文档内容
8．2 立体图形的直观图
考点 学习目标 核心素养
会用斜二测画法画水平放置的平面图
平面图形的直观图 直观想象
形的直观图
会用斜二测画法画常见的柱、锥、台
简单几何体的直观图 直观想象
以及简单组合体的直观图
直观图的还原与计算 会根据斜二测画法规则进行相关运算 直观想象、数学运算
问题导学
预习教材P107－P111的内容，思考以下问题：
1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？
2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？
3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它
们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝ 45 ° (或 135 ° )，它们确定的平面表
示水平面．
(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x ′ 轴
或 y ′ 轴 的线段．
(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y
轴的线段，长度为原来的一半．
2．空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.
■名师点拨
(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角
坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( )
(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．( )
(3)相等的角在直观图中仍相等．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，
O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
解析：选 D.根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为 45°或 135°，
∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°.
下列关于直观图的说法不正确的是( )
A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变
B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变
C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同
解析：选A.平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错．
利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的( )
解析：选C.正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项．
如图所示的直观图△A′O′B′，其原平面图形的面积为__________．
答案：6
画水平放置的平面图形的直观图
画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
【解】 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂
直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取
O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线 l，在l上沿x′轴正方向取点 C′使得D′C′＝DC.连接
B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平
面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．
(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．
用斜二测画法画出图中等腰梯形 ABCD的直观
图．(其中O，E分别为线段AB，DC的中点)
解：(1)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以
E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置
的等腰梯形ABCD的直观图，如图．
画简单几何体的直观图
已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法
画出此正四棱台的直观图．
【解】 (1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，
∠xOz＝90°.
(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，
使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点
为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
(3)画上底面．在 z 轴上截取线段 OO ＝4，过 O 作 Ox′∥Ox，Oy′∥Oy，使
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∠x′Oy′＝45°，建立坐标系x′Oy′，在x′Oy′中仿照(2)的步骤画出上底面ABC D
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的直观图．
(4)连接AA 、BB 、CC 、DD ，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观
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图(如图②)．画空间图形的直观图的原则
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观
图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来
的.
由如图所示几何体的三视图画出直观图．
解：(1)画轴．如图①，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点 O，使∠xOy＝45°，
∠xOz＝90°.
(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段
AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′，如图①.
(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，
得到的图形就是所求的几何体的直观图，如图②.
① ②
直观图的还原与计算
如图所示，梯形ABC D 是一平面图形ABCD 的直观图．若AD∥O′y′，
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AB∥C D，AB＝C D＝2，AD＝O′D＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．
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【解】 如图，建立直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 OD＝O′D＝1，OC＝O′C ＝2.
1 1
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2DA ＝2.在过点A与x轴平行的直线上截取
1 1
AB＝AB＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．
1 1
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直
角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
(1)直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线
段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确
定图形的各个顶点，顺次连接即可．
(2)直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一
公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的
面积为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
解析：选D.如图①②所示为实际图形和直观图．
由②可知，B′C′＝BC＝a，O′A′＝OA＝a，在图②中作A′D′⊥B′C′于点D′，则
A′D′＝O′A′＝a.所以S ＝B′C′·A′D′＝×a×a＝a2.
△A′B′C′
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
答案：B
2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的( )解析：选C.由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的
边平行于y′轴，故选C.
3．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为( )
A．2S B.S
C．2S D.S
解析：选C.法一：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h，C′B′＝CB，
O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于点D′(图略)，
则C′D′＝h.由题意知
C′D′(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S.
又原直角梯形面积为
S′＝·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S.
所以梯形OABC的面积为2S.故选C.
法二：由S ＝S ，
直观图 原图
可得S ＝＝2S，故选C.
梯形OABC
4．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
解析：选A.平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一
致．
5．画一个正四棱锥(底面为正方形，侧面为全等的等腰三角形)的直观图(尺寸自定)．
解：步骤：
(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高．
(4)画棱．连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥SABCD的直观
图，如图②所示．[A 基础达标]
1．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是( )
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形
B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形
D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
解析：选B.根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形．
2．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示
的平面图形是( )
A．任意三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
解析：选C.因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′，
所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形．
3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的
距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距
离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
解析：选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在
直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5 cm，故选D.
4．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面
积是( )
A．16 B．64
C．16或64 D．都不对
解析：选C.根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为
原来的一半，于是长为4的边如果平行于x轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的
边如果平行于y轴，则正方形边长为8，面积是64.
5.正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．6 cm B．8 cm
C．(2＋3)cm D．(2＋2)cm
解析：选B.如图，OA＝1 cm，
在Rt△OAB中，OB＝2 cm，
所以AB＝ ＝3 (cm)．
所以四边形OABC的周长为8 cm.
6．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图 形 四 边 形
ABCD的形状为________．
解析：因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为
平行四边形，且A′B′＝2B′C′，所以AB＝BC，所以原四边形ABCD为正方形．
答案：正方形
7．如图是四边形ABCD的水平放置的直观图 A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是
________．
解析：因为A′D′∥y′轴，
A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
所以原图形是一个直角梯形，如图所示．
又A′D′＝4，
所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S＝
×(2＋5)×8＝28.
答案：28
8.如图所示的是一个水平放置的正方形 ABCO，它在直角坐标系xOy
中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶
点B′到x′轴的距离为________．
解析：在直观图中四边形A′B′C′O′是有一个角为45°且长边为2，短边为1的平行四边
形，所以顶点B′到x′轴的距离为.
答案：
9．如图是上、下底面处在水平状态下的棱长为2 cm的正方体的
直观图，比例尺为1∶1，回答下列问题：
(1)线段AB 在图中、实物中长度各为多少？∠ABA 在图中、实
1 1 1物中的度数各为多少？
(2)在实物中，∠ABC、∠AEB、∠BEC、∠ABD、∠CBD的度数是多少？
(3)线段BC在图中、实物中的长度各是多少？∠ADA 、∠CB C 在实物中的度数是多
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少？
解：(1)平面AABB处在铅直状态下，其内部的图形为真实图形，由已知AA ＝AB ＝
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2 cm，AA⊥AB ，所以AB ＝＝2 (cm)．所以线段AB 在图中，实物中的长度都是2 cm，
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∠ABA 在图中、实物中度数都是45°.
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(2)在实物中，∠ABC＝∠AEB＝∠BEC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.
(3)线段BC在图中、实物中的长度分别是1 cm，2 cm，∠ADA 、∠CB C 在实物中的
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度数都是45°.
10.如图所示，四边形 ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝
1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD
水平放置的直观图的面积．
解：法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水
平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所
示，在直观图中，O′D′＝OD＝，梯形的高D′E′＝，
于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
法二：梯形ABCD的面积S＝(DC＋AB)×OD
＝×(1＋2)×1＝.
所以梯形ABCD直观图的面积为
S′＝S＝×＝.
[B 能力提升]
11．如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图△A′B′C′，其中
D′是A′C′的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，则原图形中与线
段BD的长相等的线段有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
解析：选C.先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的
几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形A′B′C′还原后为直角三角形，则D为
斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD.故选C.
12.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一
个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的
面积是( )
A.＋ B．1＋
C．1＋ D．2＋
解析：选D.因为A′D′∥B′C′，所以AD∥BC.
因为∠A′B′C′＝45°，所以∠ABC＝90°.
所以AB⊥BC.所以四边形ABCD是直角梯形，如图所示．
其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋，AB＝2，
即S ＝2＋.
梯形ABCD
13．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，
B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
A. B.
C．5 D.
解析：选A.由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC
＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为，故选A.
14.如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水
平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求
出其面积．
解：四边形ABCD的真实图形如图所示，
因为A′C′在水平位置，
A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，
因为AD＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
所以S ＝AC·AD＝2.
四边形ABCD
[C 拓展探究]
15. 已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)．
解：画法：
(1)建系：如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底：在x轴上取线段OB＝8 cm，在y轴上取线段OA′＝2 cm，以OB和OA′为邻边
作平行四边形OBB′A′.
(3)定点：在z轴上取线段OC＝4 cm，过C分别作x轴，y轴的平行线，并在平行线上
分别截取CD＝4 cm，CC′＝2 cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.(4)成图：连接A′C′，BD，B′D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚
线)，就得到该几何体的直观图(如图②)．
