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(教师独具内容)
课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针
对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序
性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法)．
教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.
【知识导学】
知识点一 集合与元素的定义
元素：一般地，我们把研究对象统称为元素(element)．
集合：把一些元素组成的 □ 总体 叫做集合(set)(简称为集)．
表示：通常用大写拉丁字母 A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母 a，
b，c，…表示集合中的元素．
知识点二 集合中元素的三个特性
(1)确定性；
(2)互异性；
(3)无序性．
知识点三 元素与集合的关系
(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 □ a ∈ A .
(2)“不属于”：如果a不是集合 A中的元素，就说 a不属于集合 A，记作
□ a ∉ A .
知识点四 几个常用数集的固定字母表示知识点五 集合的表示方法
集合常见的表示方法有： □ 自然语言 、 □ 列举法 、 □ 描述法．
(1)自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法时，只要叙述
清楚即可，如由所有正方形构成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成
“正方形”．再如全体实数组成的集合，或实数集等．
(2)列举法：把集合的所有元素 □ 一一列举 出来，并用花括号“{ }”括起来
表示集合的方法叫做列举法．
(3)描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合 A中所有具有共同特征
P(x)的元素x所组成的集合表示为 □ { x ∈ A | P ( x ) }，这种表示集合的方法称为描述
法．
知识点六 集合的分类
(1)有限集；
(2)无限集．
【新知拓展】
1．元素和集合关系的判断
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合
中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合
中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集
合中元素要满足哪些条件．
2．集合的三个特性
(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的
“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．
(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此
一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．
(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以
是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．
3．使用列举法表示集合时需注意的几点
(1)元素之间用“，”隔开；
(2)元素不重复，满足元素的互异性；
(3)元素无顺序，满足元素的无序性；
(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举
法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．( )(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a∉A，二者必
居其一且只具其一．( )
(3)对于数集A＝{1,2，x2}，若x∈A，则x＝0.( )
(4)集合{y|y＝x2，x∈R}与集合{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．做一做
(1)下列所给的对象能组成集合的是( )
A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数
C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花
(2)用适当的符号(∈，∉)填空：
0________∅，0________{0},0________N，
－2________N*，________Z，________Q，
π________R.
答案 (1)A (2)∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∈
题型一 正确理解描述法中元素的“代表符号”
例1 分析下列集合中的元素是什么？
A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}．
[解] 三个集合都是用描述法表示的．对于集合 A，其中的元素是x，根据
“y＝x2”，这里的x并没有什么限制，即x可以是任意实数，即集合A是由所有
实数组成的集合，即实数集．对于集合B，其中的元素是y，这里的x没有任何
限制，即x可以是任意实数，但是通过“y＝x2”，元素y有了限制：实数的平方，
从而B中的元素是非负实数．对于集合C，从元素的代表符号“(x，y)”可以看
出，其中的元素是有序实数对，这些数对的第一个数 x没有限制，第二个数y受
条件“y＝x2”的限制，因此C中的元素是有序实数对，且数对的第一个数取任
意实数，第二个数是第一个数的平方(从几何角度讲，(x，y)就是坐标平面内的一
个点，从而C中的元素就是抛物线y＝x2上的点)．
金版点睛
使用描述法表示集合时要注意：①写清该集合中元素的代表符号，如{x∈R|
x>1}不能写成{x>1}；②用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何
图形等；③不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集
合中的元素是不确定的；④所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{ }”中，即{x∈Z|x＝2m，
m∈N*}；⑤元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，
则x∈R可省略不写，如集合 D＝{x∈R|x<10}也可表示为D＝{x|x<10}；⑥多层
描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如“{x|x<－1
或x>1}”等．
试分析集合{(x，y)|y＝x＋1}的元素，并能从几何角度解释这个集合．
解 集合中的元素是有序实数对，且第二个实数等于第一个实数加1.
从几何角度：该集合就是一次函数y＝x＋1的图象，即直线y＝x＋1.
题型二 判断元素与集合的关系
例2 已知集合A＝{x|x＝m＋n·，m，n∈Z}．
(1)判断0，(1＋)2，与A的关系；
(2)若x ，x ∈A，试探究x x ，x ＋x 与A的关系．
1 2 1 2 1 2
[解] (1)易知0＝0＋0×，且0∈Z，
所以0∈A.
因为(1＋)2＝3＋2，且3,2∈Z，
所以(1＋)2∈A.
因为＝＝＋，
且，∉Z，所以∉A.
(2)因为 x ，x ∈A，所以可设 x ＝m ＋n ，x ＝m ＋n ，且 m ，n ，m ，
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2
n ∈Z，
2
所以 x x ＝(m ＋n )(m ＋n )＝m m ＋(m n ＋m n )＋2n n ＝(m m ＋2n n )＋
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
(m n ＋m n )．因为m m ＋2n n ∈Z，m n ＋m n ∈Z，所以x x ∈A.
2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
因为x ＋x ＝(m ＋m )＋(n ＋n )，m ＋m ∈Z，n ＋n ∈Z，所以x ＋x ∈A.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
金版点睛
该问题是判断所给的元素是否具有集合 A中元素的特征，用自然语言理解为：
所给元素是否能写成“整数＋整数的倍”的形式.可以看出，问题的实质是正确
解读集合的表示方法描述法.
已知集合A＝，试判断－2,2与A的关系．
解 解法一：易知A＝{－3,0,1,2,4,5,6,9}，
所以－2∉A,2∈A.
解法二：当x＝－2时，＝∉Z，所以－2∉A；
当x＝2时，x∈Z且＝6∈Z，所以2∈A.题型三 含参问题探究
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的
值，并用列举法表示集合A.
[解] ①当k＝0时，原方程为16－8x＝0，
∴x＝2，此时A＝{2}．
②当k≠0时，若集合A中只有一个元素，
则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根．
即Δ＝64－64k＝0，即k＝1，
从而x ＝x ＝4，
1 2
∴集合A＝{4}．
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}．
金版点睛
对于含参问题，随着参数值的变化，问题的解发生变化，所以这类问题往往
需要分类讨论.通过分类，把复杂的问题简单化，从而蕴含着转化的数学思想.
把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k的取值范围
的集合．
解 由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个不等的实根．
∴解得k＜1且k≠0.
∴实数k的取值范围的集合为{k|k＜1且k≠0}.
题型四 集合中的新定义问题
例4 已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为
( )
A．3 B．6
C．8 D．9
[解析] 根据已知条件，列表如下：由上表可知，B中的元素有9个，故选D.
[答案] D
金版点睛
本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题
清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题
或发现问题的规律，此方法通常配合图表含树形图使用.
定义A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B
中的所有元素之和为( )
A．0 B．2
C．3 D．6
答案 D
解析 根据已知条件，列表如下：
根据集合中元素的互异性，可由上表知A*B＝{0,2,4}，故其中所有元素之和为0＋2＋4＝6，故选D.
1．下列所给的对象不能组成集合的是( )
A．我国古代的四大发明
B．二元一次方程x＋y＝1的解
C．某班年龄较小的同学
D．平面内到定点距离等于定长的点
答案 C
解析 C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性，故选C.
2．已知集合A含有三个元素 2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为(
)
A．2 B．2或4
C．4 D．0
答案 B
解析 集合A中含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A.当a＝2∈A时，
6－a＝4∈A，∴a＝2；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，∴a＝4；当a＝6∈A时，6
－a＝0∉A，综上所述，a＝2或4.故选B.
3．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；
②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．故选B.
4．用适当符号(∈，∉)填空：
(1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}；
(2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．
答案 (1)∈ (2)∈
解析 (1)当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，故(1,3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}．
(2)当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．
5．设a∈R，关于x的方程(x－1)(x－a)＝0的解集为A，试分别用描述法和
列举法表示集合A.
解 A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}；当 a＝1 时，A＝{1}；当 a≠1 时，A＝{1，
a}．
