文档内容
8.5.3 平面与平面平行
课后篇巩固提升
基础巩固
1.下列命题:
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,必与另外一个平面相交;②如果一个平面平行于两个
平行平面中的一个平面,必平行于另一个平面;③夹在两个平行平面间的平行线段相等.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.0
答案C
解析根据面面平行的性质知①②③正确,故选C.
2.在长方体ABCD-A BC D 中,若经过DB的平面分别交AA 和CC 于点E,F,则四边形DEBF的形状
1 1 1 1 1 1 1 1
是 ( )
A.矩形 B.菱形
C.平行四边形 D.正方形
答案C
解析如图,在长方体ABCD-A BC D 中,平面ABBA∥平面CDD C ,过DB的平面BED F与平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ABBA 交于直线BE,与平面CDD C 交于直线DF.由面面平行的性质定理,则BE∥DF.同理
1 1 1 1 1 1
BF∥DE.所以四边形DEBF为平行四边形.
1 1
3.
如图,在三棱台ABC -ABC中,点D在AB 上,且AA∥BD,点M是△ABC 内的一个动点,且有平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1
BDM∥平面AC,则动点M的轨迹是( )
1
A.平面 B.直线
C.线段,但只含1个端点 D.圆
答案C
解析∵平面BDM∥平面AC,平面BDM∩平面ABC =DM,平面AC∩平面ABC =AC ,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴DM∥AC ,过D作DE∥AC 交BC 于E(图略),
1 1 1 1 1 1 1 1则点M的轨迹是线段DE(不包括点D).
1
4.如图,在长方体ABCD-A BC D 中,若E,F,G,H分别是棱AB,BB,CC ,C D 的中点,则必有( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A.BD∥GH
1
B.BD∥EF
C.平面EFGH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面ABCD
1 1
答案D
解析易知GH∥DC,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD,GH不可能互相
1 1
平行,故选项A错误;
易知EF∥AB,与选项A类似可判断选项B错误;
1
因为EF∥AB,而直线AB与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH
1 1
与平面ABCD相交,选项C错误;
因为EF∥AB,EH∥AD,所以有EF∥平面ABCD ,EH∥平面ABCD ,而EF∩EH=E,因此平面
1 1 1 1 1 1 1
EFGH∥平面ABCD .
1 1
5.
在如图的几何体中,三个侧面AABB,BBC C,CC AA都是平行四边形,则平面ABC与平面ABC 平
1 1 1 1 1 1 1 1 1
行吗? .(填“是”或“否”)
答案是
解析因为侧面AABB是平行四边形,所以AB∥AB,因为AB⊄平面ABC ,AB 平面ABC ,所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AB∥平面ABC .
1 1 1 ⊂
同理可证:BC∥平面ABC .又因为AB∩BC=B,AB 平面ABC,BC 平面ABC,
1 1 1
所以平面ABC∥平面ABC .
1 1 1 ⊂ ⊂
6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,
在此几何体中,给出下面五个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平
面BDG.
其中正确结论的序号是 .答案①②③④
解析把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.
7.
如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若
S
PA'∶AA'=2∶3,则 △A'B'C'= .
S
△ABC
4
答案
25
解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',由等角定理得
∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',
从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',
S △A'B'C'= (A'B' ) 2 = (PA' ) 2 = 4 .
S AB PA 25
△ABC
8.已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且
PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.
证明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,
∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.
而BP 平面PBC,NQ⊄平面PBC,
∴NQ∥平面PBC.
⊂
∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,
∴MQ∥BC,而BC 平面PBC,MQ⊄平面PBC,
⊂∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面
PBC.
9.
如图,在正方体ABCD-A BC D 中,O为底面ABCD的中心,P是DD 的中点,设Q是CC 上的点.问:当
1 1 1 1 1 1
点Q在什么位置时,平面DBQ∥平面PAO?
1
解当Q为CC 的中点时,平面DBQ∥平面PAO.
1 1
证明如下.
∵Q为CC 的中点,P为DD 的中点,∴QB∥PA.
1 1
∵P,O分别为DD ,DB的中点,∴DB∥PO.
1 1
∴DB∥面PAO,QB∥面PAO.
1
又DB∩QB=B,∴平面DBQ∥平面PAO.
1 1
10.如图,四边形ABCD为矩形,A,E,B,F四点共面,且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,
∠BAE=∠AFB=90°.
求证:平面BCE∥平面ADF.
证明∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD,
又BC⊄平面ADF,AD 平面ADF,
∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°,
⊂
∴∠BAF=∠ABE=45°,∴AF∥BE,
又BE⊄平面ADF,AF 平面ADF,
∴BE∥平面ADF.
⊂
又BC 平面BCE,BE 平面BCE,BC∩BE=B,
∴平面BCE∥平面ADF.
⊂ ⊂
能力提升
1.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A BC D 中,AB 的中点是P,过点A 作与截面PBC 平行的截面,则
1 1 1 1 1 1 1 1
该截面的面积为( )
A.2❑√2 B.2❑√3
C.2❑√6 D.4
答案C
解析由题意作的截面如图所示,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,DC 的中点.又在正方体中,可得
1 1
A
1
E=CE=CF=FA
1
=❑√5,所以四边形A
1
ECF为菱形.
又AC=2❑√3,EF=2❑√2,
1
故截面面积为2❑√6.
2.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,
下列命题中,正确的有( )
A.BM∥平面DE
B.CN∥平面AF
C.平面BDM∥平面AFN
D.平面BDE∥平面NCF
答案ABCD
解析展开图可以折成如图①所示的正方体.
图①图②
在正方体中,连接AN,如图②所示.
∵AB∥MN,且AB=MN,
∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.
∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴AB正确;
图③
如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平
面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以CD正确.
1
3.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC= AP,D为AP的中点,E,F,G分别为
2
PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.
求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.
证明在四棱锥P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.
∵AB∥CD,∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB,AB 平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.
又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.
⊂
∵AP 平面PAB,∴AP∥平面EFG.
4.
⊂
如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A BC D 的棱BC,CC ,C D,AA 的中点,求证:
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)GE∥平面BBDD;
1 1(2)平面BDF∥平面BDH.
1 1
1
证明(1)取BD 的中点O,连接GO,OB,易证OG∥BC ,且OG= BC .
1 1 1 1 1 1
2
1
因为BE∥BC ,且BE= BC ,所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.所以
1 1 1 1
2
OB∥GE.
因为OB 平面BDD B,GE⊄平面BDD B,所以GE∥平面BBDD.
1 1 1 1 1 1
(2)由正方体的性质,易知BD∥BD,且易证BF∥DH.因为BD⊄平面BDF,BD 平面BDF,
⊂ 1 1 1 1 1
所以BD∥平面BDF.
1 1 ⊂
因为HD ⊄平面BDF,BF 平面BDF,
1
所以HD ∥平面BDF.
1 ⊂
又BD∩HD =D ,所以平面BDF∥平面BDH.
1 1 1 1 1 1
