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8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
课后篇巩固提升
基础巩固
1.
如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于
( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案B
解析如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.
∵E,F分别为CD,AB的中点,∴FG∥AC,EG∥BD,
1 1
且FG= AC,EG= BD.
2 2
∵AC=BD,∴FG=EG,
∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角.
∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,
∴△EFG为等腰直角三角形.
∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.
2.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为 .
答案60°
解析∵a∥OA,根据等角定理,又异面直线所成的角为锐角或直角,∴a与OB所成的角为60°.3.如图,在正方体ABCD-A BC D 中,E,F,G,H分别为AA,AB,BB,BC 的中点,则异面直线EF与GH所
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成的角等于 .
答案60°
解析取AB 中点M,连接MG,MH,则MG∥EF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.易知
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△MGH为正三角形,∠MGH=60°,∴EF与GH所成的角等于60°.
4.如图,已知在长方体ABCD-A BC D 中,AA=AB,E,F分别是BD 和AD中点,则异面直线CD,EF所
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成的角的大小为 .
答案90°
解析取CD 的中点G,连接EG,DG.
1
∵E是BD 的中点,
1
1
∴EG∥BC,EG= BC.
2
∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,
1
∴DF∥BC,DF= BC,∴EG∥DF,EG=DF,
2
∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,
∴∠DGD(或其补角)是异面直线CD 与EF所成的角.又AA=AB,∴四边形ABBA,四边形
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CDD C 都是正方形,且G为CD 的中点,
1 1 1
∴DG⊥CD,∴∠DGD=90°,
1 1
∴异面直线CD,EF所成的角为90°.
15.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,
则EF与AB所成角的大小为 .
答案15°或75°
1
解析取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,且EG= AB
2
1
,FG∥CD,且FG= CD,由AB=CD知EG=FG.
2
易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°.
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;
当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.
6.在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且
AE BF 1
= = ,EF=❑√5 ,求AB和CD所成角的大小.
ED FC 2
解如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于点O,连接OF.∵EO∥AB,∴
BO AE 1 EO DE 2
= = , = = .
OD ED 2 AB DA 3
BF 1 BO BF
∵AB=3,∴EO=2.又 = ,∴ = ,
FC 2 OD FC
OF BF 1
∴OF∥DC,∴OE与OF所成的角即为AB和CD所成的角, = = .∵DC=3,∴OF=1.在
DC BC 3
△OEF中,OE2+OF2=5,EF2=(❑√5)2=5,∴OE2+OF2=EF2,∴∠EOF=90°,所以AB和CD所成的角为90°.
能力提升
1.如图,在四棱柱ABCD-A BC D 中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2❑√3
1 1 1 1
,∠ABC=120°,若异面直线AB和AD 所成的角为90°,试求AA 的长.
1 1 1
解连接CD,AC.
1
由题意得四棱柱ABCD-A BC D 中,AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD 是平行四边形,
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∴AB∥CD,∴∠ADC(或其补角)为AB和AD 所成的角.∵异面直线AB和AD 所成的角为
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90°,∴∠ADC=90°.∵四棱柱ABCD-A BC D 中,AB=BC=2❑√3,∴△ACD 是等腰直角三角形,∴AD=
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❑√2
AC.∵底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2❑√3,∠ABC=120°,
2
❑√2
∴AC=2❑√3×sin 60°×2=6,AD
1
= AC=3❑√2,
2
∴AA= .
1 ❑√AD2-A D2=❑√(3❑√2)2-(2❑√3)2=❑√6
1 1 1
2.
如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交
AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?
解∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.
EF AE
设AE∶AB=x,则 = =x.又BC=a,
BC AB
EH BE
∴EF=ax.由 = =1-x,得EH=a(1-x).
AD AB❑√3 ❑√3 ❑√3 [ ( 1) 2 1]
∴S =EF×EH×sin 60°=ax×a(1-x)× = a2(-x2+x)= a2 - x- + .
四边形EFGH
2 2 2 2 4
1 ❑√3 ❑√3
当x= 时,S = a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为 a2.
最大值
2 8 8
