
∴DE∥平面PAC.
⊂
8.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平
面ABB'A'所成角的正弦值为 .
❑√15
答案
10
解析如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.
∵底面△A'B'C'是正三角形,
∴C'D⊥A'B'.
∵AA'⊥底面ABC,
∴A'A⊥C'D.
又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',
故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.
❑√3
等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D= ,
2
在Rt△BB'C'中,BC'=❑√B'B2+B'C'2=❑√5,故直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为
C'D ❑√15
= .
BC' 10
9.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件 时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正
确的一种条件即可)
答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)
解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.
10.已知PA垂直于 ▱ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则 ▱ABCD的形状一定是 .
答案菱形
解析因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
所以PA⊥BD.
⊂
因为PC⊥BD,且PC 平面PAC,PA 平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.
又AC 平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.
⊂ ⊂
11.
⊂
如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于2❑√3 cm,则
PC与平面ABC所成角的大小为 .
答案45°
解析过P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO,则CO为∠ABC的平分线,且∠PCO为PC与平面ABC
所成的角,设其为θ,
连接OF,易知△CFO为直角三角形.
又PC=4,PF=2❑√3,∴CF=2,
CO ❑√2
∴CO=2❑√2,在Rt△PCO中,cos θ= = ,
PC 2
∴θ=45°.
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2❑√2,E,F分别是
AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,
所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.
又F是PC的中点,所以EF⊥PC.
又BP=❑√AP2+AB2=2❑√2=BC,
F是PC的中点,所以BF⊥PC.
又BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.
因为BE 平面BEF,所以PC⊥BE.
13.
⊂
如图,在三棱柱ABC-ABC 中,侧棱AA⊥底面ABC,AB=AC=1,AA=2,∠BAC =90°,D为BB 的中点.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
求证:AD⊥平面ADC .
1 1
证明∵AA⊥底面ABC,平面ABC ∥平面ABC,∴AA⊥平面ABC ∴AC ⊥AA.又
1 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 1
∠BAC =90°,∴AC ⊥AB.而AB∩AA=A,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴AC ⊥平面AABB,AD 平面AABB,
1 1 1 1 1 1
∴AC ⊥AD.由已知计算得AD=❑√2,AD=❑√2,AA=2.∴AD2+AD2=AA2,∴AD⊥AD.
1 1 ⊂ 1 1 1 1 1
∵AC ∩AD=A ,∴AD⊥平面ADC .
1 1 1 1 1 1
14.
如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-ABC 中,D是BC的中点.
1 1 1
(1)求证:AD⊥平面BCC B;
1 1(2)求直线AC 与平面BCC B 所成角的正弦值.
1 1 1
(1)证明直三棱柱ABC-ABC 中,BB⊥平面ABC,∴BB⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,
1 1 1 1 1
∴AD⊥BC.又BC∩BB=B,
1
∴AD⊥平面BCC B.
1 1
(2)解连接C D.由(1)AD⊥平面BCC B,
1 1 1
则∠AC D即为直线AC 与平面BCC B 所成角.
1 1 1 1
❑√3 AD ❑√6
在Rt△AC
1
D中,AD= ,AC
1
=❑√2,sin∠AC
1
D= = ,
2 AC 4
1
❑√6
即直线AC 与平面BCC B 所成角的正弦值为 .
1 1 1
4
能力提升
1.如果PA,PB,PC两两垂直,那么点P在平面ABC内的投影一定是△ABC的( )
A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心
答案D
解析如图,由PA,PB,PC两两互相垂直,可得AP⊥平面PBC,BP⊥平面PAC,CP⊥平面PAB,
所以BC⊥OA,AB⊥OC,AC⊥OB,
所以点O是△ABC三条高的交点,即点O是△ABC的垂心,故选D.
2.
(多选题)如图,ABCD-A BC D 为正方体,下面结论正确的是 ( )
1 1 1 1
A.BD∥平面CB D
1 1
B.AC ⊥BD
1C.AC ⊥平面CB D
1 1 1
D.异面直线AD与CB 所成的角为60°
1
答案ABC
解析由于BD∥BD,BD⊄平面CB D,BD 平面CB D,则BD∥平面CB D,所以A正确;
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为BD⊥AC,BD⊥CC ,AC∩CC =C,
1 1 ⊂
所以BD⊥平面ACC ,所以AC ⊥BD.所以B正确;
1 1
可以证明AC ⊥BD,AC ⊥BC,
1 1 1 1 1
所以AC ⊥平面CB D,所以C正确;
1 1 1
由于AD∥BC,则∠BCB=45°是异面直线AD与CB 所成的角,所以D错误.
1 1
3.(2019全国Ⅰ高考)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离
均为❑√3,那么P到平面ABC的距离为 .
答案❑√2
解析作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,
∴CD⊥平面PDO,OD 平面PDO,∴CD⊥OD.
∵PD=PE=❑√3,PC=2,
⊂
❑√3
∴sin∠PCE=sin∠PCD= ,
2
∴∠PCB=∠PCA=60°.
∴PO⊥CO,CO为∠ACB平分线,
∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=❑√2.
又PC=2,∴PO=❑√4-2=❑√2.
4.已知四棱锥P-ABCD,PA⊥PB,PA=PB=❑√2,AD⊥平面PAB,BC∥AD,BC=3AD,直线CD与平面PAB
π
所成角的大小为 ,M是线段AB的中点.
4
(1)求证:CD⊥平面PDM;
(2)求点M到平面PCD的距离.(1)证明∵AD⊥平面PAB,PM 平面PAB,
∴AD⊥PM.
⊂
∵PA=PB=❑√2,M是线段AB的中点,
∴PM⊥AB,
又AD∩AB=A,AD 平面ABCD,AB 平面ABCD,∴PM⊥平面ABCD,
又CD 平面ABCD,∴PM⊥CD.
⊂ ⊂
⊂
1
取CB上点E,使得CE= CB,连接AE,
3
∴AD∥CE且AD=CE,
∴四边形AECD为平行四边形,∴CD∥AE,
∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小,
又AD⊥平面PAB,BC∥AD,
π
∴BC⊥平面PAB,∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角,∴∠EAB= ,∴BE=AB.
4
∵PA=PB=❑√2,PA⊥PB,∴AB=2=BE,
∴AD=1,BC=3,CD=2❑√2,∴DM=❑√2,CM=❑√10,
∴DM2+DC2=CM2,∴CD⊥DM.∵DM∩PM=M,DM,PM 平面PDM,∴CD⊥平面PDM.
(2)解由(1)可知CD⊥平面PDM,
⊂
∴△CDM和△CDP均为直角三角形,
又PD=❑√3,设点M到平面PCD的距离为d,
1 1 ❑√6
则V =V ,即 CD·DM·PM= CD·DP·d,化简得DM·PM=DP·d,解得d= ,
P-CDM M-PCD
6 6 3
❑√6
∴点M到平面PCD的距离为 .
3
