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8.5.2 直线与平面平行
课后篇巩固提升
基础巩固
1.如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是 ( )
A.相交 B.b∥α
C.b α D.b∥α或b α
答案D
⊂ ⊂
解析由a∥b,且a∥α,知b与α平行或b α.
2.
⊂
如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( )
A.MN∥PD
]B.MN∥PA
C.MN∥AD
D.以上均有可能
答案B
解析∵MN∥平面PAD,MN 平面PAC,
平面PAD∩平面PAC=PA,∴MN∥PA.
⊂
3.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为平面ABCD 和平面A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面
中与EF平行的平面有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案D
解析如题图正方体四个侧面AA'B'B,BB'C'C,CC'D'D,DD'A'A都与EF平行.4.如图所示的三棱柱ABC-ABC 中,过AB 的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系
1 1 1 1 1
是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
答案B
解析∵AB∥AB,AB 平面ABC,AB⊄平面ABC,
1 1 1 1
∴AB∥平面ABC.
1 1 ⊂
又AB 平面ABED,平面ABED∩平面ABC=DE,∴DE∥AB.又AB∥AB,∴DE∥AB.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5.
⊂
如图,在四面体ABCD中,若M,N,P分别为线段AB,BC,CD的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系
为( )
A.平行
B.可能相交
C.相交或BD 平面MNP
D.以上都不对
⊂
答案A
解析显然BD⊄平面MNP,
∵N,P分别为BC,DC中点,
∴NP∥BD,而NP 平面MNP,
∴BD∥平面MNP.
⊂
6.对于直线m,n和平面α,下列命题中正确的是( )
A.如果m α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α
B.如果m α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交
⊂
C.如果m α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
⊂
D.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
⊂
答案C解析对于A,如图①,此时n与α相交,故选项A不正确;对于B,如图②,此时m,n是异面直线,而n与α
平行,故选项B不正确;对于D,如图③,m与n相交,故选项D不正确.
7.
如图,E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体中与过点E,F,G的截面平行的棱
是 .
答案BD,AC
解析∵E,F分别是BC,CD的中点,∴EF∥BD,
又BD⊄平面EFG,EF 平面EFG,
∴BD∥平面EFG.
⊂
同理可得AC∥平面EFG.
很明显,CB,CD,AD,AB均与平面EFG相交.
8.如图,在正方体ABCD-A BC D 中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面ABC,则线段
1 1 1 1 1
EF的长度等于 .
答案❑√2
解析因为EF∥平面ABC,EF 平面ABCD,
1
平面ABC∩平面ABCD=AC,
1 ⊂
1
所以EF∥AC.又点E为AD的中点,点F在CD上,所以点F是CD的中点,所以EF= AC=❑√2 .
2
9.
如图,在正方体ABCD-A BC D 中,E,F分别是棱BC,C D 的中点,则EF与平面BDD B 的位置关系是
1 1 1 1 1 1 1 1
.答案平行
1
解析取DB 的中点M,连接FM,MB,则FM BC .
1 1 1 1
2
1
又BE BC ,∴FMBE.
1 1
2
∴四边形FMBE是平行四边形.∴EF∥BM.
∵BM 平面BDD B,EF⊄平面BDD B,
1 1 1 1
∴EF∥平面BDD B.
⊂ 1 1
10.考查①②两个命题,在“ ”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m
为直线,α为平面),则此条件为 .
m⊂α } l∥m }
①
l∥m
⇒l∥α;②
m∥α
⇒l∥α.
答案l⊄α
解析①由线面平行的判定定理知l⊄α;②易知l⊄α.
11.如图所示,在三棱柱ABC-ABC 中,AC=BC,点D是AB的中点,求证:BC ∥平面CA D.
1 1 1 1 1
证明如图所示,连接AC 交AC于点O,连接OD,则O是AC 的中点.
1 1 1
∵点D是AB的中点,
∴OD∥BC .
1
又∵OD 平面CA D,BC ⊄平面CA D,∴BC ∥平面CA D.
1 1 1 1 1
12.
⊂如图,在三棱锥S-ABC中,D,E,F分别是AC,BC,SC的中点,G是AB上任意一点.求证:SG∥平面DEF.
证明∵D,E分别是AC,BC的中点,∴DE∥AB.
又DE⊄平面SAB,AB 平面SAB,
∴DE∥平面SAB.同理可证EF∥平面SAB.
⊂
∵DE∩EF=E,∴平面DEF∥平面SAB.
∵SG 平面SAB,∴SG∥平面DEF.
能力提升
⊂
1.如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则
四边形DEFC的周长为( )
A.2+❑√3
B.3+❑√3
C.3+2❑√3
D.2+2❑√3
答案C
解析由AB=BC=CD=DA=2,得AB∥CD,
即AB∥平面DCFE,
∵平面SAB∩平面DCFE=EF,∴AB∥EF.
∵E是SA的中点,∴EF=1,DE=CF=❑√3.
∴四边形DEFC的周长为3+2❑√3.
2.
如图所示,ABCD-A BC D 是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱AB,BC 的中点,P是上底面
1 1 1 1 1 1 1 1
a
的棱AD上的一点,AP= ,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .
32❑√2
答案 a
3
解析∵MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,
∴MN∥PQ.∵MN∥AC ∥AC,∴PQ∥AC.
1 1
a 2a
∵AP= ,∴DP=DQ= .
3 3
2 2❑√2
∴PQ=❑√2a· = a.
3 3
3.
如图所示,已知P是 ▱ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
求证:(1)l∥BC.
(2)MN∥平面PAD.
证明(1)∵BC∥AD,BC⊄平面PAD,∴BC∥平面PAD.又∵平面PBC∩平面PAD=l,∴l∥BC.
1 1
(2)如图,取PD的中点E,连接AE,NE,则NE∥CD,且NE= CD,又AM∥CD,且AM= CD,
2 2
∴NE∥AM,且NE=AM.
∴四边形AMNE是平行四边形.∴MN∥AE.
又∵AE 平面PAD,MN⊄平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
⊂
4.
如图是一个以△ABC 为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体,截面为△ABC.已知
1 1 1
AA=4,BB=2,CC =3.在边AB上是否存在一点O,使得OC∥平面ABC ?
1 1 1 1 1 1解存在.取AB的中点O,连接OC.作OD∥AA 交AB 于点D,连接C D,则OD∥BB∥CC .
1 1 1 1 1 1
因为O是AB的中点,
1
所以OD= (AA+BB )=3=CC ,则四边形ODC C是平行四边形,所以OC∥C D.
1 1 1 1 1
2
又C D 平面C BA,且OC⊄平面C BA,
1 1 1 1 1 1 1
所以OC∥平面ABC .
⊂ 1 1 1
即在边AB上存在一点O,使得OC∥平面ABC .
1 1 1
