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章末综合检测（八）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关
系是（ ）
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
解析：选D.
如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，
故选D.
2.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC＝45°，
AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为（ ）
A.＋ B.2＋
C.＋ D.＋
解析：选 B.将直观图 ABCD 还原后为直角梯形 A′BCD′，其中 A′B
＝2AB＝2，BC＝1＋，
A′D′＝AD＝1.
所以平面图形的面积 S＝×（1＋1＋）×2＝2＋.
3.对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（ ）
A.a α，b α B.a α，b∥α
C.a⊥α，b⊥α D.a α，b⊥α
⊂ ⊂ ⊂
解析：选B.因为已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，
⊂
则A∉b，过A作直线c∥b，则过直线a，c必存在平面α且使得a α，b∥α.
4.正方体的表面积与其外接球的表面积的比为（ ）
⊂
A.3∶π B.2∶π
C.1∶2π D.1∶3π
解析：选B.设正方体的棱长为a，则球的直径为2R＝a，所以R＝a.正方体的表面积为6a2.球的表面积为4πR2＝4π·＝3πa2，所以它们的表面积之比为6a2∶3πa2＝2∶π.
5.如图，在长方体ABCDABC D 中，棱锥AABCD的体积与长方体的体积的比值为（
1 1 1 1 1
）
A. B.
C. D.
解析：选C.设长方体过同一顶点的棱长分别为a，b，c，则长方体的体积为V ＝abc，
1
四棱锥AABCD的体积为V＝abc，所以棱锥AABCD的体积与长方体的体积的比值为.
1 2 1
6.在正方体ABCDABC D 中，点Q是棱DD 上的动点，则过A，Q，B 三点的截面图
1 1 1 1 1 1
形是（ ）
A.等边三角形 B.矩形
C.等腰梯形 D.以上都有可能
解析：选D.当点Q与点D 重合时，截面图形为等边三角形ABD，如图（1）；
1 1 1
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形ABC D，如图（2）；当点Q不与点D，D 重
1 1 1
合时，令Q，R分别为DD ，C D 的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB ，如图（3）.故选
1 1 1 1
D.
7.给出下列命题：
①过平面外一直线有且仅有一个平面和这个平面平行；
②如果一个平面经过另一个平面的斜线，那么这两个平面不可能垂直；
③若直角三角形ABC在平面α内的射影仍是直角三角形，则平面ABC∥平面α.
其中正确命题的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
解析：选A.对于①，平面外的直线有两类，其一是与平面相交的直线，其二是与平面
平行的直线，显然①不正确；对于②，容易判断②是错误的；对于③，平面ABC与平面α
也有可能相交，因此③不正确.故选A.
8.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的
中点，则下列结论中正确的是（ ）
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：选C.因为 AB＝CB，且E是AC 的中点，所以 BE⊥AC.同理，DE⊥AC，又
DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.又AC 平面ABC，AC 平面ADC，所以平面ABC⊥平
面BDE，平面ADC⊥平面BDE.故选C.
⊂ ⊂
9.若空间中四条两两不同的直线l ，l ，l ，l ，满足l⊥l ，l⊥l ，l⊥l ，则下列结论
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
一定正确的是（ ）
A.l⊥l
1 4
B.l∥l
1 4
C.l 与l 既不垂直也不平行
1 4
D.l 与l 的位置关系不确定
1 4
解析：选D.如图，在长方体ABCDABC D 中，记l ＝DD ，l ＝DC，l ＝DA，若l ＝
1 1 1 1 1 1 2 3 4
AA ，满足l⊥l ，l⊥l ，l⊥l ，此时l∥l ，可以排除选项A和C.若
1 1 2 2 3 3 4 1 4
l＝DC ，也满足条件，可以排除选项B.故选D.
4 1
10.在等腰Rt△A′BC中，A′B＝BC＝1，M为A′C的中点，沿
BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大
小为（ ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解析：选C.如图所示，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C
＝.因为M为A′C的中点，所以MC＝AM＝.且CM⊥BM，AM⊥BM，
所以∠CMA为二面角CBMA的平面角.因为AC＝1，MC＝AM＝，所
以∠CMA＝90°.
11.如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面
ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是（ ）
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
解析：选D.选项A，B，C显然错误.因为PA⊥平面ABC，所以∠PDA是直线PD与平
面ABC所成的角.因为ABCDEF是正六边形，所以AD＝2AB.因为tan∠PDA＝＝＝1，所以
直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.
12.已知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O
在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋4，则球O的体积等于（
）
A.π B.π
C.π D.π解析：选B.由题意可知四棱锥SABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是
正方形且和球心O在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球
大圆上，可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径 r，且四棱锥的高h＝r，进而可
知此四棱锥的四个侧面均是边长为r的正三角形，底面为边长为r的正方形，所以该四棱
锥的表面积为S＝4×（r）2＋（r）2＝2r2＋2r2＝（2＋2）r2＝4＋4，因此r2＝2，r＝，所以
球O的体积V＝πr3＝π×2＝，故选B.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.如果用半径 R＝2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是
Ｗ.
解析：设圆锥筒的底面半径为r，则2πr＝πR＝2π，则r＝，所以圆锥筒的高h＝＝＝3.
答案：3
14.已知a，b表示不同的直线，α，β，γ表示不重合的平面.
①若α∩β＝a，b α，a⊥b，则α⊥β；
②若a α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；
⊂
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；
⊂
④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.
上述命题中，正确命题的序号是 Ｗ.
解析：对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说
明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂
直的定义与判定知②④正确.
答案：②④
15.已知直二面角αlβ，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足.若AB＝2，
AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离为 Ｗ.
解析：如图，作DE⊥BC于点 E，由αlβ为直二面角，AC⊥l，
得AC⊥β，进而 AC⊥DE，又BC⊥DE，BC∩AC＝C，于是 DE⊥平
面ABC，故DE为D到平面ABC的距离.在Rt△BCD 中，利用等面
积法得DE＝＝＝.
答案：
16.如图，在棱长均相等的正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的
中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：
①PC∥平面OMN；
②平面PCD∥平面OMN；
③OM⊥PA；
④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.
其中正确结论的序号是 Ｗ.
解析：连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确.同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确.由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋
PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确.由于M，N分别为侧
棱PA，PB的中点，所以MN∥AB.又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，所以直线PD
与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC.又三角形PDC为等边
三角形，所以∠PDC＝60°，故④错误.
答案：①②③
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.
（1）求证：BD⊥PC；
（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.
证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO.
因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又因为PB＝PD，O为BD的中点，
所以BD⊥PO.
因为PO∩AC＝O，
所以BD⊥平面PAC，
因为PC 平面PAC，
所以BD⊥PC.
⊂
（2）因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.
因为BC⊄平面PAD，AD 平面PAD.
所以BC∥平面PAD.
⊂
又因为BC 平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l.
所以BC∥l.
⊂
18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，AB⊥平面
PAC，∠APC＝90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N在PB上，
且PB＝4PN.
（1）求证：平面PCE⊥平面PAB；
（2）求证：MN∥平面PAC.
证明：（1）因为AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC.
又∠APC＝90°，所以AP⊥PC，
又AB∩AP＝A，所以PC⊥平面PAB.
又PC 平面PCE，
⊂所以平面PCE⊥平面PAB.
（2）取AE的中点Q，连接QN，QM，
在△AEC中，因为M是CE的中点，所以QM∥AC.
又PB＝4PN，AB＝4AQ，
所以QN∥AP，
又QM∩QN＝Q，AC∩AP＝A，
所以平面QMN∥平面PAC.
又MN 平面QMN，
所以MN∥平面PAC.
⊂
19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCABC 中，D，E分
1 1 1
别是AB，BB 的中点.
1
（1）证明：BC ∥平面ACD；
1 1
（2）设AA＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥CADE的体积.
1 1
解：（1）证明：连接AC 交AC于点F，连接DF，
1 1
则F为AC 的中点.
1
又D是AB中点，则BC ∥DF.
1
因为DF 平面ACD，
1
BC
1
⊄平面
⊂
A
1
CD，
所以BC ∥平面ACD.
1 1
（2）因为ABCABC 是直三棱柱，所以AA⊥CD.
1 1 1 1
因为AC＝CB，D为AB的中点，
所以CD⊥AB.
又AA∩AB＝A，
1
所以CD⊥平面ABBA.
1 1
由AA＝AC＝CB＝2，AB＝2得
1
∠ACB＝90°，CD＝，AD＝，DE＝，AE＝3，
1 1
故AD2＋DE2＝AE2，
1 1
即DE⊥AD.
1
所以V三棱锥CADE＝××××＝1.
1
20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面
ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，E为AD的中
点，过A，D，N的平面交PC于点M.求证：（1）EN∥平面PDC；
（2）BC⊥平面PEB；
（3）平面PBC⊥平面ADMN.
证明：（1）因为AD∥BC，BC 平面PBC，
AD⊄平面PBC，
⊂
所以AD∥平面PBC.
又平面ADMN∩平面PBC＝MN，
所以AD∥MN.
又因为AD∥BC，
所以MN∥BC.
又因为N为PB的中点，
所以M为PC的中点，
所以MN＝BC.
因为E为AD的中点，
DE＝AD＝BC＝MN，
所以DE\s\do3(═)MN，
所以四边形DENM为平行四边形，
所以EN∥DM.
又因为EN⊄平面PDC，DM 平面PDC，
所以EN∥平面PDC.
⊂
（2）因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，E为AD的中点，
所以BE⊥AD.
又因为PE⊥AD，PE∩BE＝E，
所以AD⊥平面PEB.
因为AD∥BC，
所以BC⊥平面PEB.
（3）由（2）知AD⊥PB.
又因为PA＝AB，且N为PB的中点，
所以AN⊥PB.
因为AD∩AN＝A，
所以PB⊥平面ADMN.
又因为PB 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面ADMN.
⊂
21.（本小题满分12分）如图（1），在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，
AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图（2）
中△ABE的位置，得到四棱锥ABCDE.
1 1（1）求证：CD⊥平面AOC；
1
（2）当平面ABE⊥平面BCDE时，四棱锥ABCDE的体积为36，求a的值.
1 1
解：（1）证明：在题图（1）中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝
90°，所以BE⊥AC，BC＝ED，
即在题图（2）中，BE⊥AO，BE⊥OC，从而BE⊥平面AOC.
1 1
又BC\s\do3(═)ED，所以四边形BCDE是平行四边形，
所以CD∥BE，所以CD⊥平面AOC.
1
（2）由已知，平面ABE⊥平面BCDE，且平面ABE∩平面BCDE＝BE，即AO是四
1 1 1
棱锥ABCDE的高.
1
由题图（1），可知AO＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.
1
从而四棱锥ABCDE的体积V＝×S×AO＝×a2×a＝a3.由a3＝36，得a＝6.
1 1
22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABCABC 中，侧棱AA⊥底面ABC，M为棱
1 1 1 1
AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA＝.
1
（1）求证：BC∥平面ABM；
1 1
（2）求证：AC ⊥平面ABM；
1 1
（3）在棱BB 上是否存在点N，使得平面AC N⊥平面AAC C？如果存在，求此时的
1 1 1 1
值；如果不存在，请说明理由.
解：（1）证明：连接AB 交AB于O，连接OM.如图所示.
1 1
在△BAC中，因为M，O分别为AC，AB 的中点，
1 1
所以OM∥BC.
1
又OM 平面ABM，BC⊄平面ABM，
1 1 1
所以BC∥平面ABM.
⊂1 1
（2）证明：因为侧棱AA⊥底面ABC，BM 平面ABC，
1
所以AA⊥BM.
1 ⊂
因为M为棱AC的中点，AB＝BC，
所以BM⊥AC.又AA∩AC＝A，
1
所以BM⊥平面ACC A，
1 1
所以BM⊥AC .
1
因为M为棱AC的中点，AC＝2，
所以AM＝1.
又AA＝，
1
所以在Rt△ACC 和Rt△AAM中，
1 1
tan∠AC C＝tan∠AMA＝，
1 1
所以∠AC C＝∠AMA，
1 1
所以∠AC C＋∠C AC＝∠AMA＋∠C AC＝90°，
1 1 1 1
所以AM⊥AC .
1 1
因为BM∩AM＝M，
1
所以AC ⊥平面ABM.
1 1
（3）存在点N，且当点N为BB 的中点，
1
即＝时，平面AC N⊥平面AAC C.
1 1 1
设AC 的中点为D，连接DM，DN.如图所示.
1
因为D，M分别为AC ，AC的中点，
1
所以DM∥CC ，且DM＝CC .
1 1
又N为BB 的中点，
1
所以DM∥BN，且DM＝BN，
所以四边形DMBN是平行四边形，
所以BM∥DN.
因为BM⊥平面ACC A，
1 1
所以DN⊥平面ACC A.
1 1
又DN 平面AC N，
1
所以平面AC N⊥平面ACC A.
⊂ 1 1 1
