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8.6.3 平面与平面垂直
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知在长方体ABCD-A BC D 中,在平面ABBA 上任取一点M,作ME⊥AB于E,则( )
1 1 1 1 1 1
A.ME⊥平面ABCD B.ME 平面ABCD
C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能
⊂
答案A
解析由于平面ABBBA⊥平面ABCD,平面ABBA∩平面ABCD=AB,ME⊥AB,ME 平面ABBA,所以
1 1 1 1 1 1 1
ME⊥平面ABCD.
⊂
2.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
答案A
解析∵PA⊥平面ABC,BA,CA 平面ABC,
∴BA⊥PA,CA⊥PA,
⊂
因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.
又∠BAC=90°,故选A.
3.已知l⊥平面α,直线m 平面β.有下面四个命题:
①α∥β l⊥m;②α⊥β l∥m;③l∥m α⊥β;④l⊥m α∥β.
⊂
其中正确的两个命题是( )
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
答案D
解析∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β.
又m β,∴l⊥m,故①正确.
由l⊥α,α⊥β可得l∥β或l β,再由m β内得不到l∥m,故②错.
⊂
∵l⊥α,m∥l,∴m⊥α,m β.∴α⊥β,故③正确.
⊂ ⊂
若α∩β=m,也可满足l⊥α,l⊥m,故④错.
⊂
4.在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中不成立的是( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC
答案C
解析可画出对应图形(图略),
则BC∥DF,又DF 平面PDF,BC⊄平面PDF,
∴BC∥平面PDF,故A成立;
⊂
由AE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,
∴DF⊥平面PAE,故B成立;
又DF 平面ABC,
∴平面ABC⊥平面PAE,故D成立.
⊂
5.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),图中互相垂直的平面有( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.5对
答案D
解析∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,
∴DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB,
又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.
∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,
平面PDC⊥平面PAD,共5对.
6.若以等腰直角三角形斜边上的高为棱,把它折成直二面角,则折后两条直角边的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案C
解析如图①,AD⊥DC,AD⊥DB,
∴∠CDB=90°,设AB=AC=a,
❑√2
则CD=BD= a,∴CB=a,
2
∴图②中△ABC是正三角形.∴∠CAB=60°.7.如图,在斜三棱柱ABC-ABC 中,∠BAC=90°,BC ⊥AC,则点C 在平面ABC上的射影H必在( )
1 1 1 1 1
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC的内部
答案A
解析因为BC ⊥AC,AB⊥AC,BC ∩AB=B,
1 1
所以AC⊥平面ABC.
1
因为AC 平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC.
1
又平面ABC∩平面ABC=AB,
⊂ 1
所以过点C 再作C H⊥平面ABC,则H∈AB,
1 1
即点C 在平面ABC上的射影H在直线AB上.
1
8.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的
正弦值是 .
⊂
❑√3
答案
4
解析如图作AO⊥β于点O,AC⊥l于点C,连接OB,OC,则OC⊥l.
AO AC AO ❑√3
设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sin θ= = · =sin 30°·sin 60°= .
AB AB AC 4
9.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面
ABD⊥平面ACD,则折叠后BC= .
答案1
解析因为AD⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,
所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.
因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.❑√2
在△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD= ,
2
√ (❑√2) 2 (❑√2) 2
所以BC=❑ + =1.
2 2
10.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所
成的角是 .
答案45°
解析过A作AO⊥BD于点O,
∵平面ABD⊥平面BCD,
∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.∵∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠ADO=45°.
11.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的
中点,则∠AED的大小为 .
答案90°
解析取BD中点O,连接AO,CO,由AB=BC=CD=AD,
∴AO⊥BD,CO⊥BD,
∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角.∴∠AOC=90°.
又∠BAD=∠BCD=90°,
∴△BAD与△BCD均为直角三角形.
∴OC=OD,∴△AOD≌△AOC,∴AD=AC,
∴△ACD为等边三角形.
∵E为CD中点,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.
12.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面
ABCD,PA=❑√3.
(1)求证:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
(1)证明如图所示,连接BD,
由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,
所以BE⊥CD.
又AB∥CD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,BE 平面ABCD,
所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,
⊂
因此BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB 平面PAB,
⊂
所以PB⊥BE.又AB⊥BE,
⊂
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
PA
在Rt△PAB中,tan∠PBA= =❑√3,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.
AB
13.
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.
求证:(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明(1)如图,在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.又EF⊄平面PCD,PD 平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD.
⊂
(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是正三角形.因为F是AD的中点,所以
BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF 平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面
PAD.又因为BF 平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
⊂
14.如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,对角线AC,BD相交于点O,将菱形ABCD沿对角线AC折
⊂
起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,DM=3❑√2.
求证:(1)OM∥平面ABD;
(2)平面ABC⊥平面MDO.
证明(1)由题意知,O为AC的中点,
∵M为BC的中点,∴OM∥AB.又OM⊄平面ABD,BC 平面ABD,∴OM∥平面ABD.
(2)由题意知,OM=OD=3,DM=3❑√2,∴OM2+OD2=DM2,∴∠DOM=90°,即OD⊥OM.
⊂
∵四边形ABCD是菱形,∴OD⊥AC.
又OM∩AC=O,OM,AC 平面ABC,∴OD⊥平面ABC.∵OD 平面MDO,∴平面ABC⊥平面
MDO.
⊂ ⊂
15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,
其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.
(1)证明设G为AD的中点,连接PG,BG,如图.
∵△PAD为正三角形,∴PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,
∴BG⊥AD.
又BG∩PG=G,∴AD⊥平面PGB.
∵PB 平面PGB,∴AD⊥PB.
(2)解当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.
⊂
设F为PC的中点,连接GC交DE于H,连接FH.
∵GB∥DE,且E为BC中点,∴H为GC中点.
∴FH∥PG.
由(1)知PG⊥平面ABCD,∴FH⊥平面ABCD.
∵FH 平面DEF,∴平面DEF⊥平面ABCD.
能力提升
⊂
1.
如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动
点C的轨迹是 ( )
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
答案D
解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC 平面PAC,∴AC⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.
⊂
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.
⊂
2.(2019全国Ⅲ高考)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M
是线段ED的中点,则( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
答案B解析如图,连接BD,BE.
在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,
∴BM,EN是相交直线,
排除选项C、D.
作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩
平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO 平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.
∴△MFB与△EON均为直角三角形.
⊂
❑√3 √ 9 5
设正方形ABCD的边长为2,易知EO=❑√3,ON=1,MF= ,BF=❑22+ = ,则EN=❑√3+1
2 4 2
=2,BM=❑
√3
+
25
=❑√7,∴BM≠EN.故选B.
4 4
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足
时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案DM⊥PC(或:BM⊥PC,答案不唯一)
解析连接AC,则AC⊥BD.
∵PA⊥底面ABCD,
BD 平面ABCD,
∴PA⊥BD.
⊂
∵PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC 平面PCD,
∴平面MBD⊥平面PCD.
⊂
4.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=❑√2,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面
ADB⊥平面ABC时,CD= .
答案2
解析取AB的中点E,连接DE,CE,
因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,
因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.
可知DE⊥CE.
由已知可得DE=❑√3,EC=1,在Rt△DEC中,CD=❑√DE2+CE2=2.
5.(2019全国Ⅲ高考)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中
AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.
(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.
又因为AB 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面BCGE.
⊂
(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,
故DE⊥CG.
由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=❑√3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.
